幾何輔助線專題

1、教師時學(xué)生姓名填寫時間2012.2.1姓名課時學(xué)科數(shù)學(xué)年級初三上課時間15:00-17:002小時計劃教學(xué)教學(xué)內(nèi)容中考復(fù)習(xí)幾何輔助線專題目標(biāo)目標(biāo)個性化學(xué)習(xí)問題解決基礎(chǔ)知識回顧，典型例題分析教學(xué)重點、難點幾何輔助線專題一.添輔助線有二種情況：1按定義添輔助線：如證明二直線垂直可延長使它們，相交后證交角為 90°證線段倍半關(guān)系可倍線段取中點或半線段加倍；證角的倍半關(guān)系也可類似添輔助線。2按基本圖形添輔助線：每個幾何定理都有與它相對應(yīng)的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時補完整基本圖形，因此“添線”應(yīng)教 該叫做“補圖”！這樣可防止亂添線，添輔助

2、線也有規(guī)律可循。舉例如下：學(xué)過(1)平行線是個基本圖形：程當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線時添輔助線的關(guān)鍵是添與二條平行線都相交的等第三條直線(2)等腰三角形是個簡單的基本圖形：當(dāng)幾何冋題中出現(xiàn)一點發(fā)出的二條相等線段時往往要補完整等腰三角形。出現(xiàn)角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰三角形。(3)等腰三角形中的重要線段是個重要的基本圖形：出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點添底邊上的中線；出現(xiàn)角平分線與垂線組合時可延長垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。(4)直角三角形斜邊上中線基本圖形出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點往往添斜邊上的中線。出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角

3、三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上中線基本圖形。（5）三角形中位線基本圖形幾何問題中出現(xiàn)多個中點時往往添加三角形中位線基本圖形進行證明當(dāng)有中點沒有中位線時則添中位線，當(dāng)有中位線三角形不完整時則需補完整三角形；當(dāng)出現(xiàn) 線段倍半關(guān)系且與倍線段有公共端點的線段帶一個中點則可過這中點添倍線段的平 行線得三角形中位線基本圖形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與半線段的端點是某線段的 中點，則可過帶中點線段的端點添半線段的平行線得三角形中位線基本圖形。（6）全等三角形：全等三角形有軸對稱形，中心對稱形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等；如果出現(xiàn)兩條相等線段或兩個檔相等角關(guān)于某一直線成軸對稱就可以添加軸對稱形全等三角形：或添 對稱軸

4、，或?qū)⑷切窝貙ΨQ軸翻轉(zhuǎn)。當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一組或兩組相等線段位于一 組對頂角兩邊且成一直線時可添加中心對稱形全等三角形加以證明，添加方法是將 四個端點兩兩連結(jié)或過二端點添平行線（7）相似三角形：相似三角形有平行線型（帶平行線的相似三角形），相交線型，旋轉(zhuǎn)型；當(dāng)出現(xiàn)相比線段重疊在一直線上時（中點可看成比為 1）可添加平行線得平行線型相似三角形。若平行線過端點添則可以分點或另一端點的線段為平行方向，這類題目中往 往有多種淺線方法。（8）特殊角直角三角形當(dāng)出現(xiàn)30，45，60，135，150度特殊角時可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三邊比為 1 : 1:V 2； 30度角直角三角形三邊比

5、為 1: 2: V 3進行證 明（9）半圓上的圓周角出現(xiàn)直徑與半圓上的點，添90度的圓周角；出現(xiàn) 90度的圓周角則添它所對弦-直徑；平面幾何中總共只有二十多個基本圖形就像房子不外有一砧，瓦，水泥， 石灰，木等組成一樣。二基本圖形的輔助線的畫法1. 三角形問題添加輔助線方法方法1:有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點的題目，常常利用三角形 的中位線，通過這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問題。方法2:含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的 條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問題。方法3:結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三

6、角形，或利用關(guān)于平分線段 的一些定理。方法4:結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長法 或補短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段， 而另一部分等于第二條線段。2. 平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形(包括矩形、正方形、菱形)的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同 性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角 形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方 法有下列幾種，舉例簡解如下：(1) 連對角線或平移對角線：(2) 過頂點作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形(3) 連接

7、對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行 或中位線(4) 連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形(5) 過頂點作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等3. 梯形中常用輔助線的添法梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：（1）在梯形內(nèi)部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形內(nèi)平移兩腰（4）延長兩腰（5）過梯形上底的兩端點向下底作高（6）平移對角線（7）連接梯形一頂點及一腰的中點。（8）過一腰的中點作

8、另一腰的平行線。（9）作中位線當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通 過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關(guān)鍵。4. 圓中常用輔助線的添法在平面幾何中，解決與圓有關(guān)的問題時，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，架起題設(shè)和結(jié) 論間的橋梁，從而使問題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活掌握作輔助線的一 般規(guī)律和常見方法，對提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力是大有幫助的。（1）見弦作弦心距有關(guān)弦的問題，常作其弦心距（有時還須作出相應(yīng)的半徑），通過垂徑平分定理，來 溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系。（2）見直徑作圓周角在題目中若已知圓的直

9、徑，一般是作直徑所對的圓周角，利用"直徑所對的圓周角是直角"這一特征來證明問題。（3）見切線作半徑命題的條件中含有圓的切線，往往是連結(jié)過切點的半徑，利用"切線與半徑垂直"這一性質(zhì)來證明問題。（4）兩圓相切作公切線對兩圓相切的問題，一般是經(jīng)過切點作兩圓的公切線或作它們的連心線，通過公切線可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系。（5）兩圓相交作公共弦對兩圓相交的問題，通常是作出公共弦，通過公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來。 作輔助線的方法怎么樣才能想到呢？一：中點、中位線，延線，平行線。如遇條件中有中點，中線、中位線等，那么過中點，延

10、長中線或中位線作輔助線，使延長的某一 段等于中線或中位線；另一種輔助線是過中點作已知邊或線段的平行線，以達到應(yīng)用某個定理或造成 全等的目的。二：垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對稱的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn)180度，得到全等形，這時輔助線的做法就會應(yīng)運而生。其對稱軸往往是垂線或角的平分線。三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實驗。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度， 就可以得到全等形，這時輔助線的做法仍會應(yīng)運而生。其對稱中心，因題而異，有時沒有中心。故可 分“有心”和“無心”旋轉(zhuǎn)兩種。四：造角、平、相似，和、差、積、

11、商見。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形有關(guān)。在 制造兩個三角形相似時，一般地，有兩種方法：第一，造一個輔助角等于已知角；第二，是把三角形 中的某一線段進行平移。故作歌訣： “造角、平、相似，和差積商見?！蓖辛忻锥ɡ砗兔啡~勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表）五：兩圓若相交，連心公共弦。如果條件中出現(xiàn)兩圓相交，那么輔助線往往是連心線或公共弦。六：兩圓相切、離，連心，公切線。如條件中出現(xiàn)兩圓相切（外切，內(nèi)切），或相離（內(nèi)含、外離），那么，輔助線往往是連心線或內(nèi)外公切線。七：切線連直徑，直角與半圓。如果條件中出現(xiàn)圓的切線，那么輔助線是過切點的直徑或半徑

12、使出現(xiàn)直角；相反，條件中是圓的 直徑，半徑，那么輔助線是過直徑（或半徑）端點的切線。即切線與直徑互為輔助線。如果條件中有直角三角形，那么作輔助線往往是斜邊為直徑作輔助圓，或半圓；相反，條件中有 半圓，那么在直徑上找圓周角一一直角為輔助線。即直角與半圓互為輔助線。八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，則弧上的弦是輔助線；如遇弦，則弦心距為輔助線。如遇平行線，則平行線間的距離相等，距離為輔助線；反之，亦成立。如遇平行弦，貝y平行線間的距離相等，所夾的弦亦相等，距離和所夾的弦都可視為輔助線，反之， 亦成立。有時，圓周角，弦切角，圓心角，圓內(nèi)角和圓外角也存在因果關(guān)系互相聯(lián)想作輔助線。九：面積找底

13、高，多邊變?nèi)叀Ｈ缬銮竺娣e，（在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。如遇多邊形，想法割補成三角形；反之，亦成立。另外，我國明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補”有二百多種，大多數(shù) 為“面積找底高，多邊變?nèi)叀薄５湫屠}分析1 為了改變角的位置大家知道，兩條平行直線被第三條直線所截 ,同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補利用這些性 質(zhì),常可通過添加平行線,將某些角的位置改變，以滿足求解的需要 例1設(shè)P、Q為線段BC上兩點,且BP= CQA為BC外一動點（如圖1）.當(dāng)點A運動到使/ BAP=Z CAQ 時,

14、 ABC是什么三角形？試證明你的結(jié)論 C例2 如圖2,四邊形ABCD平行四邊形/ BAFZ BCE求證：/ EBA=/ ADE2 為了改變線段的位置利用“平行線間距離相等”、“夾在平行線間的平行線段相等”這兩條，?？赏ㄟ^添加平行線,將某些線段“送”到恰當(dāng)位置，以證題例3 在厶ABC中,BD CE為角平分線，P為ED上任意一點過P分別作AG AB BC的垂線,M N Q為C垂足.求證：PMF PN= PQ3 為了線段比的轉(zhuǎn)化由于“平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所得對應(yīng)線段成比例”，在一些問題中，可以通過添加平行線，實現(xiàn)某些線段比的良性轉(zhuǎn)化 這在平面幾何證題中是會經(jīng)常遇到的AB AC AM、A

15、M于 P、Q N、圖4例4 設(shè)M、M是厶ABG勺BC邊上的點，且BM= CM任作一直線分別交Na.試證：AB AC Al AM2+ = +AP AQ AN, AN24為了線段相等的傳遞當(dāng)題目給出或求證某點為線段中點時，應(yīng)注意到平行線等分線段定理 ，用平行線將線段相等的關(guān)系傳遞開去.例6 在厶ABC中 , AD是 BC邊上的中線，點M在AB邊上，點N在AC邊上,并且/ MDN= 90° .如果BM+ cN= dM+ dN 求證：aD = 1（ aB+ aC）.4圖6例7如圖7, AB為半圓直徑，D為AB上一點，分別在半圓上取點 E、F,使EA= DAFB= DB過D作AB的垂線,交半圓

16、于C求證: 分EFCD平圖7例8 如圖9, ABCD四邊形，兩組對邊延長后得交點 E、F,對角線BD/ EF AC的延長線交EG= GFEF于G求證:All Rights ReservE例9 如圖10, O 0是厶ABC勺邊BC外的旁切圓，D E、F分別為O 0與BC CA AB的切點.若ODW EF 相交于K,求證：AK平分BC梯形輔助線相關(guān)口訣：梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹汀Ｆ揭蒲?，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點, 細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點全等造。通常情況下，通過做輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形問題的基本思路。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。

17、常見的幾種輔助線的作法如下：作法圖形平移腰，轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。A"直 0BEC#G戸甘£平移對角線。轉(zhuǎn)化 為三角形、平行四 邊形。ARCB毎,延長兩腰，轉(zhuǎn)化為 三角形。E八B C作咼，轉(zhuǎn)化為直角 三角形和矩形。bH中位線與腰中點連 線。"汀 b£f（一）平移1、平移一腰：例1.如圖所示，在直角梯形 ABCD中，/ A= 90°, AB/ DC AD= 15, A吐16, BO17.求CD的長.例2如圖，梯形ABCD勺上底AB=3下底CD=8腰AD=4求另一腰BC的取值范圍例 6 如圖，在梯形 ABCD中，AD/BC, AC=15crp

18、BD=20cm 高 DH=12cm 求梯形 ABCD的面積。（二）延長即延長兩腰相交于一點，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例 7 女口圖，在梯形 ABCD中, AD/BC,Z B=50°，/ C=80° , AD=2 BC=5 求 CD的長。例8.如圖所示，四邊形 ABCD中, AD不平行于BC，AC= BD，AD= BC.判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論.B（三）作對角線即通過作對角線，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例9如圖6,在直角梯形ABCDK AD/BC, AB丄AD, BC=CQ BEL CD于點E,求證:AD=DE（四）作梯形的高1、作一條高例 10 如圖，在直角梯形 ABCD中, AB/DC,/ ABC=90 , AB=2DC 對角線 ACL BD垂足為F,過點F作EF/AB，交AD于點E,求證：四邊形ABFE是等腰梯形。2、作兩條高例