《線性代數(shù)》期末復(fù)習(xí)提綱匯總

1、線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)提綱 第一部分：基本要求（計算方面） 1. 四階行列式的計算； 2. N 階特殊行列式的計算（如有行和、列和相等） ； 3. 矩陣的運算（包括加、減、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置、逆等的混合運算） 4. 求矩陣的秩、逆（兩種方法）；解矩陣方程； 5. 含參數(shù)的線性方程組解的情況的討論； 6. 齊次、非齊次線性方程組的求解（包括唯一、無窮多解） ； 7. 討論一個向量能否用和向量組線性表示； 8. 討論或證明向量組的相關(guān)性； 9. 求向量組的極大無關(guān)組，并將多余向量用極大無關(guān)組線性表示； 10. 將無關(guān)組正交化、單位化； 11. 求方陣的特征值和特征向量； 12. 討論方陣能否對角化，如能，

2、要能寫出相似變換的矩陣及對角陣; 13. 通過正交相似變換（正交矩陣）將對稱矩陣對角化； 14. 寫岀二次型的矩陣，并將二次型標(biāo)準(zhǔn)化，寫岀變換矩陣； 15. 判定二次型或?qū)ΨQ矩陣的正定性。 第二部分：基本知識 一、行列式 1行列式的定義 矩陣乘法一般不滿足消去律、零因式不存在；若 A、B 為同階方陣，則 AA B ; kA =kn A 3. 矩陣的秩 (1) 定義非零子式的最大階數(shù)稱為矩陣的秩； (2) 秩的求法 一般不用定義求，而用下面結(jié)論： 矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；階梯形矩陣的秩等于非零行的個數(shù)(每行的第一個非零元所在列， 從此元開始往下全為 0 的矩陣稱為行階梯陣)。 求秩：利用初

3、等變換將矩陣化為階梯陣得秩。 4. 逆矩陣 (1) 定義：A、B為 n階方陣，若 AB = BA = I，稱 A 可逆，B是 A 的逆矩陣(滿足半邊也成立) (2) 性質(zhì)： AB =B 1 A1， A 丄=人丄； (3) 可逆的條件： A =0 ； r(A)=n; A I (4) 逆的求解 伴隨矩陣法 A =|AA* ； 初等變換法 A A| 5用逆矩陣求解矩陣方程： a11 a12 用n* 2 個元素aij組成的記號 a21 a 22 a2n 稱為 n 階行列式。 a“1 a n2 a“n (1) (2) n 個元素乘積的代數(shù)和; AX =B，貝 U X =AB ； XB =A，貝U X =

4、BA； AXB =C，貝U X =ACB 三、線性方程組 1線性方程組解的判定 了_ r(A,b) =r(A) 無解 定理：r(代b) =r(A) = n 有唯一解 r(A,b) =r(A) : n 有無窮多組解 2齊次線性方程組 (1) 解的情況： r(A)=n，(或系數(shù)行列式 D =0)只有零解； r(A)n，(或系數(shù)行列式 D = 0)有無窮多組非零解。 (2) 解的結(jié)構(gòu)： X C1 ：1 心hCn-r。 (3) 求解的方法和步驟： 將增廣矩陣通過行初等變換化為最簡階梯陣； 寫出對應(yīng)同解方程組； 移項，利用自由未知數(shù)表示所有未知數(shù)； 表示岀基礎(chǔ)解系； 寫出通解。特別地：對齊次線性方程組

5、AX -O， tr(A)c n,有非零解 再特別，若A為方陣, A =0，只有零解 A =0，有非零解 3非齊次線性方程組 (1) 解的情況： 利用判定定理。 (2) 解的結(jié)構(gòu)： X二U C22亠.亠Cn：n工。 (3) 無窮多組解的求解方法和步驟： 與齊次線性方程組相同。 (4) 唯一解的解法： 有克萊姆法則、逆矩陣法、消元法(初等變換法) 四、向量組 1. N 維向量的定義 注：向量實際上就是特殊的矩陣(行矩陣和列矩陣) 2. 向量的運算： (1) 加減、數(shù)乘運算(與矩陣運算相同)； (2) 向量內(nèi)積：=a1b1 - a2b 亠anbn; (3) 向量長度 :-=:- = . a12 -

6、a22 亠 亠an2 (4) 向量單位化 1 :.； k*! (5) 向量組的正交化(施密特方法) 設(shè)冷，：2，線性無關(guān)，則 ：1 = :1， 3線性組合 (1) 定義 若：=kv1 - k 亠knn，則稱是向量組 冷，2,，n的一個線性組合，或稱 可以用向量組 冷，、；2,，為的一個線性表示。 (2) 判別方法 將向量組合成矩陣，記 A = ( :1 , :2 / , :n )， B B=(=(1,2 ,，n，：) 若 r(A)=r(B)，則可以用向量組 冷，2,，n的一個線性表示； 若 r (A)訶(B)，則不可以用向量組 冷，2,，n的一個線性表示。 (3) 求線性表示表達(dá)式的方法： 將

7、矩陣 B 施行行初等變換化為最簡階梯陣，則最后一列元素就是表示的系數(shù)。 4. 向量組的線性相關(guān)性 (1) 線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義 設(shè) k1 冷-k2 ： 2 亠亠kn ： n =， 若k1,k2；,kn不全為 0,稱線性相關(guān)； 若ki, k2 / , kn全為 0，稱線性無關(guān)。 (2) 判別方法： -1- -1 4 3 r(冷，2,，n)vn，線性相關(guān); r(冷,：-2/ :-n)=n，線性無關(guān)。若有 n個 n維向量，可用行列式判別: 5極大無關(guān)組與向量組的秩 (1) 定義極大無關(guān)組所含向量個數(shù)稱為向量組的秩 (2) 求法 設(shè) A =(冷，：遼，：F)，將 A 化為階梯陣，則 A 的秩即為向

8、量組的秩，而每行的第一個非 零元所在列的向量就構(gòu)成了極大無關(guān)組。 五、 矩陣的特征值和特征向量 1 定義 對方陣 A，若存在非零向量 X 和數(shù)，使 AX=，X，則稱，是矩陣 A 的特征值，向量 X 稱為矩陣 A 的對應(yīng)于特征值的特征向量。 2 特征值和特征向量的求解： 求出特征方程I - A 0的根即為特征值，將特征值 ，代入對應(yīng)齊次線性方程組( I-A)X = 0中求 出方程組的所有非零解即為特征向量。 3 重要結(jié)論： (1) A 可逆的充要條件是 A 的特征值不等于 0; (2) A 與 A 的轉(zhuǎn)置矩陣有 A 有相同的特征值； (3) 不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)。 六、 矩陣的相似

9、1 定義 對同階方陣 A、B,若存在可逆矩陣 P，使PAP =B，則稱 A與 B 相似。 2.求 A與對角矩陣人相似的方法與步驟(求 P 和人): 求出所有特征值； 求出所有特征向量； 若所得線性無關(guān)特征向量個數(shù)與矩陣階數(shù)相同，則 A 可對角化(否則不能對角化)，將這 n 個線性無 關(guān)特征向量組成矩陣即為相似變換的矩陣 P,依次將對應(yīng)特征值構(gòu)成對角陣即為人。 3求通過正交變換 Q 與實對稱矩陣 A相似的對角陣： 方法與步驟和一般矩陣相同，只是第三歩要將所得特征向量正交化且單位化。 七、 二次型 n 1 定義 n元二次多項式f xX2,，Xn ajXjXj稱為二次型，若aj =Oi=j，則稱為二

10、交型 的標(biāo)準(zhǔn)型。 i，jm 2二次型標(biāo)準(zhǔn)化： 配方法和正交變換法。正交變換法步驟與上面對角化完全相同，這是由于對正交矩陣 Q, =Q， 即正交變換既是相似變換又是合同變換。 3二次型或?qū)ΨQ矩陣的正定性： (1) 定義(略)； (2) 正定的充要條件： A 為正定的充要條件是 A的所有特征值都大于 0； A 為正定的充要條件是 A的所有順序主子式都大于 0；a11 ai2 21 a22 ain a2 n =0,線性相關(guān)(=0 無關(guān)) an1 an2 nn 它表示所有可能的取自不同行不同列的 展開式共有 n!項，其中符號正負(fù)各半; 2行列式的計算 1. 一階行列式|a| =a，二、三階行列式有對角線法則； 2. N 階（n _3）行列式的計算：降階法 定理：n 階行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和。 方法：選取比較簡單的一行（列），保保留一個非零元素，其余元素化為 0,利用定理展開降階。 3. 特特情況 （1） 上、下三角形行列式、對角形行列式的值等于主對角線上元素的乘積; （2） 行列式值為 0 的幾種情況： I 行列式某行（列）元素全為 0； n 行列式某行（