浙江專用高中數(shù)學(xué)第四章圓與方程4.14.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案新人教A版必修205

1、14.1.14.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程目標(biāo)定位1.探索并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，會根據(jù)圓的方程求出圓心坐標(biāo)和半徑.2.會根據(jù)已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.會用待定系數(shù)法求圓的方程.自 主 預(yù) 習(xí)1.圓的定義及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)圓的定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓.其中定點(diǎn)是圓的圓心；定長是圓的半徑.(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓有三種位置關(guān)系，即點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有兩種方法：(1)幾何法：將所給的點(diǎn)m與圓心c的距離跟半徑r比較：若|cm|r，則點(diǎn)m在圓上；若|cm|r，則點(diǎn)m在圓外；若|cm|r2；點(diǎn)m(m，n)在圓c內(nèi)(ma)

2、2(nb)2r2.即 時(shí) 自 測1.判斷題(1)確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個(gè)獨(dú)立的條件，即圓心的橫、縱坐標(biāo)及半徑.()(2)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y2r2.()(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓上和點(diǎn)在圓外.()(4)圓(x1)2(y2)2m(m0)的圓心坐標(biāo)為(1，2)，半徑為m.()提示(4)圓的半徑為m.22.圓(x1)2(y2)22 的半徑為()a.1b. 2c.2d.4答案b3.已知圓c：(x1)2(y2)24，點(diǎn)p(x0，y0)在圓c內(nèi)部，且d(x01)2(y02)2，則有()a.d2b.d2c.d4d.d4解析點(diǎn)p(x0，y0)在圓c內(nèi)部可知，(x0

3、1)2(y02)24，所以d4.答案d4.給出以下五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：(1，1)，(2，1)，(0，0)，( 2， 2)，(2，0).以上各點(diǎn)在圓(x1)2(y1)22 上的是_.(寫出所有可能的序號)解析分別將五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程檢驗(yàn)可知適合圓的方程.答案類型一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【例 1】 已知點(diǎn)a(1，2)不在圓c：(xa)2(ya)22a2的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解由題意，點(diǎn)a在圓c上或圓c的外部，(1a)2(2a)22a2，2a50，a52，又a0，a的取值范圍是52，0(0，).規(guī)律方法判斷點(diǎn)p(x0，y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系有幾何法與代數(shù)法兩種，對于幾何法，主要

4、是利用點(diǎn)與圓心的距離與半徑比較大小.對于代數(shù)法，主要是把點(diǎn)的坐標(biāo)直接代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，具體判斷方法如下：當(dāng)(x0a)2(y0b)2r2時(shí)，點(diǎn)在圓外.【訓(xùn)練 1】 點(diǎn)p(m2，5)與圓x2y224 的位置關(guān)系是()a.在圓外b.在圓內(nèi)c.在圓上d.不確定解析把點(diǎn)p(m2，5)代入圓的方程x2y224 得m42524，故點(diǎn)p在圓外.答案a類型二求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(互動(dòng)探究)【例 2】 求過點(diǎn)a(1，1)，b(1，1)且圓心在直線xy20 上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3思路探究探究點(diǎn)一如何確定該圓圓心？提示由已知該圓圓心為線段ab的垂直平分線與直線xy20 的交點(diǎn)， 可通過解方程組求出圓心坐標(biāo).探究點(diǎn)二待定系數(shù)法

5、求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟是什么？提示(1)根據(jù)題意，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)根據(jù)條件，列關(guān)于a，b，r的方程組；(3)解出a，b，r，代入標(biāo)準(zhǔn)方程.解法一設(shè)點(diǎn)c為圓心，點(diǎn)c在直線xy20 上，可設(shè)點(diǎn)c的坐標(biāo)為(a，2a).又該圓經(jīng)過a，b兩點(diǎn)，|ca|cb|. （a1）2（2a1）2 （a1）2（2a1）2，解得a1.圓心坐標(biāo)為c(1，1)，半徑長r|ca|2.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y1)24.法二由已知可得線段ab的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)，kab1（1）111，所以弦ab的垂直平分線的斜率為k1，所以ab的垂直平分線的方程為y01(x0)，即yx.則圓心是直線yx與xy20 的交點(diǎn)，由y

6、x，xy20，得x1，y1，即圓心為(1，1)，圓的半徑為（11）21（1）22，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y1)24.規(guī)律方法直接法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，一般先從確定圓的兩個(gè)要素入手，即首先求出圓心坐標(biāo)和半徑，然后直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【訓(xùn)練 2】 以兩點(diǎn)a(3，1)和b(5，5)為直徑端點(diǎn)的圓的方程是()a.(x1)2(y2)210b.(x1)2(y2)2100c.(x1)2(y2)25d.(x1)2(y2)225解析點(diǎn)a(3，1)和b(5，5)的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，以a、b為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為(1，2)，半徑r12（53）2（51）25.所求圓的方程為(x1)2(y2)225.答案

7、d4類型三圓的方程的綜合應(yīng)用【例 3】 已知圓心在x軸上的圓c與x軸交于兩點(diǎn)a(1，0)，b(5，0)，(1)求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)p(x，y)為圓c上任意一點(diǎn)，求p(x，y)到直線xy10 的距離的最大值和最小值.解(1)由已知，得c(3，0)r|ab|22所求方程為(x3)2y24(2)圓心c到直線xy1 的距離d|301|12（1）22 22.p到直線的最大距離為 22 2，最小距離為 2 22.規(guī)律方法解答本題應(yīng)用了圓的性質(zhì)，即圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑，解題過程中用數(shù)形結(jié)合的思想能有效地找到解題的捷徑，即過圓心作已知直線的垂線，便于求解此題.【訓(xùn)練 3】 已知圓c：(x3

8、)2(y4)21，點(diǎn)a(0，1)，b(0，1)，設(shè)p是圓c上的動(dòng)點(diǎn)，令d|pa|2|pb|2，求d的最大值及最小值.解設(shè)p(x，y)，則d|pa|2|pb|22(x2y2)2.|co|2324225，(51)2x2y2(51)2.即 16x2y236.d的最小值為 216234.最大值為 236274.課堂小結(jié)1.確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，即列出關(guān)于a，b，r的方程組求a，b，r或直接求出圓心(a，b)和半徑r.另外依據(jù)題意適時(shí)運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)解題可以化繁為簡，提高解題效率.2.討論點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可以從代數(shù)特征(點(diǎn)的坐標(biāo)是否滿足圓的方程)或幾何特征(點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系)去考慮

9、，其中利用幾何特征較為直觀、快捷.1.圓(x2)2(y3)22 的圓心和半徑分別是()a.(2，3)，1b.(2，3)，3c.(2，3)， 2d.(2，3)， 2解析由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心坐標(biāo)為(2，3)，半徑為 2.答案d2.點(diǎn)(1，1)在圓(xa)2(ya)24 的內(nèi)部，則a的取值范圍是()5a.1a1b.0a1c.a1 或a1d.a1解析(1a)2(1a)24，2a224，a21，1a1.答案a3.已知兩圓c1：(x5)2(y3)29 和c2：(x2)2(y1)25，則兩圓圓心間的距離為_.解析c1圓心為(5，3)，c2圓心為(2，1)，則d （52）2（31）25.答案54.求滿足下列

10、條件的圓的方程：(1)圓心在原點(diǎn)，半徑是 3；(2)圓心坐標(biāo)為(3，4)，半徑是 5；(3)經(jīng)過點(diǎn)(5，1)，圓心坐標(biāo)為(8，3).解(1)x2y29.(2)(x3)2(y4)25.(3)圓的半徑r （58）2（13）25，圓心在點(diǎn)(8，3)，圓的方程為(x8)2(y3)225.基 礎(chǔ) 過 關(guān)1.圓心為(1，2)，半徑為 3 的圓的方程是()a.(x1)2(y2)29b.(x1)2(y2)23c.(x1)2(y2)23d.(x1)2(y2)29解析由題意可知，圓的方程為(x1)2(y2)29，故選 d.答案d2.已知直線l過圓x2(y3)24 的圓心，且與直線xy10 垂直，則l的方程是()a

11、.xy20b.xy20c.xy30d.xy30解析圓x2(y3)24 的圓心為點(diǎn)(0，3)，又因?yàn)橹本€l與直線xy10 垂直，所以直線l的斜率k1.由點(diǎn)斜式得直線l：y3x0，化簡得xy30.答案d3.若點(diǎn)(4a1，3a2)不在圓(x1)2(y2)225 的外部，則a的取值范圍是()6a.55a55b.1a1c.55a55d.1a1解析由已知，得(4a)2(3a)225.a21，|a|1，即1a1.答案d4.圓心在y軸上，半徑為 1，且過點(diǎn)(1，2)的圓的方程為_.解析設(shè)圓心(0，b)，設(shè)圓的方程為(x0)2(yb)21，把(1，2)代入得 12(2b)21，b2.圓的方程為x2(y2)21.

12、答案x2(y2)215.若圓c的半徑為 1，其圓心與點(diǎn)(1，0)關(guān)于直線yx對稱，則圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.解析由題意知圓c的圓心為(0，1)，半徑為 1，所以圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y1)21.答案x2(y1)216.已知圓c：(x5)2(y6)210，試判斷點(diǎn)m(6，9)，n(3，3)，q(5，3)與圓c的位置關(guān)系.解圓心c(5，6)，半徑r 10.|cm| （65）2（96）2 10，|cn| （35）2（36）2 13 10，|cq| （55）2（36）23 10.因此點(diǎn)m在圓上，點(diǎn)n在圓外，點(diǎn)q在圓內(nèi).7.已知直線l與圓c相交于點(diǎn)p(1，0)和點(diǎn)q(0，1).(1)求圓心所在的直線方程；(

13、2)若圓c的半徑為 1，求圓c的方程.解(1)pq的方程為xy10，pq中點(diǎn)m12，12 ，kpq1，所以圓心所在的直線方程為yx.(2)由條件設(shè)圓的方程為：(xa)2(yb)21.由圓過p，q點(diǎn)得：（1a）2b21，a2（1b）21，解得a0，b0或a1，b1.所以圓c方程為：x2y21 或(x1)2(y1)21.能 力 提 升78.若直線yaxb通過第一、二、四象限，則圓(xa)2(yb)21 的圓心位于()a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限解析(a，b)為圓的圓心，由直線經(jīng)過第一、二、四象限，得到a0，即a0，b0，再由各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì)得解.答案d9.已知一圓的圓心為

14、點(diǎn)a(2， 3)， 一條直徑的端點(diǎn)分別在x軸和y軸上， 則圓的方程是()a.(x2)2(y3)213b.(x2)2(y3)213c.(x2)2(y3)252d.(x2)2(y3)252解析如圖，結(jié)合圓的性質(zhì)可知，圓的半徑r （20）2（30）2 13.故所求圓的方程為(x2)2(y3)213.答案b10.已知實(shí)數(shù)x，y滿足y 9x2，則ty3x1的取值范圍是_.解析y 9x2表示上半圓，t可以看作動(dòng)點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)(1，3)連線的斜率.如圖：a(1，3)，b(3，0)，c(3，0)，則kab34，kac32，t32或t34.答案t32或t3411.求圓x122(y1)254關(guān)于直線xy10 對稱的圓的方程.解圓x122(y1)254的圓心為m12，1.設(shè)所求圓的圓心為(m，n)，它與12，1關(guān)于直線xy10 對稱，8n1m1211，m122n1210.m2，n32.所求圓的圓心坐標(biāo)為2，32 ，半