圓錐曲線綜合計(jì)算

1、圓錐曲線計(jì)算能力專項(xiàng)訓(xùn)練求f(m)的最值.2x1. P、Q、M、N四點(diǎn)都在橢圓2y21上，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn)已知PF與FQ共線，MF與FN共線，且PF ?MF0 .求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值.2.如圖，設(shè)拋物線c：y2X的焦點(diǎn)為F,動點(diǎn)P在直線0上運(yùn)動，過p作拋物線C6.如圖，傾斜角為a的直線經(jīng)過拋物線y 8x的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)。的兩條切線PA、PB,且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).(I)求拋物線的焦點(diǎn) F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線I的方程;(1 )求厶APB的重心 G的軌跡方程(H)若a為銳角，作線段 AB的垂直平分線 m交x軸于點(diǎn)P,證明(2)證明/ PFA=Z

2、PFB.2 2|FP|-|FP|cos2 a為定值，并求此定值。2x-27.設(shè)橢圓ab21(a b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2, A 是3.已知方向向量為v=(1, 3)的直線l過點(diǎn)(0， 2 3 )和橢圓C:篤每 1(a a b點(diǎn)，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在橢圓 C的右準(zhǔn)線上(I)求橢圓C的方程；(H)是否存在過點(diǎn) E ( 2, 0)的直線m交橢圓C于點(diǎn)M、N,滿足OM ON/ MON豐0 (O為原點(diǎn))若存在，求直線 m的方程；若不存在，請說明理由b 0)的焦V6, cot32 2x y2 2 、4.已知橢圓C： a + b = 1 (a> b>0)的左右焦點(diǎn)為 F

3、1、F2，離心率為e.直線l: y= ex+ a 與x軸.y軸分別交于點(diǎn)A、B, M是直線I與橢圓C的一個公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F1關(guān)于直線I的對稱點(diǎn), 設(shè)AM =入AB. ( I)證明：入=1 e2 ； (H)確定入的值，使得 PF1F2是等腰三角形.5.如圖，已知橢圓x2=1(2w mW 5),過其左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓及其準(zhǔn)線的交點(diǎn)從橢圓上的一點(diǎn),af2F2，原點(diǎn)O到直線AF1的距離為t (°，b)使得下述命題成立：設(shè)圓點(diǎn)，則 OQ1OQ2左到右的順序?yàn)锳、B、C、D，設(shè) f(m)=|AB| |CD|(1)求f(m)的解析式;>F1(I)證明 a 2b ；(n)求2t上任意

4、點(diǎn)M(x0，%)處的切線交橢圓于Q1 , Q2兩y（2）設(shè)P是“果圓”的半橢圓 b2篤 1C2（X< 0）上任意一點(diǎn).求證：當(dāng)PM13.在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，已知圓心在第二象限、半徑為 2 2的圓C與直線y x相切于坐標(biāo)P在點(diǎn)B1, B2或A1處；（3）若P是“果圓”上任意一點(diǎn)，求29.已知正三角形°AB的三個頂點(diǎn)都在拋物線 y2x上，其中內(nèi)接圓（點(diǎn)C為圓心）（I）求圓C的方程；（II）設(shè)圓M的方程（x過圓M上任意一點(diǎn)P分別作圓C的兩條切線PE, PF，切點(diǎn)為PM取得最小值時點(diǎn)P的橫坐標(biāo).°為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)圓C是OAB的47cos )2 (y7cos )21E,F

5、 ,求 cE,cF的最大值和最取得最小值時，小值.210.過雙曲線X4的右焦點(diǎn)F作傾斜角為1050的直線，交雙曲線于PQ兩點(diǎn)，貝y |FP|FQ|的值為11.設(shè)動點(diǎn)P到點(diǎn)F, 1,0）和F2（1,0）的距離分別為d1和d2, Z F1PF22 ，且存在常數(shù)2 2x y原點(diǎn)0 .橢圓r1與圓C的一個交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10.a 9（1）求圓C的方程；（2）試探究圓C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn) Q，使Q到橢圓右焦點(diǎn)F的距離等于線段 OF的 長.若存在，請求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.14.艦A在艦B的正東6千米處，艦C在艦B的北偏西30°且與B相距4千米，它們準(zhǔn)備捕海洋動

6、物，某時刻A發(fā)現(xiàn)動物信號，4秒后B、C同時發(fā)現(xiàn)這種信號，A發(fā)射麻醉炮彈設(shè)艦與動物均為靜止的，動物信號的傳播速度為20 3g1千米/秒，炮彈的速度是，3 千米/秒，其中g(shù)為重力加速度,2（01），使得 ddsin.（1）證明：動點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線，并求出 C的方 程；（2）如圖，過點(diǎn)F2的直線與雙曲線 C的右支交于A, B兩點(diǎn)問：是否存在，使 F1AB是以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.12如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過y軸正方向上一點(diǎn)C（0,c）任作一直線，與拋物線相交于AB兩點(diǎn)，一條垂直于 x軸的直線，分別與線段 AB和直線l : y c交于P,Q

7、 ,(1)2，求C的值；（5 分）（2）若P為線段AB的中點(diǎn)，求證：QA為此拋物線的切 線；（5分）（3）試問（2）的逆命題是否成立？說明理由。（4分）*y若不計(jì)空氣阻力與艦高，問艦A發(fā)射炮彈的方位角和仰角應(yīng)是多少？15.已知拋物線C: y2=4x.（1）若橢圓左焦點(diǎn)及相應(yīng)的準(zhǔn)線與拋物線C的焦點(diǎn)F及準(zhǔn)線I分別重合，試求橢圓短軸端點(diǎn) B與焦點(diǎn)F連線中點(diǎn)P的軌跡方程；若M（m,0）是x軸上的一定點(diǎn)，Q是（1）所求軌 跡上任一點(diǎn)，試問|MQ|有無最小值？若有，求出其值；若沒有，說明理由2x-216.已知A,B為橢圓ab21（a>b>0）和雙曲線2x2ab21的公共頂點(diǎn),P,Q分別為雙曲線

8、和橢圓上不同于 A,B 的動點(diǎn) 且有 AP+BP= (AQ+BQ)( R,| |>1),設(shè) AP,BP,AQ,BQ斜率分別為 k1,k2,k3,k4,求證:k1+k2+k3+k4為一個定值.17 .如圖，直線y= 2 x與拋物線ynBx2 4交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與直線 y= 5交于Q點(diǎn)（1）求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（2）當(dāng)P為拋物線上位于線段 AB下方（含點(diǎn)A、B）的動點(diǎn)時，求厶OPQ面積 的最大值.218.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點(diǎn)C（0，p）作直線與拋物線x 2 py（ P 0）相交于A, B兩 點(diǎn).（I）若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)0的對稱點(diǎn)，求 ANB面積的最小值；（II

9、）是否存在垂直 于y軸的直線I，使得I被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出I的方程；若不存在，說明理由.1. ( 05全國卷2)1 X1X12.解:(1)設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為2 2(X,Xo)和(Xi,Xi )(X1Xo),所以P點(diǎn)到直線BF的距離為：d2切線AP的方程為:2xoX y2X00；/ 2(Xi(Xi)2(21、|Xi |(Xi-)-422 1Xi4|Xi |切線BP的方程為:2x1x y2X10；所以di=d2,即得/ AFP=Z PFB.解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為:XpX0X-FypX0X1當(dāng)X1X00時，直線AF的方程:21X。40X02(X 0),即(X017)XXo

10、y12X0 0,所以 APB的重心G的坐標(biāo)為XG X Xi XpXp ,直線2 y0yiypx°y2XiX0X13(X0Xi)2XoX14Xp2 yp3所以所以yp3yG24xg，由點(diǎn)P在直線I上運(yùn)動,從而得到重心 G的軌跡方程為:d1x ( 3y4x2)(2)方法1:因?yàn)?0,即 y(4x23FA (x°,x。2：),FP4X 2).產(chǎn),x°xi)FB(Xi,Xi2由于P點(diǎn)在拋物線外，則|FP| 0._ _X0 XiFP FA 2- cos AFP2|FP|FA|1 2 1X0 (X0X1 -)(X0-)44I2 2 1 2|FP|, X。(X0)2414|FP

11、|X0X1同理有cos BFPFP FBX0X12/ AFP=/ PFB.方法2:當(dāng)X1X0I FP | FB |X1 (X0X1 丄)&124 A:2 2I FP L Xi(Xi0時，由于X1點(diǎn)到直線AF的距離為：d12 1 1即(捲 )x x-i yx144BF的方程：y 14XiP點(diǎn)到直線AF的距離為:210),即(x；)x X1 y42 i X0 X1211(x0 -)( 0-) X0 X- -X0I4241 22)X04I 2(X0到直線BF的距離d2| X1X0 I，因此由0,X0Xi2-)(X022X03.(I)解法一：直線l : y3解得X . 橢圓中心2寸)14|FP

12、 |X0X1x°,不妨設(shè)X00,則y 0,所以號;而直線bf的方程：y 42X1X1P點(diǎn)坐標(biāo)為QQ，則P4X,£)I XoX1 |d1=d2，可得至U/ AFP=Z PFB.3x 2 3 , 過原點(diǎn)垂直I的直線方程為y(0, 0)關(guān)于直線I的對稱點(diǎn)在橢圓 C的右準(zhǔn)線上,直線I過橢圓焦點(diǎn)，該焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 0) . c 2, a26, b22.故橢圓x2，同理可得到P點(diǎn)2 y2C的方程為1.解法二：直線l : y 、3x 3 3 .設(shè)原點(diǎn)關(guān)于直線l對稱點(diǎn)為(p, q),則2 3解得p=3.T橢圓中心(0, 0)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上,2直線l過橢圓焦點(diǎn)，該焦點(diǎn)

13、坐標(biāo)為(2, 0) . c 2,a26,b2.故橢圓C解法二：設(shè) M ( x1,y1), N ( x2,y2).當(dāng)直線m不垂直x軸時，直線m: k(x2)代入,整理得2的方程為!_621.2(3k21)x212k2x12k260,XiX212k23k21(II)解法一:設(shè) M ( Xi,yi), N( X2, y2).當(dāng)直線m不垂直x軸時，直線m :y k(x 2)代入，整理得(3k22 2 21)x12k x 12k60, xix212k23k21,Xi X212k23k2 E (- 2, 0)是橢圓 |MN|=|ME|+|NE|2=e(-xi)c以下與解法一相同.C的左焦點(diǎn),2ace( X

14、2)(XicaX2)2a 2612k23k212 6(k21)3k21| MN |1 k2 (xi x2)2 4xix2'i2-212k2 2k2.(2)2 3k2 1,12k2642 3k2 12 6(1 k2)解法三：設(shè)M( xi, yi)，N( X2, y).3k21設(shè)直線x ty 2，代入，整理得(t23)y24ty2 0.點(diǎn)O到直線MN的距離d4i|2k |_ k2yiy24t2廠，沖2嚴(yán),4 OM ON 3 6cot MON,即|OM| ON | cosMON4 cos MON3 6 sin MON 0,I yi y21.(yiy2)4y2(4t|OM | |ON |sin

15、 MON4.'63S OMN-<6. | MN | d3即 4 6 | k | . k24 L 2.6 (3k31).整理得k2 3,當(dāng)直線m垂直x軸時,也滿足OMN2 6.3/ /1丿J46, -4 OM ON -：6cot3MON ,即|OM故直線m的方程為y2 3,或 x2.經(jīng)檢驗(yàn)上述直線均滿足OMON0.|OM | |ON |sinS OMN S OEM 2422.(t解得t故直線mMONS OEN3,或t的方程為所以所求直線方程為<3y孑X，或y32、30.經(jīng)檢驗(yàn)上述直線方程為4 6,3OMN3)28t2224t242 2 . .(t 3)| ON | cosMO

16、N4 - cos MON3 6 sin MON °1訐E|整理得t4.323x3| yiy224t224(t23)2.3t2.3X =或 x 2.OM ON 0.所以所求直線方程為 y 3x 2- ,或y33222,或x 2.331e2e.2e所以1 e24. (I)證法解得 1 e2(a,0),(0,a).由yex a,xc,2 x2y"得b2這里c2 2-a be22 1, y.是abcb2a bac,AMAB得(c,)(,a)所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是(a ).由e ae因?yàn)锳、B分別是直線I: yex a與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以 A、B的坐標(biāo)分別aaceeb2a即a-時， 即

17、當(dāng) 3' PF1F2為等腰三角形.解法二：因?yàn)镻F1丄I，所以/ PF1F2=90° +/BAF1為鈍角，要使 PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F 1F2I , 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(X°，y。),y。01e23x°2 c,x°ce解得e 1y00x°c2(1 e2)aea.y02 則22e 1(6223)cc2 2(12e )a 22 4c由 |PF1|=|F 1F2| 得e1e1證法二：因?yàn)锳、B分別是直線I:y exa與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是a,0),(0,a).e設(shè)M的坐標(biāo)是Em由AMAB 得(x。-,yo

18、)e(a,a),e(e21)222 12e .e.兩邊同時除以4a2,化簡得e1從而32 221 1e于是3即當(dāng)3時，PF1F2為等腰三角形所以X。yoa(e2ae(1)a.1)2(a)2b2因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以1,所以斗e1.22(1 )e(1)2 0,2解得e(n)解法一：因?yàn)镻F1 丄 l,有|PF1|=|F1F2|，即 2|C.設(shè)點(diǎn)F1到I的距離為d ,2 X。 2 a2y。b21,5. (1)設(shè)橢圓的半長軸、半短軸及半焦距依次為a、b、c,則a2=m,b2=m 1,c2=a2 b2=1橢圓的焦點(diǎn)為 F1( 1,0),F2(1,0).2故直線的方程為y=x+1,又橢圓的準(zhǔn)線方程為x=

19、 ± ，即 x=± m.c A( m, m+1),D(m,m+1)所以/ PF1F2=9O° +Z BAF1為鈍角，要使 PF1F2為等腰三角形，必y x 1考慮方程組x2y2m m 1,消去 y 得：(m 1)x2+m(x+1)2=m(m 1)11嚴(yán)| 由| e( c) 0 a | a ec|.：21 e整理得：(2 m 1)x2+2mx+2m m2=0A =4m2 4(2m 1)(2m m2)=8m(m 1)2/ 2< mW 5,. A > 0 恒成立，xb+xc=迥2m 1 '又 A、B、C、D都在直線y=x+1上 |AB|=|xb xa

20、|= - 2 =(xb xa) - 2 ,|CD|=、2 (xd xc)r |AB| |CD|= i 2 |xB xa+xd Xc|=、2 |(xb+xc) (xa+xd)|又xa= m,xD=m,. xa+xd=0|AB|-|CD|=|xb+xc|2=| 竺 | - . 2 =(2 w mW 5)1 2m2m2,2m令y=0,得 P的橫坐標(biāo)xP2k24Hkp故 f(m)= 2、2m , m 2,5. 2m,2V2m由f(m)=2m4(k21)|FP| & 2 I4sin2 a242，可知 f(m)=2 m從而 |FP| |FP|cos2a4(1cos 2 a)sin a24 -2si

21、n a28為定值。sin a7.(I)證法一：由題設(shè) AF2F1F2及 Fi(c,0) , F2(c,0)，不妨設(shè)點(diǎn) A(c, y)，其中1 11又 2 w 2 w 2-2 m10、2.f(m)一9故f(m)的最大值為4 2 ：34.22 c y 0，由于點(diǎn)A在橢圓上，有 a1,2 .2a b2a，此時3(21)圖作m=2;f(m)的最小值為10 2，此時m=5.解得6.(n)解法一：如圖I FA|=| Fq,| FB=| BD|.記A、B的橫坐標(biāo)分別為Xxxz,貝UAC 丄 I,BD丄I,垂足為9C D,則由拋物線的定義知b2y，從而得到ab2A c,，直線AF2的方程為ay夕(x2acc)

22、，整理得|FA| = | AC| = XxP | FA | cosa -2 2| FA | cos a4解得| FA | FB |cosa，解得 |FB |401 cosab2x22acy b c 0 .c3 一一2，將2 24a c1由題設(shè)，原點(diǎn) 0到直線AF1的距離為丄OF13c2a2 b2代入原式并化簡得a2 2b2 ，即證法二：同證法一，得到點(diǎn)記直線m與AB的交點(diǎn)為E,貝U|FA| |FB|2| FE | | FA | AE | |FA |1-(I FA| |FB |)cosa41 cosa4 cosa.2- sin a以|FP|匹 cosa4.2 0 sin a故 |FP | FP

23、| cos 2a解法二：設(shè) A(Xa，yA),4(1 cos2a) sin aB(Xbb)，直線24 - 2 sin a & sin2 aAB的斜率為kBOF2A0F1F1Atana將此式代入 y2 8x，得 k2x24(k22)x4k20，故 Xa Xb，則直線方程為k(k22)"Hk1k(x 2)。由橢圓定義得 AF1 AF2F2AF2A記直線m與AB的交點(diǎn)為22(k2)k2XeXaXb2yEk(xE2)故直線m的方程為y 4E(Xe，e)，則F1A 2a |f2A(n)解法一：圓 x2當(dāng)t (0, b)時，圓x22k2b2A的坐標(biāo)為c,一,過點(diǎn)O作OB AF1，垂足為，

24、解得f2a，而f2a2-，即 a.22 2 2y t上的任意點(diǎn)M(x。，y。)處的切線方程為x°x y°y t .y2 t2上的任意點(diǎn)都在橢圓內(nèi)，故此圓在點(diǎn)A處的切線必交橢圓于兩個不同的點(diǎn)Q1和Q2，因此點(diǎn)Qdx1, %) , Q2(X2, y2)的坐標(biāo)是方程組.2X0Xy°yt2X2y2 2b2 的解.當(dāng)yo0時，由式得b2X2.2代入式,t2 X0X 22 2 2 2 22b , (2x0 y0 )x 4t X0X42 22t 2b y00 ,Xiyoyob22c|PM|2的最小值只能在x 0或xc處取到.X24t2X02x；2y。XX22t4 2b2yo2x

25、2y。y2t2x0xt2X1X2y1即當(dāng)PM取得最小值時，P在點(diǎn)Bi, B2或Ai處.yo(3)|AiM | |MA21，且Bi和B2同時位于“果圓”的半橢圓yrtx°t2(X1X2)2X0X1X21y0t44t2X0X0t2 22x0 y°x2 2t4 2b2y2X0222X0 y°t4 2b22x0 y02 X 2 a_y_2 b1 (x > 0)和半橢若OQ1OQ2，則X1X22t42x2 22b y°y。-422t 2b X022-2x0 y°3t4 2b2 (x0 y0)2圓篤b上的情形即可.(x< 0)上,所以，由（2）

26、知，只需研究P位于“果圓”的半橢圓所以，3t4 2b2 (x： yf) 0 .由 x：y0 t2，得 3t4 2b2t22 22x0 y2| PM |0 .在區(qū)間（0,b）內(nèi)此方程的解當(dāng)y°0時，必有X00,同理求得在區(qū)間（0,b）內(nèi)的解為t弓b .2c2aa2(a c)2c2b2(a c)24a2(a c)24c2另一方面，當(dāng)t丄6 b時，可推出X1X2 y”2 0,從而0Q13綜上所述，tfb (0,3b）使得所述命題成立.8解：（1）F0(c, 0)，F(xiàn)10,F2 0,b2F0F2b21,F1F22,b2OQ2 .2c2此時P的橫坐標(biāo)是2 /t a (a當(dāng)x22c2即 a &l

27、t; 2c 時，| PM|2的最小值在a2（a c） e”石廠時取到,a2(ac)2c2c)a，即a 2c時，由于|PM |2在x a時是遞減的，| PM |2的最小值在x a時取到，此時 P的橫坐標(biāo)是a .綜上所述，若a < 2c，當(dāng)|PM |取得最小值時，點(diǎn) P的橫坐標(biāo)是a (a c) ； 若 a 2c，當(dāng)2c2所求“果圓”方程為(X> 0) , y2#x213(x< 0).|PM |取得最小值時，點(diǎn) P的橫坐標(biāo)是a或 c .(2)設(shè) P(x, y)，則29.（I）解法一：設(shè)A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為W ,y1, 專,y2，由題設(shè)知| PM |22 2y122 2 y122y1

28、y22(y1 y2)2 .解得 yi2 y； i2,2 2 2 2did2 2did2 cos2(di d2)4did2sin所以 A(6,2、3) , B(6, 2、3)或 A(6, 2、3) , B(6,2、3).(did2)24 42設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（r ,0），則r 3 64，所以圓C的方程為2 2(x 4) y解法二：設(shè)A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(xi, yi), (X2, y2)，由題設(shè)知did22.（小于2的常數(shù)）故動點(diǎn)P的軌跡C是以Fi , F2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長2a 2. i的雙曲線.2 2方程為亠丄i.i2 2 2xiyiX22y2.(2)方法一：在 AFiB 中，設(shè) AFi di

29、, AF2 dBFi da, BF2 d4.1 I22又因?yàn)閥i 2xi , y2 2x2，可得2 2xi 2xi x2 2x2 .即假設(shè) AFiB為等腰直角三角形，則(xi x2)(xi x22)0 .故A B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，所以圓心C在x軸上.dida設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（r,0），則A點(diǎn)坐標(biāo)為 §r,色r，于是有 r 22 2 233r，解得r 4，所以2dadi2a |2a |d2-2d a d2d4d4圓C的方程為(x 4)2 y2 i6 .dad4 sin2 nI(II)解：設(shè) ECF 2a，則cE|cF |CE|C?|2cos2 i6cos 2 32cos i6.由與得d22a ,di在 RtA PCE 中，cosx ，由圓的幾何性質(zhì)得|PC| |PC|則da4a2,2a| PC |< | MC |i所以丄< cos2十8 < ceIcf <則cEcF的最大值為2a,i698 , | PC |>|MC | i 7 i 6 ,由此可得16，最小值為8 .9ii.解：(i )在厶 PRF2 中，F(xiàn)iF2 2d4由得ds 2adad42(82 2 i)ai2 2(0,)故存在屮 滿足題設(shè)條件.（2）設(shè)過Q