2020年福建省龍巖市高考數(shù)學模擬試卷(理科)(6月份)(含答案解析)

1、2020 年福建省龍巖市高考數(shù)學模擬試卷（理科）6 月份）第 15 頁，共 17 頁、選擇題（本大題共 12小題，共 60.0 分）1.2.3.4.復數(shù)A.B.C.A.B.C.已知全集 ，集合 ，則A.B.C.D.設 是等差數(shù)列 的前 n 項和，且 ， ，則A. 4B. 3C. 2 D. 5保護生態(tài)環(huán)境是每個公民應盡的職責 某校隨機抽取 100 名同學進行“垃圾分類”的問卷測試， 測試結果發(fā)現(xiàn)這 100 名同學的得分都在內(nèi)，按得分分成 5組：， ， ， ，得到如圖所示的頻率分布直方圖， 則估計這 100 名同學的得分的眾數(shù)為D.5.A. 70 B. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖， 若輸入 k，n 的

2、值均是 0，則輸出 T 的值 為A. 9B. 16C. 25D. 366. 用數(shù)字 1，2，3 組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，那么所有的三位數(shù)中是奇數(shù)的概率為A. B. C. D.7. 在矩形 ABCD 中， ， ，平面上一點 P 滿足 ， ，則A.B. 3C. 0D. 18. 已知函數(shù) 在 上有極值，則實數(shù) a 的取值范圍為A.B.C.D.9. 在三棱錐 中，平面 ABC， ， ， ，則三棱錐的外接球的半徑A.B.C.D.10. 設A，B為雙曲線 ： 的左，右頂點， F為雙曲線 右焦點，以原點 O為圓心， 為半徑的圓與雙曲線 的一條漸近線的一個交點為 M，連接 AM， BM，則A. 4B.C. 2

3、D.11. 已知數(shù)列 滿足 ，又 的前項和為 ，若 ，則A. 13B. 15C. 17D. 3112. 已知拋物線 ： 和圓 ： ，過圓 上一點 P 作圓的切線 MN 交拋物線 于M ，N兩點，若點 P為 MN的中點，則切線 MN的斜率 時的直線方程為 A.B.C.D.二、填空題（本大題共 4 小題，共 20.0分）13. 函數(shù)在點處的切線方程為 ，則 的最大值為 15. 一條河的兩岸平行，河的寬度 ，一艘船從岸邊 A 處出發(fā)到河的正對岸，已知船的速度 ，水流速度 ，那么行駛航程最短時，所用時間是 附：，精確到 16. 已知函數(shù) ，滿足不等式 在 R 上恒成立，在上恰好只有一個極值點，則實數(shù)

4、三、解答題（本大題共 7 小題，共 82.0分）17. 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a 、b、c，若， ， 求 sinB ；求 的面積18. 如圖，在四棱錐 中， 平面 ABCD ，在四邊形 ABCD 中， ， ， ， ， ， 證明：平面 PAD ；求二面角 的余弦值19. 已知橢圓 ： 的左，右焦點分別為 ， ，橢圓的左， 右頂點分別為 A， B，已知橢圓 上一異于 A，B 的點 P， PA， PB的斜率分別為 ， ，滿足求橢圓 的標準方程；若過橢圓 左頂點 A作兩條互相垂直的直線 AM和 AN，分別交橢圓 于 M， N兩點，問 x 軸上是否存在一定點 Q，使得成立，若存在，則求出該定

5、點Q，否則說明理由20. 由甲乙兩位同學組成一個小組參加年級組織的籃球投籃比賽，共進行兩輪投籃，每輪甲乙各自 獨立投籃一次，并且相互不受影響，每次投中得 2 分，沒投中得 0 分已知甲同學每次投中的 概率為 ，乙同學每次投中的概率為 求第一輪投籃時，甲乙兩位同學中至少有一人投中的概率； 甲乙兩位同學在兩輪投籃中，記總得分為隨機變量 ，求 的分布列和期望21. 已知實數(shù) ，若關于 x的不等式 在 上恒成立，求實數(shù) a 的取值范圍；若 ，求證：22. 在平面直角坐標系 xOy 中，點 P 是曲線 C ：為參數(shù) 上的動點，以坐標原點 O為極點， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 的極坐標方程為

6、： 求曲線 ， 的直角坐標下普通方程；已知點 Q 在曲線 上，求 的最小值以及取得最小值時 P點坐標23. 已知 ， 若關于 x 的不等式 的解集為 ，求實數(shù) a 的值；若 時，不等式 恒成立求實數(shù) a 的取值范圍答案與解析1. 答案： B解析： 解：因為復數(shù)故選： B直接利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡即可本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的混合運算，考查計算能力2. 答案： C解析： 解：因為全集 ，集合 ， 故選： C先求出 M，再利用補集的定義求出結論本題考查集合的基本運算，是對基本知識的考查3. 答案： B解析： 解：設等差數(shù)列 的公差為 d，由 ， ，得 ，即 故選： B設等差數(shù)列 的公差為 d

7、，由已知列式求得 d，再由通項公式求本題考查等差數(shù)列的通項公式與前 n 項和，是基礎的計算題4. 答案： D解析： 解：由頻率分布直方圖可知，這 5 組中組的頻率最大，所以眾數(shù)為這一組的區(qū)間中點值，即眾數(shù)是 75，故選： D利用眾數(shù)的估計值為頻率最大區(qū)間的區(qū)間中點值即可算出結果 本題主要考查了眾數(shù)的估計值，是基礎題5. 答案： B解析： 解：模擬程序的運行，可得，滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，此時，不滿足條件 ，退出循環(huán)，輸出 T 的值為 16 故選： B由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量T 的值，模擬程序

8、的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結論，是基 礎題6. 答案： D解析： 解：用數(shù)字 1，2，3 組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，基本事件總數(shù) ， 其中奇數(shù)的個數(shù) ，所有的三位數(shù)中是奇數(shù)的概率為可知 的坐標滿足當 時，故選： D基本事件總數(shù) ，其中奇數(shù)的個數(shù) ，由此能求出所有的三位數(shù)中是奇數(shù)的 概率本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題7. 答案： A解析： 解：畫出圖形，并距離平面直角坐標系如圖： 由題意可知 ， ， ， ， 平面上一點 P 滿足 ， ， ，當，此時

9、，故選： A 畫出圖形，建立直角坐標系，設出坐標，然后利用向量的數(shù)量積求解即可 本題考查平面向量的數(shù)量積的運算，考查轉化思想以及計算能力，是基礎題，8. 答案： B解析：解：函數(shù) 在區(qū)間 上有極值，在 上有變號零點，由 可得 ，即 ，得到 ，故選： B求導可得，依題意，上有變號零點，令 ，則 ，由此即可求得 a 的取值范 圍本題考查根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的取值范圍，考查學生的轉化能力和運算能力，屬于中檔題9. 答案： D解析： 解： ， ， ，由余弦定理可得 ，外接圓的半徑設球心到平面 ABC 的距離為 d，則由勾股定理可得故選： D由已知利用余弦定理求出 BC，可得外接圓的半徑，再由勾股定理可

10、求該三棱錐的外接球的半徑本題考查多面體外接球半徑的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計算能力，是中檔題10.答案： A解析： 解：由題意可知雙曲線的圖形如圖：設A，B 為雙曲線： 的左，右頂點， F 為雙曲線 右焦點，以原點 O 為圓心， 為半徑的圓與雙曲線 的一條漸近線的一個 交點為 M，連接 AM， BM， ， ，所以 ， ， ，所以在直角三角形 ABM 中， 故選： A畫出圖形，利用雙曲線的性質(zhì)，求出 M 坐標，然后轉化求解即可本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題11.答案： A解析： 解： ，故選： A首先根據(jù)題意，將 轉化為 的關系式，然后求出 即可

11、 本題考查了數(shù)列的遞推公式，數(shù)列的求和問題，屬基礎題 12.答案： D解析： 解：設 ， ， ，可得 ， ，兩式相減可得 ，可得，可得，若點 P 為 MN 的中點，可得 ，即有 ，又，由 消去 ， ，可得由選項可得，當 時， ， ， 代入 ，不成立；當 時， ， ，代入 ，成立此時直線 MN 的方程為 ，即為 故選： D設 ， ， ，代入拋物線的方程，由作差法可得直線 MN的斜率，結合中點 坐標公式和 P 的坐標滿足圓的方程，以及兩直線垂直的條件：斜率之積為 ，消去 ， ，可得 k 的方程，結合選項的直線的斜率，代入求得 P 的坐標，檢驗是否滿足圓的方程，即可得到所求直 線的方程本題考查拋物線

12、和圓的方程的運用，考查直線和圓的位置關系、直線和拋物線的位置關系，主要考 查方程思想和運算能力，屬于中檔題13.答案：解析： 解：由 ，得 ，則函數(shù)在點處的切線方程為 ，即 故答案為： 解析： 解：由實數(shù) x、y 滿足約束條件，作求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到函數(shù)在 處的導數(shù)，再由直線方程的點斜式得答案 本題考查利用導數(shù)研究故曲線上某點處的切線方程，關鍵是熟記導數(shù)的運算法則，是基礎題 14.答案： 6出可行域：聯(lián)立 ，解得 ，化 為 ，由圖可知，當直線 過A 時，直線在 y 軸上的截距最小， z 有最大值為： 6 故答案為： 6由約束條件作出可行域， 化目標函數(shù)為直線方程的斜截式， 數(shù) 形結合得到最

13、優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題15.答案：解析： 解：如圖：行駛航程最短時，就是船垂直到達對岸， 和速度為： 行駛航程最短時，所用時間是： 故答案為： 利用河的寬度為 4km，結合船的靜水速度船的速度，水流速度 ，利用數(shù)列的減法運算求出和速度，即可求解行駛航程最短時所用時間本題考查三角形的解法，實際問題的處理方法，是基本知識的考查16.答案：解析： 解： 不等式 在 R 上恒成立，即 ，函數(shù) 在 上恰好只有一個極值點，即 ，結合 可得，當 ， 時， 故答案為： 因為不等式在 R 上恒成立，所以，又函數(shù) 在 上恰好只有一個極值

14、點， 所以 ，解得 ，結合 可得，當 ， 時， 本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查學生的邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題17. 答案： 解： 在 中，由 ，知： 所以由正弦定理可知：；，即由 ，及，因此 ，可知 所以 的面積為 解析： 由已知結合同角平方關系及和差角公式即可求解； 由已知結合正弦定理可求 b，進而可求 a，然后結合三角形的面積公式即可求解本題主要考查了同角平方關系及和差角公式，正弦定理的應用，屬于中檔試題18. 答案： 解： 在平面 ABCD 中， ， ，即 ，又 平面 ABCD ，則，又，平面 分在平面 ABCD 中，過 A 作 BC 的平行線交 CD 的延長線 于 M ，

15、 ， ，又 ，則 ，由 可知：即 ，則 ， 在 中， B 點到直線 PC 的距離 設二面角 的平面角為 ，則 所以 解析： 依題意，可得 ，由線面垂直的性質(zhì)可得 ，進而得證； 利用等體積法求出 B 點到直線 PC 的距離，進而求得二面角 的余弦值 本題考查線面垂直的判定以及二面角的求解，考查推理論證能力及運算求解能力，屬于中檔題19. 答案： 解： 設 ，則 ，則，橢圓 的標準方程為 由 知 ，且直線 AM 和 AN 的斜率存在，設直線 AM 和 AN 的方程分別為和 ，設 ， ，聯(lián)立 ，直線 AM 和橢圓 交于 A，M 兩點，同理設 x 軸上存在一定點，使得 成立， ，則，可得 ，因此 x

16、軸上存在一定點，使得 成立解析： 設 ，利用直線的斜率關系，結合 ，求解 a， b，然后求解橢圓方程設直線 AM 和 AN 的方程分別為 和 ，設 ， ，聯(lián)立直線方程與橢圓方程， 求出 M、N的坐標，設 x軸上存在一定點，使得 成立， ，轉化求解即可本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關系的應用，考查轉化思想以及計算能力，是難題20. 答案： 解： 第一輪投籃時，甲乙兩位同學中都沒有投中的概率為甲乙兩位同學中至少有一人投中的概率為對甲： ， ，對乙： ， ，記 ：則有 ， ，所以， 解析： 利用相互獨立數(shù)據(jù)的概率的乘法，求解概率，結合對立事件的概率求解即可 求出 ，然后求解期望即可本題考查

17、離散型隨機變量的的概率的求法，期望的求法，考查分析問題解決問題的能力21.答案： 證明：設，則若關于 x 的不等式 在 上恒成立，可以轉化為 ，在 上恒成立，對 求函數(shù)導數(shù)得：，在 時，有 ，則在 為增函數(shù)，而，因此在為增函數(shù)，有從而 所以 符合要求在 時，由 可知： ，令 ， ，因此 在 為減函數(shù)，則 ， 單調(diào)遞減， 于是有 在 恒成立，從而矛盾，因此 不符合綜合討論可知： 設，對 求函數(shù)導數(shù)得：上恒成立，由 可知當 時， 即 在 上恒成立， 所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，可知： ，在 上為增函數(shù)，則解析： 設 ，問題可以轉化為 ，在 上恒成立，先求 ，再 求 ，分兩種情況： 在 時

18、， 在 時， 分析 的正負， 的增減，得 的增減， 進而得 的函數(shù)值取值范圍 是否符合題意， 進而得出結論設 ，對 求函數(shù)導數(shù)得： ，由 可知當 時，在 上恒成立， 得 在 上恒成立， ， 在 上為增函數(shù)，則 ，進而得出結論本題考查導數(shù)的綜合應用，三角函數(shù)化簡，屬于中檔題22.答案： 解： 由 ： 消去參數(shù) t 得到，所以曲線 的直角坐標方程為 由曲線 ：根據(jù)，整理得直角坐標方程為：設，則 P 到直線 ：的距離為當 時， ，當 時， ，所以當 ，且 時，整理得 ，此時 解析： 直接利用轉換關系，把參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換 利用點到直線的距離公式的應用和基本不等式的應用求出結果本題考查的知識要點：參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間的轉換，直線與圓的位置關系的應 用，基本不等式的應用，點到直線的距離公式的應用，主要考查學生的運算能力和轉換