高等數(shù)學(xué)課件：D1_3 常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)

1、微積分微積分 化學(xué)化學(xué)131、132 20132014學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期 第一章第一章 二、多次付息二、多次付息一、單利和復(fù)利一、單利和復(fù)利第三節(jié)第三節(jié)常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)三、現(xiàn)貼三、現(xiàn)貼四、四、 需求函數(shù)需求函數(shù)五、五、 供給函數(shù)供給函數(shù)六、六、 市場均衡市場均衡七、七、 成本函數(shù)成本函數(shù)八、八、 收入函數(shù)與利潤函數(shù)收入函數(shù)與利潤函數(shù)微積分微積分 化學(xué)化學(xué)131、132 20132014學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期一、單利與復(fù)利一、單利與復(fù)利利息是指借款者向貨款者支付的報酬利息是指借款者向貨款者支付的報酬,它是根據(jù)本它是根據(jù)本金的數(shù)額按一定比例計算出來的金的數(shù)額按一定比例計算出來的.利息又有存款利

2、利息又有存款利單利計算公式單利計算公式設(shè)初始本金為設(shè)初始本金為p(元元),銀行年利率為銀行年利率為. r則第一年末本利和為則第一年末本利和為rppS 1)1(rp 則第二年末本利和為則第二年末本利和為rprpS )1(2)21(rp 第第n年末的本利和為年末的本利和為)1(nrpSn 息、息、債款利息、貼現(xiàn)利息等債款利息、貼現(xiàn)利息等貨款利息、貨款利息、幾種主要形式幾種主要形式.微積分微積分 化學(xué)化學(xué)131、132 20132014學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期復(fù)利計算公式復(fù)利計算公式設(shè)初始本金為設(shè)初始本金為p(元元),銀行年利率為銀行年利率為. r則第一年末本利和則第一年末本利和rppS 1)1(r

3、p 則第二年末本利和則第二年末本利和)1()1(2rrprpS 本金本金利息利息2)1(rp 若若n年末的本利和為年末的本利和為nnrpS)1( 微積分微積分 化學(xué)化學(xué)131、132 20132014學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期例例1 現(xiàn)有初始本金現(xiàn)有初始本金100元元, 若銀行年儲蓄利率為若銀行年儲蓄利率為7%,問問:(1) 按單利計算按單利計算, 3年末的本利和為多少年末的本利和為多少?(2) 按復(fù)利計算按復(fù)利計算, 3年末的本利和為多少年末的本利和為多少?(3) 按復(fù)利計算按復(fù)利計算, 需多少年能使本利和超過初始本金需多少年能使本利和超過初始本金解解 (1) 已知已知,100 p,07. 0

4、 r由單利計算公式得由單利計算公式得121)07. 031(100)31(3 rps(元元)即即3年末的本利和為年末的本利和為121元元.(2)由復(fù)利計算公式得由復(fù)利計算公式得5 .122)07. 01(100)1(333 rps(元元)的一倍的一倍?微積分微積分 化學(xué)化學(xué)131、132 20132014學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期例例1 現(xiàn)有初始本金現(xiàn)有初始本金100元元, 若銀行年儲蓄利率為若銀行年儲蓄利率為7%,問問:(3) 按復(fù)利計算按復(fù)利計算, 需多少年能使本利和超過初始本金需多少年能使本利和超過初始本金解解的一倍的一倍?prpsnn2)1( 2)07. 1( n2ln07. 1ln n

5、2 .1007. 1ln/2ln n即需即需11年本利和可超過初始本金一倍年本利和可超過初始本金一倍.(3)07. 0 r若若n年后的本利和超過初始本金的一倍年后的本利和超過初始本金的一倍,即要即要微積分微積分 化學(xué)化學(xué)131、132 20132014學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期二、多次付息二、多次付息現(xiàn)在來討論每年多次付息的情況現(xiàn)在來討論每年多次付息的情況. .單利付息情況單利付息情況 因每次的利息都不計入本金因每次的利息都不計入本金, ,故若故若一年分一年分n次付息次付息, ,則年末的本利和為則年末的本利和為)1(nrnpS )1(rp 即年末的本利和與支付利息的次數(shù)無關(guān)即年末的本利和與支付利

6、息的次數(shù)無關(guān). .復(fù)利付息情況復(fù)利付息情況 因每次支付的利息都記入本金因每次支付的利息都記入本金, ,故故年末的本利和支付利息的次數(shù)是有關(guān)系的年末的本利和支付利息的次數(shù)是有關(guān)系的. .設(shè)初始本金為設(shè)初始本金為p( (元元) ), , 年利率為年利率為, r息息, ,則一年末的本利和為則一年末的本利和為若一年分若一年分m次付次付微積分微積分 化學(xué)化學(xué)131、132 20132014學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期現(xiàn)在來討論每年多次付息的情況現(xiàn)在來討論每年多次付息的情況. .復(fù)利付息情況復(fù)利付息情況 因每次支付的利息都記入本金因每次支付的利息都記入本金, ,故故年末的本利和支付利息的次數(shù)是有關(guān)系的年末的本

7、利和支付利息的次數(shù)是有關(guān)系的. .設(shè)初始本金為設(shè)初始本金為p( (元元),), 年利率為年利率為, r息息, ,則一年末的本利和為則一年末的本利和為若一年分若一年分m次付次付mmrpS)1( 易見本利和是隨易見本利和是隨m的增大而增加的的增大而增加的. .本利和為本利和為而而n年末的年末的mnnmrpS)1( 微積分微積分 化學(xué)化學(xué)131、132 20132014學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期票據(jù)的持有人票據(jù)的持有人,為在票據(jù)到期以前獲得資金為在票據(jù)到期以前獲得資金,從票面從票面金額中扣除未到期期間的利息后金額中扣除未到期期間的利息后,得到所余金額的現(xiàn)得到所余金額的現(xiàn)金稱為金稱為貼現(xiàn)貼現(xiàn).錢存在銀行

8、里可以獲得利息錢存在銀行里可以獲得利息, 如果不考慮貶值因素如果不考慮貶值因素,那么若干年后的本利和就高于本金那么若干年后的本利和就高于本金. 如果考慮貶值如果考慮貶值的因素的因素, 則在若干年后使用的則在若干年后使用的未來值未來值 (相當(dāng)于本相當(dāng)于本利和利和) 就有一個較低的就有一個較低的現(xiàn)值現(xiàn)值.三、貼現(xiàn)三、貼現(xiàn)微積分微積分 化學(xué)化學(xué)131、132 20132014學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期例如例如, ,若銀行年利率為若銀行年利率為7%,則一年后的則一年后的107元未來元未來值的現(xiàn)值就是值的現(xiàn)值就是100元元.考慮更一般的問題考慮更一般的問題:確定第確定第n年后價值為年后價值為R元錢的現(xiàn)元錢

9、的現(xiàn)值值.假設(shè)在這假設(shè)在這n年之間復(fù)利年利率年之間復(fù)利年利率r不變不變.利用復(fù)利計算公式有利用復(fù)利計算公式有nrpR)1( 得到第得到第n年后價值為年后價值為R元錢的現(xiàn)值為元錢的現(xiàn)值為nrRp)1( 式中式中R表示第表示第n年后到期的年后到期的票據(jù)金額票據(jù)金額,r表示表示貼現(xiàn)率貼現(xiàn)率,而而p表示現(xiàn)在進(jìn)行票據(jù)轉(zhuǎn)讓時銀行付給的表示現(xiàn)在進(jìn)行票據(jù)轉(zhuǎn)讓時銀行付給的貼現(xiàn)金額貼現(xiàn)金額.微積分微積分 化學(xué)化學(xué)131、132 20132014學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期若票據(jù)持有者手中持有若干張不同期限及不同面額若票據(jù)持有者手中持有若干張不同期限及不同面額的票據(jù)的票據(jù),且每張票據(jù)的貼現(xiàn)率都是相同的且每張票據(jù)的貼現(xiàn)率

10、都是相同的, 則一次則一次性向銀行轉(zhuǎn)讓票據(jù)而得到的現(xiàn)金性向銀行轉(zhuǎn)讓票據(jù)而得到的現(xiàn)金nnrRrRrRRp)1()1()1(2210 式中式中0R為已到期的票據(jù)金額為已到期的票據(jù)金額,nR為為n年后到到期的年后到到期的票據(jù)金額票據(jù)金額.nr)1(1 稱為稱為貼現(xiàn)因子貼現(xiàn)因子,由它可給出不同由它可給出不同年限及不同貼現(xiàn)率下的貼現(xiàn)因子表年限及不同貼現(xiàn)率下的貼現(xiàn)因子表.它表示在貼金率它表示在貼金率r下下n年后到期的年后到期的1元錢的元錢的貼現(xiàn)值貼現(xiàn)值.微積分微積分 化學(xué)化學(xué)131、132 20132014學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期例例2 某人手中有三張票據(jù)某人手中有三張票據(jù), 其中一年后到期的票據(jù)金其中一

11、年后到期的票據(jù)金額是額是500元元, 二年后到期的是二年后到期的是800元元, 五年后到期的是五年后到期的是2000元元,已知銀行的貼現(xiàn)率已知銀行的貼現(xiàn)率6%, 現(xiàn)在將三張票據(jù)向銀現(xiàn)在將三張票據(jù)向銀行做一次性轉(zhuǎn)讓行做一次性轉(zhuǎn)讓, 銀行的貼現(xiàn)金額是多少銀行的貼現(xiàn)金額是多少?解解 由貼現(xiàn)計算公式由貼現(xiàn)計算公式, 貼現(xiàn)金額為貼現(xiàn)金額為55221)1()1()1(rRrRrRp 其中其中,5001 R,8002 R,20005 R.06. 0 r故故21.2678)06. 01(2000)06. 01(800)06. 01(50052 p( (元元).).微積分微積分 化學(xué)化學(xué)131、132 2013

12、2014學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期四、需求函數(shù)四、需求函數(shù)需求函數(shù)需求函數(shù)是指在某一特定時期內(nèi)是指在某一特定時期內(nèi),市場上某種商品市場上某種商品的各種可能的購買量的各種可能的購買量間的數(shù)量關(guān)系間的數(shù)量關(guān)系.假定其它因素假定其它因素 (如消費者的貨幣收入如消費者的貨幣收入,偏好和偏好和相關(guān)商品的價格等相關(guān)商品的價格等)不變，不變，則決定某種商品需求量則決定某種商品需求量的因素就是這種商品的價格的因素就是這種商品的價格.和決定這些購買量的諸因素之和決定這些購買量的諸因素之此時此時, 需求函數(shù)表示需求函數(shù)表示的就是商品需求量和價格這兩個經(jīng)濟(jì)變量之間的的就是商品需求量和價格這兩個經(jīng)濟(jì)變量之間的數(shù)量關(guān)系數(shù)

13、量關(guān)系)(PfQ 其中其中,Q表示需求量表示需求量,價格價格.P表示表示微積分微積分 化學(xué)化學(xué)131、132 20132014學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期需求函數(shù)需求函數(shù))(PfQ 其中其中,Q表示需求量表示需求量,需求函數(shù)的反函數(shù)需求函數(shù)的反函數(shù))(1QfP P表示價格表示價格.習(xí)慣上將價格函數(shù)也統(tǒng)稱為需求函數(shù)習(xí)慣上將價格函數(shù)也統(tǒng)稱為需求函數(shù).稱為稱為價格函數(shù)價格函數(shù)格的上漲而減少格的上漲而減少, 因此因此,需求函數(shù)是單調(diào)減少函數(shù)需求函數(shù)是單調(diào)減少函數(shù).例如例如,)0, 0( babaPQd線性線性需求函數(shù)需求函數(shù)一般地一般地,商品的需求量隨價格的下降而增加商品的需求量隨價格的下降而增加, 隨價

14、隨價OPQd微積分微積分 化學(xué)化學(xué)131、132 20132014學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期五、供給函數(shù)五、供給函數(shù)供給函數(shù)供給函數(shù)是指在某一特定時期內(nèi)是指在某一特定時期內(nèi), 市場上某種市場上某種商品的各種可能的供給量和商品的各種可能的供給量和諸因素之間的數(shù)量關(guān)系諸因素之間的數(shù)量關(guān)系. 假定生產(chǎn)技術(shù)水平、假定生產(chǎn)技術(shù)水平、生產(chǎn)成本等其它因素不變生產(chǎn)成本等其它因素不變, 則決定某種商品供則決定某種商品供給量的因素就是這種商品的給量的因素就是這種商品的價格價格. 此時此時, 供給供給函數(shù)表示的就是商品的供給量和函數(shù)表示的就是商品的供給量和濟(jì)變量之間的數(shù)量關(guān)系濟(jì)變量之間的數(shù)量關(guān)系)(PfS 其中其中

15、,表示需求量表示需求量,SP表示價格表示價格.決定這些供給量的決定這些供給量的價格這兩個經(jīng)價格這兩個經(jīng)微積分微積分 化學(xué)化學(xué)131、132 20132014學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期供給函數(shù)供給函數(shù))(PfS 其中其中 ,表示需求量表示需求量,SP表示價格表示價格.一般地一般地, 商品的供給量隨價格的上漲而增加商品的供給量隨價格的上漲而增加,隨價格的下降而減少隨價格的下降而減少, 因此因此, 供給函數(shù)是單調(diào)供給函數(shù)是單調(diào)增加函數(shù)增加函數(shù).例如例如,線性供給函數(shù)線性供給函數(shù)OPQs)0, 0( dcdcPQsQs=cP+d微積分微積分 化學(xué)化學(xué)131、132 20132014學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)

16、期六、市場均衡六、市場均衡對一種商品而言對一種商品而言, 如果需求量等于供給量如果需求量等于供給量, 則則這種商品就達(dá)到了這種商品就達(dá)到了市場均衡市場均衡. 以線性需求函數(shù)以線性需求函數(shù)和線性供給函數(shù)為例和線性供給函數(shù)為例,令令sdQQ dcPbaP 0PcabdP 這個價格這個價格0P稱為該商品的稱為該商品的市場均衡價格市場均衡價格.微積分微積分 化學(xué)化學(xué)131、132 20132014學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期市場均衡點市場均衡點PEPQQESD微積分微積分 化學(xué)化學(xué)131、132 20132014學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期當(dāng)市場價格高于均衡價格時，將出現(xiàn)當(dāng)市場價格高于均衡價格時，將出現(xiàn)供過于

17、求供過于求的現(xiàn)象，而當(dāng)市場價格低于均衡價格時的現(xiàn)象，而當(dāng)市場價格低于均衡價格時,將出現(xiàn)將出現(xiàn),0QQQsd 稱稱0Q為為市場均市場均供不應(yīng)求供不應(yīng)求的現(xiàn)象的現(xiàn)象.當(dāng)市場均衡時有當(dāng)市場均衡時有根據(jù)市場情況的不同根據(jù)市場情況的不同, 需求函數(shù)與供需求函數(shù)與供衡數(shù)量衡數(shù)量.給函數(shù)還可以是二次函數(shù)、多項式函數(shù)給函數(shù)還可以是二次函數(shù)、多項式函數(shù)sdQQ dcPbaP 0PcabdP 這個價格這個價格0P稱為該商品的稱為該商品的市場均衡價格市場均衡價格.微積分微積分 化學(xué)化學(xué)131、132 20132014學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期例例3 某種商品的供給函數(shù)和需求函數(shù)分別為某種商品的供給函數(shù)和需求函數(shù)分別為

18、,1025 PQsPQd5200 求該商品的市場均衡價格和市場均衡數(shù)量求該商品的市場均衡價格和市場均衡數(shù)量.解解 由均衡條件由均衡條件sdQQ 得得10255200 PP21030 p70 P165102500 PQ即市場均衡價格為即市場均衡價格為7, 市場均衡數(shù)量為市場均衡數(shù)量為165.微積分微積分 化學(xué)化學(xué)131、132 20132014學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期七、成本函數(shù)七、成本函數(shù)產(chǎn)品成本產(chǎn)品成本是以貨幣形式表現(xiàn)的企業(yè)生產(chǎn)是以貨幣形式表現(xiàn)的企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品的全部費用支出產(chǎn)品的全部費用支出.成本函數(shù)成本函數(shù)表示費用總額與產(chǎn)量表示費用總額與產(chǎn)量(或銷售量或銷售量)之間之間的依賴關(guān)系。的依賴關(guān)系

19、。產(chǎn)品成本可分為產(chǎn)品成本可分為固定成本固定成本和和變動成本變動成本兩部分兩部分.固定成本固定成本: 是指在一定時期內(nèi)不隨產(chǎn)量變化是指在一定時期內(nèi)不隨產(chǎn)量變化的那部分成本的那部分成本;變動成本變動成本: 是指隨產(chǎn)量變化而變化的那部分成本是指隨產(chǎn)量變化而變化的那部分成本.和銷售和銷售微積分微積分 化學(xué)化學(xué)131、132 20132014學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期七、成本函數(shù)七、成本函數(shù)成本函數(shù)成本函數(shù)表示費用總額與產(chǎn)量表示費用總額與產(chǎn)量(或銷售量或銷售量)之之間的依賴關(guān)系。間的依賴關(guān)系。一般地一般地,數(shù)數(shù),即即)(xCC )0( x稱其為稱其為成本函數(shù)成本函數(shù). 當(dāng)產(chǎn)量當(dāng)產(chǎn)量0 x時時, 對應(yīng)的成本

20、函對應(yīng)的成本函以貨幣計值的以貨幣計值的(總總)成本成本C是產(chǎn)量是產(chǎn)量x的函的函數(shù)值數(shù)值)0(C就是產(chǎn)品的固定成本值就是產(chǎn)品的固定成本值.設(shè)設(shè))(xC為成本函數(shù)為成本函數(shù), 稱稱)0()()( xxxCxC為為單位成本函數(shù)單位成本函數(shù)或或平均成本函數(shù)平均成本函數(shù).成本函數(shù)是單調(diào)增加函數(shù)成本函數(shù)是單調(diào)增加函數(shù), 其圖像稱為其圖像稱為成本曲線成本曲線微積分微積分 化學(xué)化學(xué)131、132 20132014學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期例例5 某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品, 每日最多生產(chǎn)每日最多生產(chǎn)200單位單位.日固定成本為日固定成本為150元元, 生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品的可變成本生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品的可變成本為

21、為16元元. 求該廠日總成本函數(shù)及平均成本函數(shù)求該廠日總成本函數(shù)及平均成本函數(shù).解解據(jù)據(jù),)(變變固固CCxC 可得總成本可得總成本,16150)(xxC 200, 0 x平均成本平均成本.15016)()(xxxCxC 它的它的微積分微積分 化學(xué)化學(xué)131、132 20132014學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期八、收入函數(shù)與利潤函數(shù)八、收入函數(shù)與利潤函數(shù)銷售某種商品的收入銷售某種商品的收入,R等于商品的單位價格等于商品的單位價格P乘以銷售量乘以銷售量,x即即,xPR 稱其為稱其為收入函數(shù)收入函數(shù).而銷售利潤而銷售利潤L等于收入等于收入R減去成本減去成本,C即即當(dāng)當(dāng)0 CRL時時, 生產(chǎn)者盈利生產(chǎn)者

22、盈利;當(dāng)當(dāng)0 CRL時時, 生產(chǎn)者虧損生產(chǎn)者虧損;當(dāng)當(dāng)0 CRL時時, 生產(chǎn)者盈虧平衡生產(chǎn)者盈虧平衡;使使0)( xL的點的點0 x稱為稱為盈虧平衡點盈虧平衡點(又稱為又稱為保本點保本點)稱其為稱其為利潤函數(shù)利潤函數(shù),CRL 微積分微積分 化學(xué)化學(xué)131、132 20132014學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期一般地一般地, 利潤并不總是隨銷售的增加而增加，利潤并不總是隨銷售的增加而增加，因此因此,如何確定生產(chǎn)規(guī)模如何確定生產(chǎn)規(guī)模潤對生產(chǎn)者來講是一個不斷追求的目標(biāo)潤對生產(chǎn)者來講是一個不斷追求的目標(biāo).以獲取最大的利以獲取最大的利微積分微積分 化學(xué)化學(xué)131、132 20132014學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)

23、期例例6 某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品年產(chǎn)量為某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品年產(chǎn)量為x臺臺, 每臺售價每臺售價500元元, 當(dāng)年產(chǎn)量超過當(dāng)年產(chǎn)量超過800臺時臺時, 超過部分只能按超過部分只能按9折出售折出售.這樣可多售出這樣可多售出200臺臺, 如果再多生產(chǎn)如果再多生產(chǎn),去了去了.本年就銷售不出本年就銷售不出試寫出本年的收益試寫出本年的收益(入入)函數(shù)函數(shù).解解 因為產(chǎn)量超過因為產(chǎn)量超過800臺時售價要按臺時售價要按9折出售折出售, 又超過又超過1000臺臺(即即800臺臺+200臺臺)時時, 多余部分銷售不出去多余部分銷售不出去,而超出部分無收益而超出部分無收益.因此因此,要把產(chǎn)量分三階段來考慮要把產(chǎn)量分三階段來考

24、慮.依題意有依題意有從從微積分微積分 化學(xué)化學(xué)131、132 20132014學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期例例6解解 因為產(chǎn)量超過因為產(chǎn)量超過800臺時售價要按臺時售價要按9折出售折出售, 又超過又超過1000臺臺(即即800臺臺+200臺臺)時時, 多余部分銷售不出去多余部分銷售不出去,而超出部分無收益而超出部分無收益.因此因此,要把產(chǎn)量分三階段來考慮要把產(chǎn)量分三階段來考慮.依題意有依題意有從從.1000,4900001000800),800(4504000008000,500 xxxxx 1000,2005009 . 08005001000800),800(5009 . 08005008000500)(xxxxxxR微積分微積分 化學(xué)化學(xué)131、132 20132014學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期例例7 已知某商品的成本函數(shù)與收入函數(shù)分別是已知某商品的成本函數(shù)與收入函數(shù)分別是2312xxC xR11 試求該商品的盈虧平衡點試求該商品的盈虧平衡點, 并說明盈虧情況并說明盈虧情況.解解 由由0 L和已知條件得和已知條件得231211xxx 01282 xx從而得到兩個盈虧平衡點分別為從而得到兩個盈虧平衡點分別為. 6, 221 xx由利潤函數(shù)由利潤函數(shù))312(11)()()(2xxxxCxRxL )6)(2(1282