十七世紀(jì)的常用對(duì)數(shù)表是怎么編出來(lái)的

1、 十七世紀(jì)的常用對(duì)數(shù)表是怎么算出來(lái)的 前不久，在網(wǎng)上看到了金澤長(zhǎng)街小牛先生的博文回到十七世紀(jì)，讓我來(lái)編算一本常用對(duì)數(shù)表，受益匪淺。在我上中學(xué)時(shí)，也曾對(duì)數(shù)學(xué)用表中的對(duì)數(shù)和三角函數(shù)值是怎么算出來(lái)的感到好奇，但始終不得其解。中學(xué)時(shí)學(xué)的是四位對(duì)數(shù)表，后來(lái)也見(jiàn)到過(guò)八位對(duì)數(shù)表和十位對(duì)數(shù)表，但看不懂，不會(huì)用。讀過(guò)小牛先生的文章后，不僅知道了對(duì)數(shù)表是怎么算出來(lái)的，也豁然明白八位對(duì)數(shù)表是怎么回事了。受小牛先生博文啟發(fā)，我也想到了一種更為簡(jiǎn)單精確的計(jì)算常用對(duì)數(shù)表的方法，不用手算開(kāi)高次方，只需加減乘除開(kāi)平方，就可以編制出常用對(duì)數(shù)表，這里介紹出來(lái)，與大家分享。第一步、計(jì)算第一組基礎(chǔ)對(duì)數(shù)這組基礎(chǔ)的對(duì)數(shù)值是：1/2， 1

2、/4， 1/8， 1/16， 1/32， 1/64， 1/128， 1/256， 1/512， 1/1024， 1/2048， 1/4096， 1/8192共13個(gè)。計(jì)算的方法很簡(jiǎn)單，就是不斷開(kāi)平方。在常用對(duì)數(shù)里，10的對(duì)數(shù)是1，把10開(kāi)平方就得到對(duì)數(shù)1/2的真數(shù)值，即10，把計(jì)算結(jié)果再開(kāi)平方就得到對(duì)數(shù)1/4的真數(shù)值，把計(jì)算結(jié)果再開(kāi)平方就得到對(duì)數(shù)1/8的真數(shù)值，.一直進(jìn)行下去，等開(kāi)到1/8192就可以了。有這13個(gè)基礎(chǔ)對(duì)數(shù)值，算8位對(duì)數(shù)表就夠了，如果想要更精確的對(duì)數(shù)表，可以再多算幾個(gè)基礎(chǔ)對(duì)數(shù)，這里就不討論了。開(kāi)平方是簡(jiǎn)單的運(yùn)算，列豎式就可以開(kāi)出來(lái)，開(kāi)12位有效數(shù)字一般不會(huì)超過(guò)半小時(shí)，計(jì)算這13

3、個(gè)基礎(chǔ)對(duì)數(shù)一個(gè)人幾小時(shí)就可以完成。有了這組基礎(chǔ)對(duì)數(shù)，就可以通過(guò)把若干個(gè)基礎(chǔ)對(duì)數(shù)相加的方式，計(jì)算出從1/8192，2/8192，3/8192，.推薦精選到8191/8192的任何一個(gè)對(duì)數(shù)，這8191個(gè)對(duì)數(shù)在01之間均勻分布。第二步、計(jì)算第二組基礎(chǔ)對(duì)數(shù)這第二組基礎(chǔ)的對(duì)數(shù)值是：0.5， 0.1， 0.05， 0.01， 0.005， 0.001， 0.0005, 0.0001共八個(gè)。0.5即1/2，在第一組基礎(chǔ)對(duì)數(shù)中就有；0.1=819.2/8192，介于819/8192與820/8192之間，其中819/8192=512/8192+256/8192+32/8192+16/8192+2/8192+1

4、/8192 =1/16+1/32+1/256+1/512+1/4096+1/8192對(duì)數(shù)相加，真數(shù)需相乘，將式中這6個(gè)基礎(chǔ)對(duì)數(shù)對(duì)應(yīng)的真數(shù)值相乘就可以得到819/8192的真數(shù)值。820/8192=512/8192+256/8192+32/8192+16/8192+4/8192 =1/16+1/32+1/256+1/512+1/2048將式中這5個(gè)基礎(chǔ)對(duì)數(shù)對(duì)應(yīng)的真數(shù)值相乘就可以得到820/8192的真數(shù)值。819/8192與820/8192之間的間距僅有1/8192，非常小，可以近似當(dāng)成直線處理，在算出對(duì)數(shù)819/8192和820/8192的真數(shù)值后，通過(guò)“線性內(nèi)插法”就可以算出對(duì)數(shù)819.2/

5、8192即0.1對(duì)應(yīng)的真數(shù)值。如擔(dān)心多次相乘以及做線性內(nèi)插時(shí)導(dǎo)致誤差積累增大，可以把對(duì)數(shù)0.1的真數(shù)值累乘計(jì)算5次方，看與推薦精選對(duì)數(shù)0.5的真數(shù)值誤差有多少，然后用開(kāi)方公式做修正，消除誤差。由于這樣的計(jì)算本身已經(jīng)很精確，誤差修正的工作不會(huì)太費(fèi)事。得到對(duì)數(shù)0.1的真數(shù)值后，將之開(kāi)平方就得到對(duì)數(shù)0.05的真數(shù)值。然后，0.01=81.92/8192，分別計(jì)算出對(duì)數(shù)81/8192和82/8192的真數(shù)值，再用“線性內(nèi)插法”計(jì)算出對(duì)數(shù)0.01的真數(shù)值，當(dāng)然，也要做誤差修正。同樣的方法，可以計(jì)算出對(duì)數(shù)0.005， 0.001， 0.0005, 0.0001的真數(shù)值。這一組8個(gè)對(duì)數(shù)務(wù)必要準(zhǔn)確，在算出這一

6、組8個(gè)基礎(chǔ)對(duì)數(shù)之后，就可以計(jì)算編制反對(duì)數(shù)表了。第三步、計(jì)算編制反對(duì)數(shù)表用對(duì)數(shù)做乘、除、乘方、開(kāi)方運(yùn)算得到的對(duì)數(shù)值，最終都要通過(guò)查反對(duì)數(shù)表才能得到真數(shù)，所以，反對(duì)數(shù)表是遲早必須要編的，而反對(duì)數(shù)表在計(jì)算方法上沒(méi)有障礙，所以應(yīng)該首先計(jì)算編制。有反對(duì)數(shù)表之后，再計(jì)算對(duì)數(shù)表就容易多了。 有了對(duì)數(shù)0.5和0.1對(duì)應(yīng)的真數(shù)值，就可以計(jì)算出從0.1，0.2，0.3，.0.9這9個(gè)對(duì)數(shù)對(duì)應(yīng)的真數(shù)值了，這9個(gè)對(duì)數(shù)構(gòu)成的反對(duì)數(shù)表可以叫一級(jí)反對(duì)數(shù)表。計(jì)算的方法很簡(jiǎn)單，就是對(duì)數(shù)相加，真數(shù)相乘，比如0.6的對(duì)數(shù)，對(duì)數(shù)0.6=0.5+0.1，所對(duì)應(yīng)的真數(shù)就是推薦精選3.162277660168*1.258925411794

7、=3.98107170553.有了對(duì)數(shù)0.05和0.01對(duì)應(yīng)的真數(shù)值以及一級(jí)反對(duì)數(shù)表，很容易就可以計(jì)算出從0.01,0.02,0.03，.0.99這99個(gè)對(duì)數(shù)對(duì)應(yīng)的真數(shù)值，這99個(gè)對(duì)數(shù)構(gòu)成的反對(duì)數(shù)表可以叫二級(jí)反對(duì)數(shù)表。計(jì)算的方法與前面相同，即對(duì)數(shù)相加，真數(shù)相乘。有了對(duì)數(shù)0.005和0.001對(duì)應(yīng)的真數(shù)值以及二級(jí)反對(duì)數(shù)表，就可以計(jì)算出從0.001,0.002,0.003，.0.999這999個(gè)對(duì)數(shù)對(duì)應(yīng)的真數(shù)值，這999個(gè)對(duì)數(shù)構(gòu)成的反對(duì)數(shù)表可以叫三級(jí)反對(duì)數(shù)表。計(jì)算的方法與前面相同。同樣，可以計(jì)算出包含0.0001，0.0002，0.0003，.0.9999這9999個(gè)構(gòu)成的四級(jí)反對(duì)數(shù)表。有四級(jí)反對(duì)

8、數(shù)表應(yīng)該就夠了。要計(jì)算編制包含99999個(gè)對(duì)數(shù)的五級(jí)反對(duì)數(shù)表不是做不到，而是有沒(méi)有必要，值不值得做。編制時(shí)要先完成一級(jí)反對(duì)數(shù)表，然后再擴(kuò)充到二級(jí)反對(duì)數(shù)表、三級(jí)反對(duì)數(shù)表、四級(jí)反對(duì)數(shù)表，不要用很小的對(duì)數(shù)累乘得到大的對(duì)數(shù)，以避免誤差累積增大。這樣計(jì)算出的反對(duì)數(shù)表非常齊整，而且精確度有充分保證。擴(kuò)充計(jì)算對(duì)數(shù)表只用兩數(shù)相乘，不用除法。我覺(jué)得乘法比除法簡(jiǎn)單，工作量小。比如兩個(gè)有10位有效數(shù)字的數(shù)相乘，會(huì)得到一個(gè)大約有20位的數(shù)字，但我們只要10位有效數(shù)字，后面的那些位數(shù)都要舍去，既然不需要，為什么要乘出來(lái)？所以在列豎式相乘時(shí)，那些注定不會(huì)加到前12位的數(shù)字，主要是乘數(shù)的后幾位與被乘數(shù)的后幾位相乘的數(shù)字，根

9、本就別乘，直接畫(huà)0補(bǔ)位，只要前12位，多出的兩位用于四舍五入，故而乘法可以減少計(jì)算量。推薦精選在編制反對(duì)數(shù)表過(guò)程中已經(jīng)可以多找人手分?jǐn)偣ぷ髁苛恕Ｒ郧霸跁?shū)上看到過(guò)去有“制表工人”一說(shuō)，應(yīng)該是指專(zhuān)門(mén)從事計(jì)算制表的工作人員，如果是職業(yè)熟練工人，那應(yīng)該會(huì)掌握很多計(jì)算技巧，計(jì)算速度也會(huì)快過(guò)常人，以我估計(jì)的計(jì)算量，如果有幾十人同時(shí)工作，兩三周做出反對(duì)數(shù)表應(yīng)該沒(méi)問(wèn)題。 第四步，計(jì)算給定真數(shù)的對(duì)數(shù)值，編制常用對(duì)數(shù)表 在有了反對(duì)數(shù)表之后，再計(jì)算編制常用對(duì)數(shù)表就好辦了，而且精確度有保證。方法就是“線性內(nèi)插法”。以求2的對(duì)數(shù)為例，在反對(duì)數(shù)表里可以查到，對(duì)數(shù)0.3010對(duì)應(yīng)的真數(shù)是1.9998618696，對(duì)數(shù)0.3

10、011對(duì)應(yīng)的真數(shù)是2.0003224078，那就在0.3010和0.3011之間做線性內(nèi)插，求2的對(duì)數(shù)值，由于1.9998618696與2.0003224078的間距非常微小，所以得到的2的對(duì)數(shù)值也必是非常精準(zhǔn)的。從1.0019.999之間的所有數(shù)都可以用這種“線性內(nèi)插”法算出，用這8999個(gè)數(shù)就可以編制出一個(gè)完整的常用對(duì)數(shù)表，而且精度極佳，只不過(guò)要計(jì)算8999個(gè)數(shù)據(jù)，計(jì)算量頗大。如果先算出那些質(zhì)數(shù)（即素?cái)?shù)）的對(duì)數(shù)，合數(shù)的對(duì)數(shù)由其質(zhì)因子的對(duì)數(shù)相加而得到，計(jì)算量就可以大幅減少。10000以內(nèi)的質(zhì)數(shù)僅有1229個(gè)，而且那些較大的質(zhì)數(shù)，其對(duì)數(shù)可以用兩對(duì)數(shù)平均值算出，例如8663是個(gè)素?cái)?shù)，在算出866

11、2和8664這兩個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)后，8663的對(duì)數(shù)就是8662和8664這兩個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)的平均值。平均值計(jì)算實(shí)際也是推薦精選“線性內(nèi)插”，但要簡(jiǎn)單得多，真正需要用比較麻煩的“線性內(nèi)插”計(jì)算的質(zhì)數(shù)只有幾百個(gè)，合數(shù)的對(duì)數(shù)由其約數(shù)的對(duì)數(shù)相加得到，這種制表方法計(jì)算量要少一些，但精度也要稍遜一些。總的來(lái)說(shuō)，編制對(duì)數(shù)表要比反對(duì)數(shù)表計(jì)算量要少一些。計(jì)算編制常用對(duì)數(shù)表的工作也一樣可以找多人分擔(dān)，以加快速度。 結(jié)語(yǔ)編制八位常用對(duì)數(shù)表和反對(duì)數(shù)表，計(jì)算量巨大，個(gè)人很難獨(dú)力完成，如果有幾十個(gè)人分工合作，一兩個(gè)月制出常用對(duì)數(shù)表和反對(duì)數(shù)表，應(yīng)該不算什么大問(wèn)題。對(duì)數(shù)函數(shù)不是直線函數(shù)，做線性內(nèi)插必會(huì)有誤差，誤差大小決定于插值區(qū)間大小，區(qū)間越小，誤差也越小。若想要更精確的對(duì)數(shù)表，我認(rèn)為應(yīng)該增加多算幾個(gè)基礎(chǔ)對(duì)數(shù)，盡量減