高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.6 三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用學(xué)案 新人教A版必修4

1、1.6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，并會用三角函數(shù)模型解決一些簡單的實(shí)際問題(重點(diǎn))2實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)模型(難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1三角函數(shù)可以作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型2解三角函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟：(1)審清題意；(2)搜集整理數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型；(3)討論變量關(guān)系，求解數(shù)學(xué)模型；(4)檢驗(yàn)，作出結(jié)論基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)函數(shù)y|sin x|的周期為.()(2)一個彈簧振子做簡諧振動的周期為0.4 s，振幅為5 cm，則該振子在2 s內(nèi)通過的路程為50 cm.()(3)電流強(qiáng)度i(a)隨時(shí)間t(s)

2、變化的關(guān)系式是i5sin，則當(dāng)t s時(shí)，電流強(qiáng)度i為 a()解析(1)錯誤函數(shù)y|sin x|的周期為2.(2)錯誤一個周期通過路程為20 cm，所以2 s內(nèi)通過的路程為20×100(cm)(3)正確答案(1)×(2)×(3)2如圖1­6­1為某簡諧運(yùn)動的圖象，則這個簡諧運(yùn)動需要_s往返一次圖1­6­108觀察圖象可知此簡諧運(yùn)動的周期t0.8，所以這個簡諧運(yùn)動需要0.8 s往返一次3如圖1­6­2所示的圖象顯示的是相對于平均海平面的某海灣的水面高度y(m)在某天24 h內(nèi)的變化情況，則水面高度y關(guān)于從夜間

3、0時(shí)開始的時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為_圖1­6­2y6sinx設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為yasin(x)(a0，0)則a6，t12，.當(dāng)x9時(shí)，ymax6.故×92k，kz.取k1得，即y6sinx.合 作 探 究·攻 重 難三角函數(shù)圖象的應(yīng)用(1)函數(shù)yxsin|x|，x，的大致圖象是() a bc d(2)作出函數(shù)y|cos x|的圖象，判斷其奇偶性、周期性并寫出單調(diào)區(qū)間. 【導(dǎo)學(xué)號：84352127】思路探究(1)根據(jù)函數(shù)的奇偶性和圖象對稱性的關(guān)系判斷(2)依據(jù)y|cos x|畫圖，并判斷此函數(shù)的性質(zhì)(1)c(1)yxsin|x|是非奇非偶函數(shù)，圖象既不關(guān)于

4、y軸對稱，也不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故選c.(2)y|cos x|圖象如圖所示由圖象可知：t；y|cos x|是偶函數(shù)；單調(diào)遞增區(qū)間為，kz，單調(diào)遞減區(qū)間為，kz.規(guī)律方法(1)一般方法是根據(jù)圖象所反映出的函數(shù)性質(zhì)來解決，如函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性、單調(diào)性、值域，此外零點(diǎn)也可以作為判斷的依據(jù).(2)一些函數(shù)圖象可以通過基本三角函數(shù)圖象翻折得到.例如：由函數(shù)yf(x)的圖象要得到y(tǒng)|f(x)|的圖象，只需將yf(x)的圖象在x軸下方的部分翻折到x軸上方，x軸上方的圖象保持不動，即“上不動，下翻上”.由函數(shù)yf(x)的圖象要得到y(tǒng)f(|x|)的圖象，應(yīng)保留yf(x)位于y軸右側(cè)的圖象，去掉y軸左側(cè)的圖

5、象，再由y軸右側(cè)的圖象翻折得到y(tǒng)軸左側(cè)的圖象，即“右不動，右翻左”.跟蹤訓(xùn)練1函數(shù)f(x)2sin x(x，)的圖象大致為() a bc daf()2sin()201，f2sin210.5，f(0)2sin 0201，f2sin2，f()2sin 201.由此知選項(xiàng)a符合要求三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用已知彈簧上掛著的小球做上下振動時(shí)，小球離開平衡位置的位移s(cm)隨時(shí)間t(s)的變化規(guī)律為s4sin，t0，)用“五點(diǎn)法”作出這個函數(shù)的簡圖，并回答下列問題(1)小球在開始振動(t0)時(shí)的位移是多少？(2)小球上升到最高點(diǎn)和下降到最低點(diǎn)時(shí)的位移分別是多少？(3)經(jīng)過多長時(shí)間小球往復(fù)振動一次？

6、【導(dǎo)學(xué)號：84352128】思路探究確定函數(shù)yasin(x)中的參數(shù)a，的物理意義是解題關(guān)鍵解列表如下：t2t02sin01010s04040描點(diǎn)、連線，圖象如圖所示(1)將t0代入s4sin，得s4sin 2，所以小球開始振動時(shí)的位移是2 cm.(2)小球上升到最高點(diǎn)和下降到最低點(diǎn)時(shí)的位移分別是4 cm和4 cm.(3)因?yàn)檎駝拥闹芷谑?，所以小球往?fù)振動一次所用的時(shí)間是 s.規(guī)律方法在物理學(xué)中，物體做簡諧運(yùn)動時(shí)可用正弦型函數(shù)yasin(x)表示物體振動的位移y隨時(shí)間x的變化規(guī)律，a為振幅，表示物體離開平衡位置的最大距離，t為周期，表示物體往復(fù)振動一次所需的時(shí)間，f為頻率，表示物體在單位時(shí)間內(nèi)

7、往復(fù)振動的次數(shù).跟蹤訓(xùn)練2交流電的電壓e(單位：v)與時(shí)間t(單位：s)的關(guān)系可用e220sin來表示，求：(1)開始時(shí)電壓；(2)電壓值重復(fù)出現(xiàn)一次的時(shí)間間隔；(3)電壓的最大值和第一次獲得最大值的時(shí)間解(1)當(dāng)t0時(shí)，e110(v)，即開始時(shí)的電壓為110 v.(2)t(s)，即時(shí)間間隔為0.02 s.(3)電壓的最大值為220 v，當(dāng)100t，即t s時(shí)第一次取得最大值三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用探究問題在處理曲線擬合和預(yù)測的問題時(shí)，通常需要幾個步驟？提示：(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)給出散點(diǎn)圖(2)通過考察散點(diǎn)圖，畫出與其“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線(3)根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識，求出擬合直線

8、或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式(4)利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件對所給問題進(jìn)行預(yù)測和控制，以便為決策和管理提供依據(jù)已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時(shí)間t(時(shí))的函數(shù)，其中0t24，記yf(t)，下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)：t03691215182124y1.51.00.51.01.510.50.991.5經(jīng)長期觀測，yf(t)的圖象可近似地看成是函數(shù)yacos tb的圖象(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求其最小正周期，振幅及函數(shù)解析式；(2)根據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度大于1米時(shí)才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的8：00到20：00之間，有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行活動？ 【導(dǎo)學(xué)號：84352129】思路探究(

9、1)根據(jù)y的最大值和最小值求a，b，定周期求.(2)解不等式y(tǒng)1，確定有多少時(shí)間可供沖浪者活動解(1)由表中數(shù)據(jù)可知，t12，.又t0時(shí)，y1.5，ab1.5；t3時(shí)，y1.0，得b1.0，所以振幅為，函數(shù)解析式為ycost1(0t24)(2)y1時(shí)，才對沖浪愛好者開放，ycost11，cost0,2kt2k，即12k3t12k3，(kz)又0t24，所以0t3或9t15或21t24，所以在規(guī)定時(shí)間內(nèi)只有6個小時(shí)沖浪愛好者可以進(jìn)行活動，即9t15.母題探究：1.若將本例中“大于1米”改為“大于1.25米”，結(jié)果又如何？解由ycost11.25得cost，2kt2k，kz，即12k2t12k2，

10、kz.又0t24，所以0t2或10t14或22t24，所以在規(guī)定時(shí)間內(nèi)只有4個小時(shí)沖浪愛好者可以進(jìn)行活動，即10t14.2若本例中海濱浴場某區(qū)域的水深y(米)與時(shí)間t(時(shí))的數(shù)據(jù)如下表：t(時(shí))03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0用yasin tb刻畫水深與時(shí)間的對應(yīng)關(guān)系，試求此函數(shù)解析式解函數(shù)yasin tb在一個周期內(nèi)由最大變到最小需936(h)，此為半個周期，函數(shù)的最小正周期為12 h，因此12，.又當(dāng)t0時(shí)，y10；當(dāng)t3時(shí)，ymax13，b10，a13103，所求函數(shù)的解析式為y3sin t10(0t24)規(guī)律方法解三

11、角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟提醒：關(guān)注實(shí)際意義求準(zhǔn)定義域當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1與圖1­6­3中曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式是()圖1­6­3ay|sin x|bysin |x|cysin |x|dy|sin x|c注意題圖所對的函數(shù)值正負(fù)，因此可排除選項(xiàng)a，d.當(dāng)x(0，)時(shí)，sin |x|>0，而圖中顯然是小于零，因此排除選項(xiàng)b，故選c.2在兩個彈簧上各有一個質(zhì)量分別為m1和m2的小球做上下自由振動已知它們在時(shí)間t(s)離開平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分別由s15sin，s210cos 2t確定，則當(dāng)t s時(shí)，s1與s2的大小關(guān)系

12、是() 【導(dǎo)學(xué)號：84352130】as1s2 bs1s2cs1s2d不能確定c當(dāng)t時(shí)，s15sin5sin5，當(dāng)t時(shí)，s210cos10×5，故s1s2.3如圖1­6­4表示電流強(qiáng)度i與時(shí)間t的關(guān)系為iasin(x)(a0，0)在一個周期內(nèi)的圖象，則該函數(shù)解析式為()圖1­6­4ai300sinbi300sinci300sindi300sinca300，t2，100，i300sin(100t)代入點(diǎn)，得100×0，得，i300sin.4一根長l cm的線，一端固定，另一端懸掛一個小球，小球擺動時(shí)離開平衡位置的位移s(cm)與時(shí)間t(

13、s)的函數(shù)關(guān)系式為s3cos，其中g(shù)是重力加速度，當(dāng)小球擺動的周期是1 s時(shí)，線長l_cm.由已知得1，所以2，42，l.5如圖1­6­5，某動物種群數(shù)量1月1日低至700,7月1日高至900，其總量在此兩值之間依正弦型曲線變化圖1­6­5(1)求出種群數(shù)量y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式；(其中t以年初以來的月為計(jì)量單位)(2)估計(jì)當(dāng)年3月1日動物種群數(shù)量. 【導(dǎo)學(xué)號：84352131】解(1)設(shè)種群數(shù)量y關(guān)于t的解析式為yasin(t)b(a0，0)，則解得a100，b800.又周期t2×(60)12，y100sin800.又當(dāng)t6時(shí)，y900，900100sin800，sin()1，sin 1，取，y100sin800.(2)當(dāng)t2時(shí)，y100sin800750，即當(dāng)年