大學(xué)物理答案 -1.

1、第一章質(zhì)點運動學(xué)1 -1質(zhì)點作曲線運動,在時刻t 質(zhì)點的位矢為r,速度為v ,速率為v,t 至(t t)時間內(nèi)的位移為r, 路程為s, 位矢大小的變化量為r ( 或稱r),平均速度為,平均速率為(1) 根據(jù)上述情況,則必有()(A) r= s = r(B) r s r,當(dāng)t0 時有dr= ds dr(C) r r s,當(dāng)t0 時有dr= dr ds(D) r s r,當(dāng)t0 時有dr= dr = ds(2) 根據(jù)上述情況,則必有()(A) = ,= (B) , (C) = , (D) ,= 分析與解(1) 質(zhì)點在t 至(t t)時間內(nèi)沿曲線從P 點運動到P點,各量關(guān)系如圖所示, 其中路程s P

2、P, 位移大小rPP,而r r-r表示質(zhì)點位矢大小的變化量,三個量的物理含義不同,在曲線運動中大小也不相等(注：在直線運動中有相等的可能)但當(dāng)t0 時,點P無限趨近P點,則有drds,但卻不等于dr故選(B)(2) 由于r s,故,即但由于drds,故,即由此可見,應(yīng)選(C)1 -2一運動質(zhì)點在某瞬時位于位矢r(x,y)的端點處,對其速度的大小有四種意見,即(1)；(2)；(3)；(4)下述判斷正確的是()(A) 只有(1)(2)正確 (B) 只有(2)正確(C) 只有(2)(3)正確 (D) 只有(3)(4)正確分析與解表示質(zhì)點到坐標原點的距離隨時間的變化率,在極坐標系中叫徑向速率通常用符號

3、vr表示,這是速度矢量在位矢方向上的一個分量；表示速度矢量；在自然坐標系中速度大小可用公式計算,在直角坐標系中則可由公式求解故選(D)1 -3質(zhì)點作曲線運動,r 表示位置矢量, v表示速度,a表示加速度,s 表示路程, a表示切向加速度對下列表達式,即(1)d v /dt a；(2)dr/dt v；(3)ds/dt v；(4)d v /dta下述判斷正確的是()(A) 只有(1)、(4)是對的 (B) 只有(2)、(4)是對的(C) 只有(2)是對的 (D) 只有(3)是對的分析與解表示切向加速度a,它表示速度大小隨時間的變化率,是加速度矢量沿速度方向的一個分量,起改變速度大小的作用；在極坐標

4、系中表示徑向速率vr(如題1 -2 所述)；在自然坐標系中表示質(zhì)點的速率v；而表示加速度的大小而不是切向加速度a因此只有(3) 式表達是正確的故選(D)1 -4一個質(zhì)點在做圓周運動時,則有()(A) 切向加速度一定改變,法向加速度也改變(B) 切向加速度可能不變,法向加速度一定改變(C) 切向加速度可能不變,法向加速度不變(D) 切向加速度一定改變,法向加速度不變分析與解加速度的切向分量a起改變速度大小的作用,而法向分量an起改變速度方向的作用質(zhì)點作圓周運動時,由于速度方向不斷改變,相應(yīng)法向加速度的方向也在不斷改變,因而法向加速度是一定改變的至于a是否改變,則要視質(zhì)點的速率情況而定質(zhì)點作勻速率

5、圓周運動時, a恒為零；質(zhì)點作勻變速率圓周運動時, a為一不為零的恒量,當(dāng)a改變時,質(zhì)點則作一般的變速率圓周運動由此可見,應(yīng)選(B) 1 -6已知質(zhì)點沿x 軸作直線運動,其運動方程為,式中x 的單位為m,t 的單位為 s求：(1) 質(zhì)點在運動開始后4.0 s內(nèi)的位移的大小；(2) 質(zhì)點在該時間內(nèi)所通過的路程；(3) t4 s時質(zhì)點的速度和加速度分析位移和路程是兩個完全不同的概念只有當(dāng)質(zhì)點作直線運動且運動方向不改變時,位移的大小才會與路程相等質(zhì)點在t 時間內(nèi)的位移x 的大小可直接由運動方程得到：,而在求路程時,就必須注意到質(zhì)點在運動過程中可能改變運動方向,此時,位移的大小和路程就不同了為此,需根

6、據(jù)來確定其運動方向改變的時刻tp ,求出0tp 和tpt 內(nèi)的位移大小x1 、x2 ,則t 時間內(nèi)的路程,如圖所示,至于t 4.0 s 時質(zhì)點速度和加速度可用和兩式計算解(1) 質(zhì)點在4.0 s內(nèi)位移的大小 (2) 由 得知質(zhì)點的換向時刻為 (t0不合題意)則所以,質(zhì)點在4.0 s時間間隔內(nèi)的路程為 (3) t4.0 s時1 -7一質(zhì)點沿x 軸方向作直線運動,其速度與時間的關(guān)系如圖(a)所示設(shè)t0 時,x0試根據(jù)已知的v-t 圖,畫出a-t 圖以及x -t 圖分析根據(jù)加速度的定義可知,在直線運動中v-t曲線的斜率為加速度的大小(圖中AB、CD 段斜率為定值,即勻變速直線運動；而線段BC 的斜率

7、為0,加速度為零,即勻速直線運動)加速度為恒量,在a-t 圖上是平行于t 軸的直線,由v-t 圖中求出各段的斜率,即可作出a-t 圖線又由速度的定義可知,x-t 曲線的斜率為速度的大小因此,勻速直線運動所對應(yīng)的x -t 圖應(yīng)是一直線,而勻變速直線運動所對應(yīng)的xt 圖為t 的二次曲線根據(jù)各段時間內(nèi)的運動方程xx(t),求出不同時刻t 的位置x,采用描數(shù)據(jù)點的方法,可作出x-t 圖解將曲線分為AB、BC、CD 三個過程,它們對應(yīng)的加速度值分別為 (勻加速直線運動) (勻速直線運動) (勻減速直線運動)根據(jù)上述結(jié)果即可作出質(zhì)點的a-t 圖圖(B)在勻變速直線運動中,有由此,可計算在02和46時間間隔

8、內(nèi)各時刻的位置分別為用描數(shù)據(jù)點的作圖方法,由表中數(shù)據(jù)可作02和46時間內(nèi)的x -t 圖在24時間內(nèi), 質(zhì)點是作的勻速直線運動, 其x -t 圖是斜率k20的一段直線圖(c)1 -8已知質(zhì)點的運動方程為,式中r 的單位為m,t 的單位為求：(1) 質(zhì)點的運動軌跡；(2) t 0 及t 2時,質(zhì)點的位矢；(3) 由t 0 到t 2內(nèi)質(zhì)點的位移r 和徑向增量r； *(4) 2 內(nèi)質(zhì)點所走過的路程s分析質(zhì)點的軌跡方程為y f(x),可由運動方程的兩個分量式x(t)和y(t)中消去t 即可得到對于r、r、r、s 來說,物理含義不同,可根據(jù)其定義計算其中對s的求解用到積分方法,先在軌跡上任取一段微元ds,

9、則,最后用積分求解(1) 由x(t)和y(t)中消去t 后得質(zhì)點軌跡方程為這是一個拋物線方程,軌跡如圖(a)所示(2) 將t 0和t 2分別代入運動方程,可得相應(yīng)位矢分別為 , 圖(a)中的P、Q 兩點,即為t 0和t 2時質(zhì)點所在位置(3) 由位移表達式,得其中位移大小而徑向增量*(4) 如圖(B)所示,所求s 即為圖中PQ段長度,先在其間任意處取AB 微元ds,則,由軌道方程可得,代入ds,則2內(nèi)路程為1 -9質(zhì)點的運動方程為式中x,y 的單位為m,t 的單位為試求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向分析由運動方程的分量式可分別求出速度、加速度的分量,再由運動合成算出速

10、度和加速度的大小和方向解(1) 速度的分量式為當(dāng)t 0 時, vox -10 m·-1 , voy 15 m·-1 ,則初速度大小為設(shè)vo與x 軸的夾角為,則 123°41(2) 加速度的分量式為 , 則加速度的大小為設(shè)a 與x 軸的夾角為,則-33°41(或326°19)1 -10一升降機以加速度1.22 m·-2上升,當(dāng)上升速度為2.44 m·-1時,有一螺絲自升降機的天花板上松脫,天花板與升降機的底面相距2.74 m計算：(1)螺絲從天花板落到底面所需要的時間；(2)螺絲相對升降機外固定柱子的下降距離解1(1) 以地面

11、為參考系,取如圖所示的坐標系,升降機與螺絲的運動方程分別為當(dāng)螺絲落至底面時,有y1 y2 ,即 (2) 螺絲相對升降機外固定柱子下降的距離為解2(1)以升降機為參考系,此時,螺絲相對它的加速度大小ag a,螺絲落至底面時,有(2) 由于升降機在t 時間內(nèi)上升的高度為 則 1 -11一質(zhì)點P 沿半徑R 3.0 m的圓周作勻速率運動,運動一周所需時間為20.0,設(shè)t 0 時,質(zhì)點位于O 點按(a)圖中所示Oxy 坐標系,求(1) 質(zhì)點P 在任意時刻的位矢；(2)5時的速度和加速度分析該題屬于運動學(xué)的第一類問題,即已知運動方程r r(t)求質(zhì)點運動的一切信息(如位置矢量、位移、速度、加速度)在確定運

12、動方程時,若取以點(0,3)為原點的Oxy坐標系,并采用參數(shù)方程xx(t)和yy(t)來表示圓周運動是比較方便的然后,運用坐標變換x x0 x和y y0 y,將所得參數(shù)方程轉(zhuǎn)換至Oxy 坐標系中,即得Oxy 坐標系中質(zhì)點P 在任意時刻的位矢采用對運動方程求導(dǎo)的方法可得速度和加速度解(1) 如圖(B)所示,在Oxy坐標系中,因,則質(zhì)點P 的參數(shù)方程為,坐標變換后,在Oxy 坐標系中有,則質(zhì)點P 的位矢方程為(2) 5時的速度和加速度分別為 1 -12地面上垂直豎立一高20.0 m 的旗桿,已知正午時分太陽在旗桿的正上方,求在下午200 時,桿頂在地面上的影子的速度的大小在何時刻桿影伸展至20.0

13、 m？分析為求桿頂在地面上影子速度的大小,必須建立影長與時間的函數(shù)關(guān)系,即影子端點的位矢方程根據(jù)幾何關(guān)系,影長可通過太陽光線對地轉(zhuǎn)動的角速度求得由于運動的相對性,太陽光線對地轉(zhuǎn)動的角速度也就是地球自轉(zhuǎn)的角速度這樣,影子端點的位矢方程和速度均可求得解設(shè)太陽光線對地轉(zhuǎn)動的角速度為,從正午時分開始計時,則桿的影長為shtgt,下午200 時,桿頂在地面上影子的速度大小為當(dāng)桿長等于影長時,即s h,則即為下午300 時1 -13質(zhì)點沿直線運動,加速度a4 -t2 ,式中a的單位為m·-2 ,t的單位為如果當(dāng)t 3時,x9 m,v 2 m·-1 ,求質(zhì)點的運動方程分析本題屬于運動學(xué)第

14、二類問題,即已知加速度求速度和運動方程,必須在給定條件下用積分方法解決由和可得和如aa(t)或v v(t),則可兩邊直接積分如果a 或v不是時間t 的顯函數(shù),則應(yīng)經(jīng)過諸如分離變量或變量代換等數(shù)學(xué)操作后再做積分解由分析知,應(yīng)有得 (1)由 得 (2)將t3時,x9 m,v2 m·-1代入(1) (2)得v0-1 m·-1,x00.75 m于是可得質(zhì)點運動方程為1 -14一石子從空中由靜止下落,由于空氣阻力,石子并非作自由落體運動,現(xiàn)測得其加速度aA -Bv,式中A、B 為正恒量,求石子下落的速度和運動方程分析本題亦屬于運動學(xué)第二類問題,與上題不同之處在于加速度是速度v的函數(shù),

15、因此,需將式dv a(v)dt 分離變量為后再兩邊積分解選取石子下落方向為y 軸正向,下落起點為坐標原點(1) 由題意知 (1)用分離變量法把式(1)改寫為 (2)將式(2)兩邊積分并考慮初始條件,有得石子速度 由此可知當(dāng),t時,為一常量,通常稱為極限速度或收尾速度(2) 再由并考慮初始條件有得石子運動方程1 -15一質(zhì)點具有恒定加速度a 6i 4j,式中a的單位為m·-2 在t0時,其速度為零,位置矢量r0 10 mi求：(1) 在任意時刻的速度和位置矢量；(2) 質(zhì)點在Oxy 平面上的軌跡方程,并畫出軌跡的示意圖分析與上兩題不同處在于質(zhì)點作平面曲線運動,根據(jù)疊加原理,求解時需根據(jù)

16、加速度的兩個分量ax 和ay分別積分,從而得到運動方程r的兩個分量式x(t)和y(t)由于本題中質(zhì)點加速度為恒矢量,故兩次積分后所得運動方程為固定形式,即和,兩個分運動均為勻變速直線運動讀者不妨自己驗證一下解由加速度定義式,根據(jù)初始條件t0 0時v0 0,積分可得又由及初始條件t0 時,r0(10 m)i,積分可得由上述結(jié)果可得質(zhì)點運動方程的分量式,即x 103t2y 2t2消去參數(shù)t,可得運動的軌跡方程3y 2x -20 m這是一個直線方程直線斜率,33°41軌跡如圖所示1 -16一質(zhì)點在半徑為R 的圓周上以恒定的速率運動,質(zhì)點由位置A 運動到位置B,OA 和OB 所對的圓心角為(

17、1) 試證位置A 和B 之間的平均加速度為；(2) 當(dāng)分別等于90°、30°、10°和1°時,平均加速度各為多少？ 并對結(jié)果加以討論分析瞬時加速度和平均加速度的物理含義不同,它們分別表示為和在勻速率圓周運動中,它們的大小分別為, ,式中v可由圖(B)中的幾何關(guān)系得到,而t 可由轉(zhuǎn)過的角度 求出由計算結(jié)果能清楚地看到兩者之間的關(guān)系,即瞬時加速度是平均加速度在t0 時的極限值解(1) 由圖(b)可看到v v2 -v1 ,故而所以 (2) 將90°,30°,10°,1°分別代入上式,得,以上結(jié)果表明,當(dāng)0 時,勻速率圓周

18、運動的平均加速度趨近于一極限值,該值即為法向加速度1 -17質(zhì)點在Oxy 平面內(nèi)運動,其運動方程為r2.0ti (19.0 -2.0t2 )j,式中r 的單位為m,t的單位為s求：(1)質(zhì)點的軌跡方程；(2) 在t11.0s 到t2 2.0s 時間內(nèi)的平均速度；(3) t1 1.0時的速度及切向和法向加速度；(4) t 1.0s 時質(zhì)點所在處軌道的曲率半徑分析根據(jù)運動方程可直接寫出其分量式x x(t)和y y(t),從中消去參數(shù)t,即得質(zhì)點的軌跡方程平均速度是反映質(zhì)點在一段時間內(nèi)位置的變化率,即,它與時間間隔t 的大小有關(guān),當(dāng)t0 時,平均速度的極限即瞬時速度切向和法向加速度是指在自然坐標下的

19、分矢量a 和an ,前者只反映質(zhì)點在切線方向速度大小的變化率,即,后者只反映質(zhì)點速度方向的變化,它可由總加速度a 和a 得到在求得t1 時刻質(zhì)點的速度和法向加速度的大小后,可由公式求解(1) 由參數(shù)方程x 2.0t,y 19.0-2.0t2消去t 得質(zhì)點的軌跡方程：y 19.0 -0.50x2 (2) 在t1 1.00 到t2 2.0時間內(nèi)的平均速度(3) 質(zhì)點在任意時刻的速度和加速度分別為則t1 1.00時的速度v(t)t 12.0i -4.0j切向和法向加速度分別為(4) t 1.0質(zhì)點的速度大小為則1 -18飛機以100 m·-1 的速度沿水平直線飛行,在離地面高為100 m時

20、,駕駛員要把物品空投到前方某一地面目標處,問：(1) 此時目標在飛機正下方位置的前面多遠？ (2) 投放物品時,駕駛員看目標的視線和水平線成何角度？(3) 物品投出2.0后,它的法向加速度和切向加速度各為多少？解(1) 取如圖所示的坐標,物品下落時在水平和豎直方向的運動方程分別為x vt,y 1/2 gt2飛機水平飛行速度v100 m·s-1 ,飛機離地面的高度y100 m,由上述兩式可得目標在飛機正下方前的距離(2) 視線和水平線的夾角為(3) 在任意時刻物品的速度與水平軸的夾角為取自然坐標,物品在拋出2s 時,重力加速度的切向分量與法向分量分別為1 -19如圖(a)所示,一小型迫

21、擊炮架設(shè)在一斜坡的底端O 處,已知斜坡傾角為,炮身與斜坡的夾角為,炮彈的出口速度為v0,忽略空氣阻力求：(1)炮彈落地點P 與點O 的距離OP；(2) 欲使炮彈能垂直擊中坡面證明和必須滿足并與v0 無關(guān)分析這是一個斜上拋運動,看似簡單,但針對題目所問,如不能靈活運用疊加原理,建立一個恰當(dāng)?shù)淖鴺讼?將運動分解的話,求解起來并不容易現(xiàn)建立如圖(a)所示坐標系,則炮彈在x 和y 兩個方向的分運動均為勻減速直線運動,其初速度分別為v0cos和v0sin,其加速度分別為gsin和gcos在此坐標系中炮彈落地時,應(yīng)有y 0,則x OP如欲使炮彈垂直擊中坡面,則應(yīng)滿足vx 0,直接列出有關(guān)運動方程和速度方程

22、,即可求解由于本題中加速度g 為恒矢量故第一問也可由運動方程的矢量式計算,即,做出炮彈落地時的矢量圖如圖(B)所示,由圖中所示幾何關(guān)系也可求得 (即圖中的r 矢量)(1)解1由分析知,炮彈在圖(a)所示坐標系中兩個分運動方程為 (1) (2)令y 0 求得時間t 后再代入式(1)得解2做出炮彈的運動矢量圖,如圖(b)所示,并利用正弦定理,有從中消去t 后也可得到同樣結(jié)果(2) 由分析知,如炮彈垂直擊中坡面應(yīng)滿足y 0 和vx 0,則 (3)由(2)(3)兩式消去t 后得由此可知只要角和滿足上式,炮彈就能垂直擊中坡面,而與v0 的大小無關(guān)討論如將炮彈的運動按水平和豎直兩個方向分解,求解本題將會比

23、較困難,有興趣讀者不妨自己體驗一下1 -20一直立的雨傘,張開后其邊緣圓周的半徑為R,離地面的高度為h,(1) 當(dāng)傘繞傘柄以勻角速旋轉(zhuǎn)時,求證水滴沿邊緣飛出后落在地面上半徑為的圓周上；(2) 讀者能否由此定性構(gòu)想一種草坪上或農(nóng)田灌溉用的旋轉(zhuǎn)式灑水器的方案？分析選定傘邊緣O 處的雨滴為研究對象,當(dāng)傘以角速度旋轉(zhuǎn)時,雨滴將以速度v 沿切線方向飛出,并作平拋運動建立如圖(a)所示坐標系,列出雨滴的運動方程并考慮圖中所示幾何關(guān)系,即可求證由此可以想像如果讓水從一個旋轉(zhuǎn)的有很多小孔的噴頭中飛出,從不同小孔中飛出的水滴將會落在半徑不同的圓周上,為保證均勻噴灑對噴頭上小孔的分布還要給予精心的考慮解(1) 如

24、圖(a)所示坐標系中,雨滴落地的運動方程為 (1) (2)由式(1)(2)可得 由圖(a)所示幾何關(guān)系得雨滴落地處圓周的半徑為(2) 常用草坪噴水器采用如圖(b)所示的球面噴頭(0 45°)其上有大量小孔噴頭旋轉(zhuǎn)時,水滴以初速度v0 從各個小孔中噴出,并作斜上拋運動,通常噴頭表面基本上與草坪處在同一水平面上則以角噴射的水柱射程為為使噴頭周圍的草坪能被均勻噴灑,噴頭上的小孔數(shù)不但很多,而且還不能均勻分布,這是噴頭設(shè)計中的一個關(guān)鍵問題1 -21一足球運動員在正對球門前25.0 m 處以20.0 m·-1 的初速率罰任意球,已知球門高為3.44 m若要在垂直于球門的豎直平面內(nèi)將足

25、球直接踢進球門,問他應(yīng)在與地面成什么角度的范圍內(nèi)踢出足球？ (足球可視為質(zhì)點) 分析被踢出后的足球,在空中作斜拋運動,其軌跡方程可由質(zhì)點在豎直平面內(nèi)的運動方程得到由于水平距離x 已知,球門高度又限定了在y 方向的范圍,故只需將x、y 值代入即可求出解取圖示坐標系Oxy,由運動方程,消去t 得軌跡方程以x 25.0 m,v 20.0 m·-1 及3.44 my0 代入后,可解得7111°1 6992°2792°2 1889°如何理解上述角度的范圍？在初速一定的條件下,球擊中球門底線或球門上緣都將對應(yīng)有兩個不同的投射傾角(如圖所示)如果以7111&

26、#176;或 18.89°踢出足球,都將因射程不足而不能直接射入球門；由于球門高度的限制, 角也并非能取71.11°與18.89°之間的任何值當(dāng)傾角取值為27.92° 6992°時,踢出的足球?qū)⒃竭^門緣而離去,這時球也不能射入球門因此可取的角度范圍只能是解中的結(jié)果1 -22一質(zhì)點沿半徑為R 的圓周按規(guī)律運動,v0 、b 都是常量(1) 求t 時刻質(zhì)點的總加速度；(2) t 為何值時總加速度在數(shù)值上等于b？(3) 當(dāng)加速度達到b 時,質(zhì)點已沿圓周運行了多少圈？解(1) 質(zhì)點作圓周運動的速率為其加速度的切向分量和法向分量分別為, 故加速度的大小為其

27、方向與切線之間的夾角為(2) 要使ab,由可得(3) 從t0 開始到tv0 /b 時,質(zhì)點經(jīng)過的路程為因此質(zhì)點運行的圈數(shù)為1 -23一半徑為0.50 m 的飛輪在啟動時的短時間內(nèi),其角速度與時間的平方成正比在t2.0 時測得輪緣一點的速度值為4.0 m·-1求：(1) 該輪在t0.5的角速度,輪緣一點的切向加速度和總加速度；(2)該點在2.0內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角度分析首先應(yīng)該確定角速度的函數(shù)關(guān)系kt2依據(jù)角量與線量的關(guān)系由特定時刻的速度值可得相應(yīng)的角速度,從而求出式中的比例系數(shù)k,(t)確定后,注意到運動的角量描述與線量描述的相應(yīng)關(guān)系,由運動學(xué)中兩類問題求解的方法(微分法和積分法),即可得到

28、特定時刻的角加速度、切向加速度和角位移解因R v,由題意t2 得比例系數(shù)所以 則t0.5 時的角速度、角加速度和切向加速度分別為總加速度在2.0內(nèi)該點所轉(zhuǎn)過的角度1 -24一質(zhì)點在半徑為0.10 m的圓周上運動,其角位置為,式中 的單位為rad,t 的單位為(1) 求在t 2.0時質(zhì)點的法向加速度和切向加速度(2) 當(dāng)切向加速度的大小恰等于總加速度大小的一半時, 值為多少？(3) t 為多少時,法向加速度和切向加速度的值相等？分析掌握角量與線量、角位移方程與位矢方程的對應(yīng)關(guān)系,應(yīng)用運動學(xué)求解的方法即可得到解(1) 由于,則角速度在t 2 時,法向加速度和切向加速度的數(shù)值分別為(2) 當(dāng)時,有,

29、即得 此時刻的角位置為(3) 要使,則有t 0.551 -25一無風(fēng)的下雨天,一列火車以v120.0 m·-1 的速度勻速前進,在車內(nèi)的旅客看見玻璃窗外的雨滴和垂線成75°角下降求雨滴下落的速度v2 (設(shè)下降的雨滴作勻速運動)分析這是一個相對運動的問題設(shè)雨滴為研究對象,地面為靜止參考系,火車為動參考系v1 為相對 的速度,v2 為雨滴相對的速度,利用相對運動速度的關(guān)系即可解解以地面為參考系,火車相對地面運動的速度為v1 ,雨滴相對地面豎直下落的速度為v2 ,旅客看到雨滴下落的速度v2為相對速度,它們之間的關(guān)系為 (如圖所示),于是可得1 -26如圖(a)所示,一汽車在雨中沿

30、直線行駛,其速率為v1 ,下落雨滴的速度方向偏于豎直方向之前 角,速率為v2,若車后有一長方形物體,問車速v1為多大時,此物體正好不會被雨水淋濕？分析這也是一個相對運動的問題可視雨點為研究對象,地面為靜參考系,汽車為動參考系如圖(a)所示,要使物體不被淋濕,在車上觀察雨點下落的方向(即雨點相對于汽車的運動速度v2的方向)應(yīng)滿足再由相對速度的矢量關(guān)系,即可求出所需車速v1解由圖(b),有而要使,則1 -27一人能在靜水中以1.10 m·-1 的速度劃船前進今欲橫渡一寬為1.00 ×103 m、水流速度為0.55 m·-1 的大河(1) 他若要從出發(fā)點橫渡該河而到達正

31、對岸的一點,那么應(yīng)如何確定劃行方向？ 到達正對岸需多少時間？ (2)如果希望用最短的時間過河,應(yīng)如何確定劃行方向？ 船到達對岸的位置在什么地方？分析船到達對岸所需時間是由船相對于岸的速度v 決定的由于水流速度u的存在, v與船在靜水中劃行的速度v之間有vu v(如圖所示)若要使船到達正對岸,則必須使v沿正對岸方向；在劃速一定的條件下,若要用最短時間過河,則必須使v 有極大值解(1) 由vu v可知,則船到達正對岸所需時間為(2) 由于,在劃速v一定的條件下,只有當(dāng)0 時, v 最大(即vv),此時,船過河時間td /v,船到達距正對岸為l 的下游處,且有1 -28 一質(zhì)點相對觀察者O 運動,

32、在任意時刻t , 其位置為x vt , ygt2 /2,質(zhì)點運動的軌跡為拋物線若另一觀察者O以速率v 沿x 軸正向相對于O 運動試問質(zhì)點相對O的軌跡和加速度如何？分析該問題涉及到運動的相對性如何將已知質(zhì)點相對于觀察者O 的運動轉(zhuǎn)換到相對于觀察者O的運動中去,其實質(zhì)就是進行坐標變換,將系O 中一動點(x,y)變換至系O中的點(x,y)由于觀察者O相對于觀察者O 作勻速運動,因此,該坐標變換是線性的解取Oxy 和Oxy分別為觀察者O 和觀察者O所在的坐標系,且使Ox 和Ox兩軸平行在t 0 時,兩坐標原點重合由坐標變換得xx - v t v t - v t 0yy 1/2 gt2加速度 由此可見,

33、動點相對于系O是在y 方向作勻變速直線運動動點在兩坐標系中加速度相同,這也正是伽利略變換的必然結(jié)果第二章牛頓定律2 -1如圖(a)所示,質(zhì)量為m 的物體用平行于斜面的細線聯(lián)結(jié)置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速運動,當(dāng)物體剛脫離斜面時,它的加速度的大小為()(A) gsin (B) gcos (C) gtan (D) gcot 分析與解當(dāng)物體離開斜面瞬間,斜面對物體的支持力消失為零,物體在繩子拉力F (其方向仍可認為平行于斜面)和重力作用下產(chǎn)生平行水平面向左的加速度a,如圖(b)所示,由其可解得合外力為mgcot ,故選(D)求解的關(guān)鍵是正確分析物體剛離開斜面瞬間的物體受力情況和狀態(tài)特征 2

34、-2用水平力FN把一個物體壓著靠在粗糙的豎直墻面上保持靜止當(dāng)FN逐漸增大時,物體所受的靜摩擦力Ff的大小()(A) 不為零,但保持不變(B) 隨FN成正比地增大(C) 開始隨FN增大,達到某一最大值后,就保持不變(D) 無法確定分析與解與滑動摩擦力不同的是,靜摩擦力可在零與最大值FN范圍內(nèi)取值當(dāng)FN增加時,靜摩擦力可取的最大值成正比增加,但具體大小則取決于被作用物體的運動狀態(tài)由題意知,物體一直保持靜止?fàn)顟B(tài),故靜摩擦力與重力大小相等,方向相反,并保持不變,故選(A)2 -3一段路面水平的公路,轉(zhuǎn)彎處軌道半徑為R,汽車輪胎與路面間的摩擦因數(shù)為,要使汽車不至于發(fā)生側(cè)向打滑,汽車在該處的行駛速率()(

35、A) 不得小于(B) 必須等于(C) 不得大于 (D) 還應(yīng)由汽車的質(zhì)量m 決定分析與解由題意知,汽車應(yīng)在水平面內(nèi)作勻速率圓周運動,為保證汽車轉(zhuǎn)彎時不側(cè)向打滑,所需向心力只能由路面與輪胎間的靜摩擦力提供,能夠提供的最大向心力應(yīng)為FN由此可算得汽車轉(zhuǎn)彎的最大速率應(yīng)為vRg因此只要汽車轉(zhuǎn)彎時的實際速率不大于此值,均能保證不側(cè)向打滑應(yīng)選(C)2 -4一物體沿固定圓弧形光滑軌道由靜止下滑,在下滑過程中,則()(A) 它的加速度方向永遠指向圓心,其速率保持不變(B) 它受到的軌道的作用力的大小不斷增加(C) 它受到的合外力大小變化,方向永遠指向圓心(D) 它受到的合外力大小不變,其速率不斷增加分析與解由

36、圖可知,物體在下滑過程中受到大小和方向不變的重力以及時刻指向圓軌道中心的軌道支持力FN作用,其合外力方向并非指向圓心,其大小和方向均與物體所在位置有關(guān)重力的切向分量(m gcos ) 使物體的速率將會不斷增加(由機械能守恒亦可判斷),則物體作圓周運動的向心力(又稱法向力)將不斷增大,由軌道法向方向上的動力學(xué)方程可判斷,隨 角的不斷增大過程,軌道支持力FN也將不斷增大,由此可見應(yīng)選(B)2 -5圖(a)示系統(tǒng)置于以a 1/4 g 的加速度上升的升降機內(nèi),A、B 兩物體質(zhì)量相同均為m,A 所在的桌面是水平的,繩子和定滑輪質(zhì)量均不計,若忽略滑輪軸上和桌面上的摩擦,并不計空氣阻力,則繩中張力為()(A

37、) 58 mg(B) 12 mg(C) mg(D) 2mg分析與解本題可考慮對A、B 兩物體加上慣性力后,以電梯這個非慣性參考系進行求解此時A、B 兩物體受力情況如圖(b)所示,圖中a為A、B 兩物體相對電梯的加速度,ma為慣性力對A、B 兩物體應(yīng)用牛頓第二定律,可解得F 5/8 mg故選(A)討論對于習(xí)題2 -5 這種類型的物理問題,往往從非慣性參考系(本題為電梯)觀察到的運動圖像較為明確,但由于牛頓定律只適用于慣性參考系,故從非慣性參考系求解力學(xué)問題時,必須對物體加上一個虛擬的慣性力如以地面為慣性參考系求解,則兩物體的加速度aA 和aB 均應(yīng)對地而言,本題中aA 和aB的大小與方向均不相同

38、其中aA 應(yīng)斜向上對aA 、aB 、a 和a之間還要用到相對運動規(guī)律,求解過程較繁有興趣的讀者不妨自己嘗試一下2 -6圖示一斜面,傾角為,底邊AB 長為l 2.1 m,質(zhì)量為m 的物體從題2 -6 圖斜面頂端由靜止開始向下滑動,斜面的摩擦因數(shù)為0.14試問,當(dāng)為何值時,物體在斜面上下滑的時間最短？ 其數(shù)值為多少？分析動力學(xué)問題一般分為兩類：(1) 已知物體受力求其運動情況；(2) 已知物體的運動情況來分析其所受的力當(dāng)然,在一個具體題目中,這兩類問題并無截然的界限,且都是以加速度作為中介,把動力學(xué)方程和運動學(xué)規(guī)律聯(lián)系起來本題關(guān)鍵在列出動力學(xué)和運動學(xué)方程后,解出傾角與時間的函數(shù)關(guān)系f(t),然后運

39、用對t 求極值的方法即可得出數(shù)值來解取沿斜面為坐標軸Ox,原點O 位于斜面頂點,則由牛頓第二定律有 (1)又物體在斜面上作勻變速直線運動,故有則 (2)為使下滑的時間最短,可令,由式(2)有則可得 ,此時 2 -7工地上有一吊車,將甲、乙兩塊混凝土預(yù)制板吊起送至高空甲塊質(zhì)量為m1 2.00 ×102 kg,乙塊質(zhì)量為m2 1.00 ×102 kg設(shè)吊車、框架和鋼絲繩的質(zhì)量不計試求下述兩種情況下,鋼絲繩所受的張力以及乙塊對甲塊的作用力：(1) 兩物塊以10.0 m·-2 的加速度上升；(2) 兩物塊以1.0 m·-2 的加速度上升從本題的結(jié)果,你能體會到起

40、吊重物時必須緩慢加速的道理嗎？分析預(yù)制板、吊車框架、鋼絲等可視為一組物體處理動力學(xué)問題通常采用“隔離體”的方法,分析物體所受的各種作用力,在所選定的慣性系中列出它們各自的動力學(xué)方程根據(jù)連接體中物體的多少可列出相應(yīng)數(shù)目的方程式結(jié)合各物體之間的相互作用和聯(lián)系,可解決物體的運動或相互作用力解按題意,可分別取吊車(含甲、乙)和乙作為隔離體,畫示力圖,并取豎直向上為Oy 軸正方向(如圖所示)當(dāng)框架以加速度a 上升時,有F -(m1 m2 )g (m1 m2 )a (1)FN2 - m2 g m2 a (2)解上述方程,得F (m1 m2 )(g a) (3)FN2 m2 (g a) (4)(1) 當(dāng)整個

41、裝置以加速度a 10 m·-2 上升時,由式(3)可得繩所受張力的值為F 5.94 ×103 N乙對甲的作用力為FN2 -FN2 -m2 (g a) -1.98 ×103 N(2) 當(dāng)整個裝置以加速度a 1 m·-2 上升時,得繩張力的值為F 3.24 ×103 N此時,乙對甲的作用力則為FN2 -1.08 ×103 N由上述計算可見,在起吊相同重量的物體時,由于起吊加速度不同,繩中所受張力也不同,加速度大,繩中張力也大因此,起吊重物時必須緩慢加速,以確保起吊過程的安全2 -8如圖(a)所示,已知兩物體A、B 的質(zhì)量均為m 3.0kg

42、 物體A 以加速度a 1.0 m·-2 運動,求物體B 與桌面間的摩擦力(滑輪與連接繩的質(zhì)量不計)解分別對物體和滑輪作受力分析圖(b)由牛頓定律分別對物體A、B 及滑輪列動力學(xué)方程,有mA g -F mA a (1)F1 -F mB a (2)F -2F1 0 (3)考慮到mA mB m, F F , F1 F1 ,a2a,可聯(lián)立解得物體與桌面的摩擦力2 -9質(zhì)量為m的長平板A 以速度v在光滑平面上作直線運動,現(xiàn)將質(zhì)量為m 的木塊B 輕輕平穩(wěn)地放在長平板上,板與木塊之間的動摩擦因數(shù)為,求木塊在長平板上滑行多遠才能與板取得共同速度？分析當(dāng)木塊B 平穩(wěn)地輕輕放至運動著的平板A 上時,木塊

43、的初速度可視為零,由于它與平板之間速度的差異而存在滑動摩擦力,該力將改變它們的運動狀態(tài)根據(jù)牛頓定律可得到它們各自相對地面的加速度換以平板為參考系來分析,此時,木塊以初速度-v(與平板運動速率大小相等、方向相反)作勻減速運動,其加速度為相對加速度,按運動學(xué)公式即可解得 該題也可應(yīng)用第三章所講述的系統(tǒng)的動能定理來解將平板與木塊作為系統(tǒng),該系統(tǒng)的動能由平板原有的動能變?yōu)槟緣K和平板一起運動的動能,而它們的共同速度可根據(jù)動量定理求得又因為系統(tǒng)內(nèi)只有摩擦力作功,根據(jù)系統(tǒng)的動能定理,摩擦力的功應(yīng)等于系統(tǒng)動能的增量木塊相對平板移動的距離即可求出解1以地面為參考系,在摩擦力F mg 的作用下,根據(jù)牛頓定律分別對

44、木塊、平板列出動力學(xué)方程F mg ma1F -F ma2a1 和a2 分別是木塊和木板相對地面參考系的加速度若以木板為參考系,木塊相對平板的加速度a a1 a2 ,木塊相對平板以初速度- v作勻減速運動直至最終停止由運動學(xué)規(guī)律有- v2 2as由上述各式可得木塊相對于平板所移動的距離為解2以木塊和平板為系統(tǒng),它們之間一對摩擦力作的總功為W F (s l) -Fl mgs式中l(wèi) 為平板相對地面移動的距離由于系統(tǒng)在水平方向上不受外力,當(dāng)木塊放至平板上時,根據(jù)動量守恒定律,有mv(mm) v由系統(tǒng)的動能定理,有由上述各式可得2 -10如圖(a)所示,在一只半徑為R 的半球形碗內(nèi),有一粒質(zhì)量為m 的小

45、鋼球,當(dāng)小球以角速度在水平面內(nèi)沿碗內(nèi)壁作勻速圓周運動時,它距碗底有多高？分析維持鋼球在水平面內(nèi)作勻角速度轉(zhuǎn)動時,必須使鋼球受到一與向心加速度相對應(yīng)的力(向心力),而該力是由碗內(nèi)壁對球的支持力FN 的分力來提供的,由于支持力FN 始終垂直于碗內(nèi)壁,所以支持力的大小和方向是隨而變的取圖示Oxy 坐標,列出動力學(xué)方程,即可求解鋼球距碗底的高度解取鋼球為隔離體,其受力分析如圖(b)所示在圖示坐標中列動力學(xué)方程 (1) (2)且有 (3)由上述各式可解得鋼球距碗底的高度為可見,h 隨的變化而變化2 -11火車轉(zhuǎn)彎時需要較大的向心力,如果兩條鐵軌都在同一水平面內(nèi)(內(nèi)軌、外軌等高),這個向心力只能由外軌提供

46、,也就是說外軌會受到車輪對它很大的向外側(cè)壓力,這是很危險的因此,對應(yīng)于火車的速率及轉(zhuǎn)彎處的曲率半徑,必須使外軌適當(dāng)?shù)馗叱鰞?nèi)軌,稱為外軌超高現(xiàn)有一質(zhì)量為m 的火車,以速率v 沿半徑為R 的圓弧軌道轉(zhuǎn)彎,已知路面傾角為,試求：(1) 在此條件下,火車速率v0 為多大時,才能使車輪對鐵軌內(nèi)外軌的側(cè)壓力均為零？ (2) 如果火車的速率vv0 ,則車輪對鐵軌的側(cè)壓力為多少？分析如題所述,外軌超高的目的欲使火車轉(zhuǎn)彎的所需向心力僅由軌道支持力的水平分量FNsin 提供(式中 角為路面傾角)從而不會對內(nèi)外軌產(chǎn)生擠壓與其對應(yīng)的是火車轉(zhuǎn)彎時必須以規(guī)定的速率v0行駛當(dāng)火車行駛速率vv0 時,則會產(chǎn)生兩種情況：如圖所

47、示,如vv0 時,外軌將會對車輪產(chǎn)生斜向內(nèi)的側(cè)壓力F1 ,以補償原向心力的不足,如vv0時,則內(nèi)軌對車輪產(chǎn)生斜向外的側(cè)壓力F2 ,以抵消多余的向心力,無論哪種情況火車都將對外軌或內(nèi)軌產(chǎn)生擠壓由此可知,鐵路部門為什么會在每個鐵軌的轉(zhuǎn)彎處規(guī)定時速,從而確保行車安全解(1) 以火車為研究對象,建立如圖所示坐標系據(jù)分析,由牛頓定律有 (1) (2)解(1)(2)兩式可得火車轉(zhuǎn)彎時規(guī)定速率為(2) 當(dāng)vv0 時,根據(jù)分析有 (3) (4)解(3)(4)兩式,可得外軌側(cè)壓力為當(dāng)vv0 時,根據(jù)分析有 (5) (6)解(5)(6)兩式,可得內(nèi)軌側(cè)壓力為2 -12一雜技演員在圓筒形建筑物內(nèi)表演飛車走壁設(shè)演員和

48、摩托車的總質(zhì)量為m,圓筒半徑為R,演員騎摩托車在直壁上以速率v 作勻速圓周螺旋運動,每繞一周上升距離為h,如圖所示求壁對演員和摩托車的作用力分析雜技演員(連同摩托車)的運動可以看成一個水平面內(nèi)的勻速率圓周運動和一個豎直向上勻速直線運動的疊加其旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋線軌跡展開后,相當(dāng)于如圖(b)所示的斜面把演員的運動速度分解為圖示的v1 和v2 兩個分量,顯然v1是豎直向上作勻速直線運動的分速度,而v2則是繞圓筒壁作水平圓周運動的分速度,其中向心力由筒壁對演員的支持力FN 的水平分量FN2 提供,而豎直分量FN1 則與重力相平衡如圖(c)所示,其中角為摩托車與筒壁所夾角運用牛頓定律即可求得筒壁支持力

49、的大小和方向解設(shè)雜技演員連同摩托車整體為研究對象,據(jù)(b)(c)兩圖應(yīng)有 (1) (2) (3) (4)以式(3)代入式(2),得 (5)將式(1)和式(5)代入式(4),可求出圓筒壁對雜技演員的作用力(即支承力)大小為與壁的夾角為討論表演飛車走壁時,演員必須控制好運動速度,行車路線以及摩托車的方位,以確保三者之間滿足解題用到的各個力學(xué)規(guī)律2 -13一質(zhì)點沿x軸運動,其受力如圖所示,設(shè)t 0 時,v05m·-1 ,x02 m,質(zhì)點質(zhì)量m 1kg,試求該質(zhì)點7末的速度和位置坐標分析首先應(yīng)由題圖求得兩個時間段的F(t)函數(shù),進而求得相應(yīng)的加速度函數(shù),運用積分方法求解題目所問,積分時應(yīng)注意

50、積分上下限的取值應(yīng)與兩時間段相應(yīng)的時刻相對應(yīng) 解由題圖得由牛頓定律可得兩時間段質(zhì)點的加速度分別為對0 t 5 時間段,由得積分后得 再由得積分后得將t 5 代入,得v530 m·-1 和x5 68.7 m對5t 7 時間段,用同樣方法有得 再由 得x 17.5t2 -0.83t3 -82.5t 147.87將t 7代入分別得v740 m·-1 和x7 142 m2 -14一質(zhì)量為10 kg 的質(zhì)點在力F 的作用下沿x 軸作直線運動,已知F 120t 40,式中F 的單位為N,t 的單位的在t 0 時,質(zhì)點位于x 5.0 m處,其速度v06.0 m·-1 求質(zhì)點在任

51、意時刻的速度和位置分析這是在變力作用下的動力學(xué)問題由于力是時間的函數(shù),而加速度adv/dt,這時,動力學(xué)方程就成為速度對時間的一階微分方程,解此微分方程可得質(zhì)點的速度v (t)；由速度的定義vdx /dt,用積分的方法可求出質(zhì)點的位置解因加速度adv/dt,在直線運動中,根據(jù)牛頓運動定律有依據(jù)質(zhì)點運動的初始條件,即t0 0 時v0 6.0 m·-1 ,運用分離變量法對上式積分,得v6.0+4.0t+6.0t2 又因vdx /dt,并由質(zhì)點運動的初始條件：t0 0 時x0 5.0 m,對上式分離變量后積分,有x 5.0+6.0t+2.0t2 +2.0t32 -15輕型飛機連同駕駛員總質(zhì)量為1.0 ×103 kg飛機以55.0 m·-1 的速率在水平跑道上著陸后,駕駛員開始制動,若阻力與時間成正比,比例系數(shù)5.0 ×102 N·-1 ,空氣對飛機升力不計,求：(1) 10后飛機的速率；(2) 飛機著陸后10內(nèi)滑行的距離分析飛機