高等數(shù)學(xué)：第一章 第10節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1、1質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性第十節(jié)一、最大值和最小值定理二、介值定理三、小結(jié)及作業(yè)2一、最大值和最小值定理定義定義: :.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在區(qū)間在區(qū)間是函數(shù)是函數(shù)則稱(chēng)則稱(chēng)都有都有使得對(duì)于任一使得對(duì)于任一如果有如果有上有定義的函數(shù)上有定義的函數(shù)對(duì)于在區(qū)間對(duì)于在區(qū)間IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y3定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) )

2、在閉區(qū)間上連續(xù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值的函數(shù)一定有最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得則則若若注意注意: :1.若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn), 定理不一定成立定理不一定成立.4xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界在該區(qū)間上有界. .證證,)(上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxf,bax ,)(Mxfm

3、 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 則有則有.,)(上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)baxf5二、介值定理定理定理 3(3(零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba,上連續(xù)，且上連續(xù)，且)(af與與)(bf異號(hào)異號(hào)( (即即0)()( bfaf),),那末在開(kāi)區(qū)間那末在開(kāi)區(qū)間 ba,內(nèi)至少有函數(shù)內(nèi)至少有函數(shù))(xf的一個(gè)零的一個(gè)零點(diǎn)點(diǎn), ,即至少有一點(diǎn)即至少有一點(diǎn) )(ba ，使，使0)( f. .定義定義: :.)(, 0)(000的零點(diǎn)的零點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)則則使使如果如果xfxxfx .),(0)(內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根在在即方程即方程baxf 6ab

4、3 2 1 幾何解釋幾何解釋:.,)(軸至少有一個(gè)交點(diǎn)軸至少有一個(gè)交點(diǎn)線(xiàn)弧與線(xiàn)弧與則曲則曲軸的不同側(cè)軸的不同側(cè)端點(diǎn)位于端點(diǎn)位于的兩個(gè)的兩個(gè)連續(xù)曲線(xiàn)弧連續(xù)曲線(xiàn)弧xxxfy xyo)(xfy 7幾何解釋幾何解釋:MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 證證,)()(Cxfx 設(shè)設(shè),)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf .)(至少有一個(gè)交點(diǎn)至少有一個(gè)交點(diǎn)直線(xiàn)直線(xiàn)與水平與水平連續(xù)曲線(xiàn)弧連續(xù)曲線(xiàn)弧Cyxfy 8推論推論 在閉區(qū)間上

5、連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值值 與最小值與最小值 之間的任何值之間的任何值. .例例1 1.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根內(nèi)內(nèi)在區(qū)間在區(qū)間證明方程證明方程 xx證證, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),( 10 , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 內(nèi)至少有一根內(nèi)至少有一根在在方程方程 xxMm9例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得證明證明且且上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證證,

6、)()(xxfxF 令令,)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則baxFaafaF )()(而而, 0 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即103例例有界。有界。證明證明存在，存在，內(nèi)連續(xù)，且內(nèi)連續(xù)，且在在設(shè)設(shè))()(lim),()(xfxfxfx證明：證明：,)(limAxfx設(shè)設(shè),)(, 0, 0 AxfXxX時(shí)，恒有時(shí)，恒有當(dāng)當(dāng),)( AxfA即即）上連續(xù)，）上連續(xù)，在（在（又又)(xf上連續(xù)，上連續(xù)，在在)(XXxf使使和和由最值定理，必存在由最值定理，必存在mM11,)(Mxfm,max0mMAAM 取取),( x,)(0Mxf必有必

7、有）上有界。）上有界。，在（在（即即)(xf124例例,0),(),()(iitbaxbaxf內(nèi)連續(xù)，內(nèi)連續(xù)，在在設(shè)設(shè)), 2 , 1(ni）（試證至少存在一點(diǎn)試證至少存在一點(diǎn)且且batnii, 11 ).()()()(2211nnxftxftxftf 使使證明：證明：,min1knkxx記記,max1knkxx ）內(nèi)連續(xù)，）內(nèi)連續(xù)，在（在（baxf,)(上連續(xù)，上連續(xù)，在在,)(xxxf 有有使使存在存在,xxxmM ,)(Mxfm), 2 , 1(0,nitxxxii 由于由于,)(111MMtxftmtmniiiniinii所以所以13),(,baxx 從而，至少存在一點(diǎn)從而，至少存在一

8、點(diǎn)).()()()(2211nnxftxftxftf 使使14三、小結(jié)四個(gè)定理四個(gè)定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1閉區(qū)間；閉區(qū)間； 2連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)這兩點(diǎn)不滿(mǎn)足上述定理不一定成立這兩點(diǎn)不滿(mǎn)足上述定理不一定成立解題思路解題思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.輔助函數(shù)法輔助函數(shù)法: :先作輔助函數(shù)先作輔助函數(shù)F(x),再利用零點(diǎn)定理再利用零點(diǎn)定理;15作業(yè)作業(yè)73101P習(xí)題73P總習(xí)題一.12,10, 9),6 , 5 , 4 , 3 , 2(8 , 4),4 , 2

9、(3. 4, 2, 116思考題思考題下述命題是否正確？下述命題是否正確？ 如如果果)(xf在在,ba上上有有定定義義，在在),(ba內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，且且0)()( bfaf，那那么么)(xf在在),(ba內(nèi)內(nèi)必必有有零零點(diǎn)點(diǎn).17思考題解答思考題解答不正確不正確.例函數(shù)例函數(shù) 0, 210,)(xxexf)(xf在在)1 , 0(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù),. 02)1()0( ef但但)(xf在在)1 , 0(內(nèi)內(nèi)無(wú)無(wú)零零點(diǎn)點(diǎn).18一、一、 證明方程證明方程bxax sin，其中，其中0,0 ba，至，至少有一個(gè)正根，并且它不超過(guò)少有一個(gè)正根，并且它不超過(guò)ba . .二、二、 若若)(xf在在,ba上連續(xù)，上連續(xù)，bxxxan 21 則在則在,1nx