工程力學C：第十四章 復雜應力狀態(tài)強度問題

1、一、強度理論產(chǎn)生的背景一、強度理論產(chǎn)生的背景 桿件受到軸向拉壓時，桿內(nèi)處于單向應力狀態(tài)，因此單向桿件受到軸向拉壓時，桿內(nèi)處于單向應力狀態(tài)，因此單向應力狀態(tài)下的強度條件只需要做拉伸或壓縮試驗便可解決。應力狀態(tài)下的強度條件只需要做拉伸或壓縮試驗便可解決。軸向拉伸（壓縮）強度條件中的許用應力是由試驗測定的材軸向拉伸（壓縮）強度條件中的許用應力是由試驗測定的材料的屈服極限或強度極限除以安全系數(shù)而得的。料的屈服極限或強度極限除以安全系數(shù)而得的。 但工程上受力構件很多屬于復雜應力狀態(tài)，要通過試驗建但工程上受力構件很多屬于復雜應力狀態(tài)，要通過試驗建立強度條件幾乎是不可能的，于是人們考慮，能否從簡單應立強度條

2、件幾乎是不可能的，于是人們考慮，能否從簡單應力狀態(tài)下的試驗結果去建立復雜應力狀態(tài)的強度條件？為此力狀態(tài)下的試驗結果去建立復雜應力狀態(tài)的強度條件？為此人們對材料發(fā)生屈服和斷裂兩種破壞形式進行研究，提出了人們對材料發(fā)生屈服和斷裂兩種破壞形式進行研究，提出了材料在不同應力狀態(tài)下產(chǎn)生某種形式破壞的共同原因的各種材料在不同應力狀態(tài)下產(chǎn)生某種形式破壞的共同原因的各種假設，這些假設稱為假設，這些假設稱為強度理論強度理論。根據(jù)這些假設，就有可能。根據(jù)這些假設，就有可能利利用單向拉伸的試驗結果，建立復雜應力狀態(tài)下的強度條件用單向拉伸的試驗結果，建立復雜應力狀態(tài)下的強度條件. .二、材料失效的原因分析二、材料失效

3、的原因分析1、 實例實例低碳鋼低碳鋼鑄鐵鑄鐵2、 破壞形式分析破壞形式分析(1)(1)屈服屈服：產(chǎn)生明顯的塑性變形，剪切產(chǎn)生的滑動：產(chǎn)生明顯的塑性變形，剪切產(chǎn)生的滑動(2)(2)斷裂斷裂：突然斷裂，拉斷或剪斷：突然斷裂，拉斷或剪斷通常以屈服極限作為失效應力通常以屈服極限作為失效應力 通常以強度極限作為失效應力通常以強度極限作為失效應力1、 定義：定義： 材料發(fā)生失效時，應力或變形所應滿足的條材料發(fā)生失效時，應力或變形所應滿足的條件，該條件就稱為件，該條件就稱為失效判據(jù)失效判據(jù)。三、失效判據(jù)三、失效判據(jù)2、建立失效判據(jù)的方法、建立失效判據(jù)的方法 l 簡單應力狀態(tài)：簡單應力狀態(tài)： 通過實驗直接建立

4、通過實驗直接建立 （1）單向應力狀態(tài)：）單向應力狀態(tài)： u max（2）純剪切應力狀態(tài)：）純剪切應力狀態(tài)： u max 除實驗以外，還需對失效的原因作一些假設。除實驗以外，還需對失效的原因作一些假設。l 復雜應力狀態(tài)：復雜應力狀態(tài)： 1、 概念概念 強度條件說明在什么條件下構件不會失效強度條件說明在什么條件下構件不會失效 失效判據(jù)是以材料的極限應力為標準失效判據(jù)是以材料的極限應力為標準； 強度條件是以材料的許用應力為標準。強度條件是以材料的許用應力為標準。強度強度 限制構件中危險點的應力（應力的最大值）小限制構件中危險點的應力（應力的最大值）小于、最多等于材料的許用應力。于、最多等于材料的許用

5、應力。四、強度條件四、強度條件 受力構件具有的抵抗破壞的能力。受力構件具有的抵抗破壞的能力。2、 簡單簡單應力狀態(tài)的強度條件應力狀態(tài)的強度條件（1）正應力強度條件正應力強度條件： max（2）剪應力強度條件剪應力強度條件： max例如，軸向拉壓變形、平面彎曲變形、斜彎曲變形例如，軸向拉壓變形、平面彎曲變形、斜彎曲變形*、拉壓與彎曲組合變形拉壓與彎曲組合變形*的強度計算均采用這個條件。的強度計算均采用這個條件。例如，圓軸扭轉的強度計算采用這個條件。例如，圓軸扭轉的強度計算采用這個條件。3、 復雜應力狀態(tài)的強度條件復雜應力狀態(tài)的強度條件231max321fvuuu321主應力狀態(tài)：主應力狀態(tài)：強度

6、理論強度理論簡單應力狀態(tài)簡單應力狀態(tài)的強度條件的強度條件 max復雜應力狀態(tài)復雜應力狀態(tài)的強度條件的強度條件 r?=r1bub1 n1ub123() n 123b() 或或maxus13 n13s22或或222212233111()()()(2)66sEEduuus()()()22212233112222s1223311()()() 2n rr r11 r2123() r313 222r41223311()()()2222r4122331222()()()2(4)3 211例例1 1 試寫出扭轉軸四個強度理論的強度條件。試寫出扭轉軸四個強度理論的強度條件。mm113 3 解：解：r1 1r2(

7、)() 123131r33 12例例2 2已知已知 ：鑄鐵構件上：鑄鐵構件上 危險點的應力危險點的應力 狀態(tài)。鑄鐵拉狀態(tài)。鑄鐵拉 伸許用應力伸許用應力 =30MPa。求：校核該點的強度。求：校核該點的強度。解：解：首先根據(jù)材料和應力狀態(tài)確定失效形式，首先根據(jù)材料和應力狀態(tài)確定失效形式，選擇設計準則。選擇設計準則。脆性斷裂脆性斷裂，最大拉應力理論，最大拉應力理論 r1= 1 其次確定主應力其次確定主應力2max2min22xyxyxy或，最大伸長線應變理論或，最大伸長線應變理論 r2= 1（ 2 3 ） 129.28MPa,23.72MPa, 30 r1= 1 = 30MPa結論：強度是安全的。

8、結論：強度是安全的。 和和 解解：首先確定主應力首先確定主應力2214212 2234212 02 第三強度理論：第三強度理論：第四強度理論：第四強度理論：222r 41223311()()()2 223224r313 和和 第三強度理論第三強度理論 第四強度理論第四強度理論 22r34 22r43已知：已知：=140MPa, =90MPa試設計工字梁。試設計工字梁。例例4 4Mx84KN.mAB250cm200KN200KN4242CD（1）求內(nèi)力，作內(nèi)力圖。）求內(nèi)力，作內(nèi)力圖。解：解：查表知，可選查表知，可選No.32a工字鋼工字鋼, Wz=692.2cm3, d=9.5mm（3）用剪應力

9、強度條件校核）用剪應力強度條件校核xFS200KN200KN（2）由正應力條件求）由正應力條件求Wz3maxcm600MWz*max.MPa SzzF SbI76 67Mx84KN.mAB250cm200KN200KN4242CDxFS200KN200KN（4）再對翼緣和腹板的交界處的）再對翼緣和腹板的交界處的復雜應力狀態(tài)進行校核。復雜應力狀態(tài)進行校核。 故應增加鋼號，可選故應增加鋼號，可選No.32c工工字鋼字鋼, Wz=761cm3,這時，交界處這時，交界處=100MPa，=37.32MPa，r3=124.8MPa,滿足強度。滿足強度。. MPazMyI84 0 145109 711100

10、56.5MPaSzzF SbIMPa73.1574223 r對稱軸軸線縱向對稱面軸線FF軸線MeMe偏心受拉偏心受拉壓縮和彎曲壓縮和彎曲（1 1）疊加原理疊加原理 即假定各個載荷對構件的效應，彼此獨立，任一載荷即假定各個載荷對構件的效應，彼此獨立，任一載荷所引起的應力和變形不受其它載荷的影響。所引起的應力和變形不受其它載荷的影響。 實際表明，在小變形情況下這個原理足夠精確。實際表明，在小變形情況下這個原理足夠精確。力作用的獨立性原理：力作用的獨立性原理：材料處于線彈性范圍：材料處于線彈性范圍： 載荷與應力、變形之間是線性關系。載荷與應力、變形之間是線性關系。（2 2）基本步驟：）基本步驟： 將

11、作用于構件的載荷分解，得到與原載荷靜力等效的幾將作用于構件的載荷分解，得到與原載荷靜力等效的幾組載荷，使構件在每一組載荷作用下只產(chǎn)生一種基本變形；組載荷，使構件在每一組載荷作用下只產(chǎn)生一種基本變形； 分別計算構件在每一組基本變形載荷下的內(nèi)力、應力、分別計算構件在每一組基本變形載荷下的內(nèi)力、應力、變形；變形； 將各種基本變形載荷下的應力、變形疊加得總的應力、將各種基本變形載荷下的應力、變形疊加得總的應力、變形；變形； 最后作強度和剛度分析計算。最后作強度和剛度分析計算。1.1.拉伸或壓縮橫截面上的正應力拉伸或壓縮橫截面上的正應力NFA FN 截面上的軸力；截面上的軸力；A 橫截面的面。橫截面的面

12、。 橫截面上的正應力，橫截面上的正應力，拉正壓負。拉正壓負。FNF2.彎曲變形橫截面上的正應力彎曲變形橫截面上的正應力zMyIM M 橫截面彎矩橫截面彎矩y y 所求應力點到中性軸的距離所求應力點到中性軸的距離I Iz z 橫截面對中性軸的慣性矩橫截面對中性軸的慣性矩 距中性軸為距中性軸為y y的點的正應力的點的正應力z0M 1yFF產(chǎn)生彎曲變形產(chǎn)生彎曲變形PyPxyzlxcosxPPsinyPP將將P分解分解產(chǎn)生軸向拉伸產(chǎn)生軸向拉伸xPxMzyP l軸力引起截面上的正應力：軸力引起截面上的正應力： NFAxPA組合變形橫截面上的應力：組合變形橫截面上的應力：彎矩引起截面上的正應力：彎矩引起截

13、面上的正應力：zzM yI ()yzP lxyI,maxc,maxtx面上總應力：面上總應力：NzzFM yAIN,maxztzFMAWN,maxzczFMAWxPx 面上最大正應力：面上最大正應力：xFN危險截面的應力：危險截面的應力：Nmax,maxztzFMAWNmax,maxzczFMAW拉壓彎組合變形強度條件：拉壓彎組合變形強度條件：Nmax,maxzttzFMAWNmax,maxzcczFMAWPyPxyzlxxPxNxPxMzlPx,maxc,maxt 偏心壓縮與截面核心（偏心壓縮與截面核心（矩形截面矩形截面）：）： N,yzFPMPaMPb 任意截面上的內(nèi)力：任意截面上的內(nèi)力：

14、NFAyyM zIzzM yIcdN,yzFPMPaMPb zyzyzyNyzyzM zFM yAII2266PPaPbd ccdcd331212PPa zPb yd ccdcdmaxmaxctNyzyzMFMAWW 使截面上使截面上只存在壓應力只存在壓應力而而無拉應力無拉應力時，時，偏心壓力偏心壓力P作用的區(qū)域。作用的區(qū)域。截面核心截面核心: :2266PPaPbd ccdcdmaxmaxctNyzyzMFMAWWNmaxyztyzMFMAWW2266PPaPbd ccdcd 016abcd0066 dcabba16abcd 使截面上使截面上只存在壓應力只存在壓應力而而無拉應力無拉應力時，時

15、，偏心壓力偏心壓力P作用的區(qū)域。作用的區(qū)域。截面核心截面核心: :N,FPMPa Nmax230432tFMPPaddAW 8da 圓截面桿的截面核心圓截面桿的截面核心 一、應力計算一、應力計算 中性軸的位置中性軸的位置sincosyzPPPPcos ()Plxsin ()Pl x ()zyMP lx()yzMP lxcosMsinM2將引起對稱面將引起對稱面xzxz面內(nèi)的彎曲面內(nèi)的彎曲將引起對稱面將引起對稱面xyxy面內(nèi)的彎曲面內(nèi)的彎曲yzPMzyP MsinzzzM yMyII cosyyyM zMzII cosMsinMsincoszyyzMII xMyzPlMzxyPlyzPMzyP

16、MABmaxmax,maxyztyzMMWWmaxmax,max()yzcyzMMWW 橫截面上僅存在正應力，橫截面上僅存在正應力， 危險點處于單向應力狀態(tài)危險點處于單向應力狀態(tài)。最大應力與強度計算：最大應力與強度計算：tcsincoszyyzMII 000sincoszyyzMII 確定中性軸的位置：確定中性軸的位置：故中性軸的方程為：故中性軸的方程為：00sincos0zyyzII設中性軸上某一點的坐標為設中性軸上某一點的坐標為 y0 、 z0，則，則中性軸是一條通過截面形心的直線中性軸是一條通過截面形心的直線中性軸中性軸00tgtgyzIzyI00tgtgyzIzyI二、位移計算二、位移

17、計算 斜彎曲概念斜彎曲概念為了計算梁在斜彎曲時的撓度，仍應用疊加法為了計算梁在斜彎曲時的撓度，仍應用疊加法33sin33yyZZPlPlfEIEI33cos33zzyyPlPlfEIEI22yzffftgyzff中性軸中性軸總撓度總撓度 f 與中性軸垂直與中性軸垂直tgtgtgyzII載荷平面載荷平面撓曲線平面撓曲線平面梁彎曲后撓曲線所在平面與載荷作用面不重合梁彎曲后撓曲線所在平面與載荷作用面不重合 當當 時，時，梁彎曲后撓曲線所在平面與載荷作用面梁彎曲后撓曲線所在平面與載荷作用面重合，此時實際發(fā)生的是平面彎曲。如：重合，此時實際發(fā)生的是平面彎曲。如：yzII特例：特例：tgtgtgyzIIM

18、e3MeMeTMeTnnpTImaxmaxPTW回顧：受扭構件截面上的內(nèi)力和應力回顧：受扭構件截面上的內(nèi)力和應力1.扭矩：扭矩： T 將扭矩按右手法則表示成矢量將扭矩按右手法則表示成矢量T，若其，若其方向與截面的外法線方向一致，此扭矩為方向與截面的外法線方向一致，此扭矩為正，反之為負。正，反之為負。2.任意點切應力、切應力分布任意點切應力、切應力分布 3.切應力最大值切應力最大值 pPIWR抗扭截面系數(shù)抗扭截面系數(shù)A截面為危險截面：截面為危險截面：MPlTPa 考慮考慮AB桿的強度問題桿的強度問題21232220k1k2PMWTWMPlTPa K1點的應力狀態(tài)：點的應力狀態(tài)：33P,3216d

19、dWWr31322422P4MTWW22MTW222r41223311()()()2223220.75MTWP,MTWW2123222022r322r40.75MTWMTW圓截面桿彎扭組合變形時的相當應力：圓截面桿彎扭組合變形時的相當應力： 332dW危險截面：危險截面：MPlTPa 第三強度理論第三強度理論 第四強度理論第四強度理論 22r34 22r434NFAzMyINFMTpTI例例1：圖示圖示Z形截面桿，在自由端作用一集中力形截面桿，在自由端作用一集中力P，該桿的變形設有四種答案：該桿的變形設有四種答案：（A）平面彎曲變形；）平面彎曲變形； （B）斜彎曲變形；）斜彎曲變形；（C）彎扭

20、組合變形；）彎扭組合變形； （D）壓彎組合變形。）壓彎組合變形。 例例2：具有切槽的正方形木桿，受力如具有切槽的正方形木桿，受力如圖。求：（圖。求：（1）m-m截面上的最大拉應截面上的最大拉應力力t 和最大壓應力和最大壓應力c；（；（2）此）此t是截面是截面削弱前的削弱前的t值的幾倍？值的幾倍？NtcFMAW224226PaPaaa2284PaPa解：解：8倍倍 例例3：圖示偏心受壓桿。試求該桿中不出現(xiàn)圖示偏心受壓桿。試求該桿中不出現(xiàn)拉應力時的最大偏心距。拉應力時的最大偏心距。解：解：N,FPMPe NtFMAW26PPehbbh 06be 例例4：一折桿由兩根圓桿焊接而成，已知圓桿直徑一折桿

21、由兩根圓桿焊接而成，已知圓桿直徑d=100mm，試求圓桿的最大拉應力試求圓桿的最大拉應力t和最大壓應力和最大壓應力 c 解：解：3kN4kNAAXY Ns3kN4kN ( )4AAAFXFYM xYxx N1 13kN8kN m FM tNcFMAW33233 108 10432dd 81.1MPa81.9任意橫截面任意橫截面x上的內(nèi)力：上的內(nèi)力：MWNFAMW 例例5：偏心拉伸桿，彈性模量為偏心拉伸桿，彈性模量為E，尺寸、受力如圖所示。，尺寸、受力如圖所示。求：求： （1）最大拉應力和最大壓應力的位置和數(shù)值；）最大拉應力和最大壓應力的位置和數(shù)值； （2）AB長度的改變量。長度的改變量。解：解

22、：N,22yzPhPbFPMMNytzcyzMFMAWW222266PhPbPbhhbbh75PbhPbh最大拉應力發(fā)生在最大拉應力發(fā)生在AB線上各點線上各點最大壓應力發(fā)生在最大壓應力發(fā)生在CD線上各點線上各點lEbhP)/7(組合變形組合變形xFNxPxMzlPx,maxc,maxtxyzlPyPxxP內(nèi)力分量包括軸力和彎矩，內(nèi)力分量包括軸力和彎矩，它們均只帶來橫截面上的正應力，它們均只帶來橫截面上的正應力，因此危險點處于單向應力狀態(tài)因此危險點處于單向應力狀態(tài)。max,maxNztzFMAWmax,maxNzczFMAW 1、應力、應力-強度計算強度計算xMyzPlMzxyP lyzPMzy

23、P MABmaxmax,maxyztyzMMWWmaxmax,max()yzcyzMMWW 橫截面上僅存在正應力橫截面上僅存在正應力 ，危，危險點處于單向應力狀態(tài)險點處于單向應力狀態(tài)。 危險截面：危險截面：MPlTPa 2232240.75rrMTWMTW 332dW 其中：橫截面上既有正應力，又有切應橫截面上既有正應力，又有切應力，危險點處于復雜應力狀態(tài)力，危險點處于復雜應力狀態(tài)。 例例6：求圖示桿在求圖示桿在P=100kN作用下的作用下的t數(shù)值，并指明所在位置。數(shù)值，并指明所在位置。解：解：326100 10500020MPa0.2 0.1100 200 106t最大拉應力發(fā)生在后背面上各

24、點處最大拉應力發(fā)生在后背面上各點處例例7：直徑為直徑為20mm的圓截面水平直角折桿，受垂直力的圓截面水平直角折桿，受垂直力P=0.2kN，已知，已知=170MPa試用第三強度理論確定試用第三強度理論確定的許可值。的許可值。例例7：直徑為直徑為20mm的圓截面水平直角折桿，受垂直力的圓截面水平直角折桿，受垂直力P=0.2kN，已知，已知=170MPa試用第三強度理論確定試用第三強度理論確定的許可值。的許可值。解：解：ABC內(nèi)力圖：內(nèi)力圖：M圖Pa2PaT 圖Pa危險截面：危險截面：AaPaT2 . 0maxaPaM4 . 02max軸的抗彎截面系數(shù)：軸的抗彎截面系數(shù)：332dW30.023230.0232737.854 10 m例例7：直徑為直徑為20mm的圓截面水平直角折桿，受垂直力的圓截面水平直角折桿，受垂直力P=0.2kN，已知，已知=170MPa試用第三強度理論確定試用第三強度理論確定的許可值。的許可值。解：解：ABCM圖Pa2Pa