曲線與方ppt課件

1、9.9 9.9 曲線與方程曲線與方程 基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理1.1.曲線與方程曲線與方程 一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線c c上上 的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f f（x x，y y）=0=0的實(shí)數(shù)解建立了的實(shí)數(shù)解建立了 如下關(guān)系：如下關(guān)系：（1 1）曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是）曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是 . .（2 2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是 . . 那么這個(gè)方程叫做那么這個(gè)方程叫做 ，這條曲線叫做，這條曲線叫做 . .這個(gè)方程的解這個(gè)方程的解曲線上的點(diǎn)曲線上的點(diǎn)曲線的方程曲線的方程方程的曲

2、線方程的曲線2.2.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟（1 1）建系）建系建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系. .（2 2）設(shè)點(diǎn)）設(shè)點(diǎn)設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)p p（x x，y y）. .（3 3）列式）列式列出動(dòng)點(diǎn)列出動(dòng)點(diǎn)p p所滿足的關(guān)系式所滿足的關(guān)系式. .（4 4）代換）代換依條件式的特點(diǎn)，選用距離公式、依條件式的特點(diǎn)，選用距離公式、 斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x x，y y的方程式，并化簡(jiǎn)的方程式，并化簡(jiǎn). .（5 5）證明）證明證明所求方程即為符合條件的動(dòng)證明所求方程即為符合條件的動(dòng) 點(diǎn)軌跡方程點(diǎn)軌跡方程. .3.3.兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)（

3、1 1）由曲線方程的定義可知，兩條曲線交點(diǎn)的坐）由曲線方程的定義可知，兩條曲線交點(diǎn)的坐 標(biāo)應(yīng)該是兩個(gè)曲線方程的標(biāo)應(yīng)該是兩個(gè)曲線方程的 ，即兩個(gè)曲線方，即兩個(gè)曲線方 程組成的方程組的實(shí)數(shù)解；反過(guò)來(lái)，方程組有幾程組成的方程組的實(shí)數(shù)解；反過(guò)來(lái)，方程組有幾 組解，兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)，方程組組解，兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)，方程組 ，兩，兩 條曲線就沒(méi)有交點(diǎn)條曲線就沒(méi)有交點(diǎn). .（2 2）兩條曲線有交點(diǎn)的）兩條曲線有交點(diǎn)的 條件是它們的方程所條件是它們的方程所 組成的方程組有實(shí)數(shù)解組成的方程組有實(shí)數(shù)解. .可見(jiàn)，求曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，可見(jiàn)，求曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，就是求由它們的方程所組成的方程組的實(shí)數(shù)就是求由它們的方

4、程所組成的方程組的實(shí)數(shù) 解問(wèn)題解問(wèn)題. .公共解公共解無(wú)解無(wú)解充要充要基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)自測(cè)1.1.f f（x x0 0，y y0 0）=0=0是點(diǎn)是點(diǎn)p p（x x0 0，y y0 0）在曲線）在曲線f f（x x，y y） =0=0上的上的 （ ） a.a.充分不必要條件充分不必要條件 b.b.必要不充分條件必要不充分條件 c.c.充要條件充要條件 d.d.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件 解析解析 利用曲線與方程定義的兩條件來(lái)確定其關(guān)系，利用曲線與方程定義的兩條件來(lái)確定其關(guān)系， f f（x x0 0，y y0 0）=0=0可知點(diǎn)可知點(diǎn)p p（x x0 0, ,y y0 0）在曲線）在曲

5、線f f（x x, ,y y） =0=0上，上， 又又p p（x x0 0，y y0 0）在曲線）在曲線f f（x x，y y）=0=0上時(shí)，有上時(shí)，有f f（x x0 0， y y0 0）=0=0，f f（x x0 0，y y0 0）=0=0是是p p（x x0 0，y y0 0）在曲線）在曲線f f（x x，y y）=0=0 上的充要條件上的充要條件. .c2.2.方程方程x x2 2+ +xyxy= =x x的曲線是的曲線是 （ ） a.a.一個(gè)點(diǎn)一個(gè)點(diǎn) b.b.一條直線一條直線 c.c.兩條直線兩條直線 d.d.一個(gè)點(diǎn)和一條直線一個(gè)點(diǎn)和一條直線 解析解析 方程變?yōu)榉匠套優(yōu)閤 x（x x

6、+ +y y-1-1）=0=0， x x=0=0或或x x+ +y y-1=0.-1=0. 故方程表示直線故方程表示直線x x=0=0或直線或直線x x+ +y y-1=0.-1=0.c3.3.已知點(diǎn)已知點(diǎn)a a（-2-2，0 0）、）、b b（3 3，0 0），動(dòng)點(diǎn)），動(dòng)點(diǎn)p p（x x, ,y y） 滿足滿足 = =x x2 2-6-6，則點(diǎn)，則點(diǎn)p p的軌跡是的軌跡是 （ ） a.a.圓圓 b.b.橢圓橢圓 c.c.雙曲線雙曲線 d.d.拋物線拋物線 解析解析 = =（-2-2-x x，- -y y），）， = =（3-3-x x，- -y y），）， 則則 = =（-2-2-x x）（

7、）（3-3-x x）+ +（- -y y）2 2= =x x2 2-6-6， 化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得y y2 2= =x x, ,軌跡為拋物線軌跡為拋物線. .papbdpapbpapb4.4.已知定點(diǎn)已知定點(diǎn)p p（x x0 0，y y0 0）不在直線）不在直線l l: :f f( (x x, ,y y)=0)=0上，則上，則 方程方程f f( (x x, ,y y)-)-f f( (x x0 0, ,y y0 0)=0)=0表示一條表示一條 （ ） a.a.過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)p p且垂直于且垂直于l l的直線的直線 b.b.過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)p p且平行于且平行于l l的直線的直線 c.c.不過(guò)點(diǎn)不過(guò)點(diǎn)p p但垂直于但

8、垂直于l l的直線的直線 d.d.不過(guò)點(diǎn)不過(guò)點(diǎn)p p但平行于但平行于l l的直線的直線 解析解析 p p（x x0 0，y y0 0）不在直線）不在直線l l上上,f f（x x0 0，y y0 0）0.0. 方程方程f f( (x x, ,y y)-)-f f( (x x0 0, ,y y0 0)=0)=0表示的直線與表示的直線與l l平行平行. . 又又f f（x x0 0，y y0 0）- -f f（x x0 0，y y0 0）=0.=0. 點(diǎn)點(diǎn)p p（x x0 0，y y0 0）在方程）在方程f f（x x，y y）- -f f（x x0 0，y y0 0）=0=0 表示的直線上，即直

9、線過(guò)表示的直線上，即直線過(guò)p p點(diǎn)點(diǎn). .b5.5.已知兩定點(diǎn)已知兩定點(diǎn)a a（-2-2，0 0），），b b（1 1，0 0）, ,如果動(dòng)點(diǎn)如果動(dòng)點(diǎn) p p滿足滿足| |papa|=2|=2|pbpb| |，則點(diǎn)，則點(diǎn)p p的軌跡所圍成的圖形的軌跡所圍成的圖形 的面積等于的面積等于 （ ） a. b.4 c.8 d.9 a. b.4 c.8 d.9 解析解析 設(shè)設(shè)p p（x x，y y），則由），則由| |papa|=2|=2|pbpb| | 得得( (x x+2)+2)2 2+ +y y2 2=4=4( (x x-1)-1)2 2+ +y y2 2, , 即（即（x x-2-2）2 2+

10、+y y2 2=4=4，故，故p p點(diǎn)的軌跡是以（點(diǎn)的軌跡是以（2 2，0 0）為）為 圓心，以圓心，以2 2為半徑的圓為半徑的圓. . 所圍成的圖形的面積等于所圍成的圖形的面積等于 222 2=4 .=4 .b題型一題型一 直接法求軌跡方程直接法求軌跡方程【例例1 1】如圖所示，過(guò)點(diǎn)】如圖所示，過(guò)點(diǎn)p p（2 2，4 4） 作互相垂直的直線作互相垂直的直線l l1 1、l l2 2. .若若l l1 1交交x x 軸于軸于a a，l l2 2交交y y軸于軸于b b，求線段，求線段abab 中點(diǎn)中點(diǎn)mm的軌跡方程的軌跡方程. . 設(shè)設(shè)mm（x x，y y），），則則a a、b b兩點(diǎn)坐標(biāo)可兩

11、點(diǎn)坐標(biāo)可 用用x x, ,y y表示，再利用表示，再利用 =0, =0,建立等式即可建立等式即可. .思維啟迪思維啟迪papb題型分類(lèi)題型分類(lèi) 深度剖析深度剖析解解 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)mm的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（x x, ,y y）, ,mm是線段是線段abab的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，a a點(diǎn)的坐標(biāo)為（點(diǎn)的坐標(biāo)為（2 2x x,0,0），），b b點(diǎn)的坐標(biāo)為（點(diǎn)的坐標(biāo)為（0 0，2 2y y）. . = =（2 2x x-2-2，-4-4），）， = =（-2-2，2 2y y-4-4）. .由已知由已知 =0 =0，-2-2（2 2x x-2-2）-4-4（2 2y y-4-4）=0=0，即即x x+2+2y y

12、-5=0.-5=0.線段線段abab中點(diǎn)中點(diǎn)mm的軌跡方程為的軌跡方程為x x+2+2y y-5=0.-5=0.papbpapb探究提高探究提高 （1 1）本題中的等量關(guān)系還有）本題中的等量關(guān)系還有k kpapak kpbpb= =-1-1，| |abab|=2|=2|pmpm|.|.但利用但利用k kpapak kpbpb=-1=-1時(shí)，應(yīng)分直時(shí)，應(yīng)分直線線l l1 1斜率存在和不存在兩種情況斜率存在和不存在兩種情況, ,應(yīng)用應(yīng)用| |abab|=2|=2|pmpm| |時(shí)，運(yùn)算較繁時(shí)，運(yùn)算較繁. .（2 2）求軌跡方程時(shí)，最后要注意它的完備性與純）求軌跡方程時(shí)，最后要注意它的完備性與純粹性

13、，多余的點(diǎn)要去掉，遺漏的點(diǎn)要補(bǔ)上粹性，多余的點(diǎn)要去掉，遺漏的點(diǎn)要補(bǔ)上. .知能遷移知能遷移1 1 已知?jiǎng)狱c(diǎn)已知?jiǎng)狱c(diǎn)mm到定點(diǎn)到定點(diǎn) a a(1,0)(1,0)與定直線與定直線l l: :x x=3=3的距離之的距離之 和等于和等于4,4,求動(dòng)點(diǎn)求動(dòng)點(diǎn)mm的軌跡方程的軌跡方程. . 解解 如圖所示如圖所示,設(shè)設(shè)mm（x x, ,y y）是軌跡上任意一點(diǎn)）是軌跡上任意一點(diǎn), ,作作mnmnl l于于n n. . 則則| |mama|+|+|mnmn|=4|=4，即，即 =4-|=4-|x x-3|.-3|. 當(dāng)當(dāng)33x x44時(shí)，時(shí)， =7-=7-x x. . 即即y y2 2=-12(=-12(

14、x x-4) (3-4) (3x x4).4). 當(dāng)當(dāng)00 x x33時(shí)，時(shí)， = =x x+1,+1, 即即y y2 2=4=4x x (0 (0 x x3).3). mm的軌跡方程是的軌跡方程是y y2 2=-12(=-12(x x-4) (3-4) (3x x4)4) 和和y y2 2=4=4x x(0(0 x x3).3).22) 1(yx22) 1(yx22) 1(yx題型二題型二 利用定義法求軌跡方程利用定義法求軌跡方程【例例2 2】一動(dòng)圓與圓】一動(dòng)圓與圓x x2 2+ +y y2 2+6+6x x+5=0+5=0外切，同時(shí)與圓外切，同時(shí)與圓 x x2 2+ +y y2 2-6-6

15、x x-91=0-91=0內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心mm的軌跡方程，的軌跡方程， 并說(shuō)明它是什么樣的曲線并說(shuō)明它是什么樣的曲線. . 利用兩圓的位置關(guān)系利用兩圓的位置關(guān)系相切這一性相切這一性 質(zhì)得到動(dòng)圓圓心與已知兩圓圓心間的關(guān)系，再質(zhì)得到動(dòng)圓圓心與已知兩圓圓心間的關(guān)系，再 從關(guān)系分析滿足何種曲線的定義從關(guān)系分析滿足何種曲線的定義. .思維啟迪思維啟迪解解 方法一方法一 如圖所示，如圖所示，設(shè)動(dòng)圓圓心為設(shè)動(dòng)圓圓心為mm（x x，y y），），半徑為半徑為r r，設(shè)已知圓的圓心分別為，設(shè)已知圓的圓心分別為o o1 1、o o2 2，將圓的，將圓的方程分別配方得：（方程分別配方得：（x x+3

16、+3）2 2+ +y y2 2=4,(=4,(x x-3)-3)2 2+ +y y2 2=100,=100,當(dāng)動(dòng)圓與圓當(dāng)動(dòng)圓與圓o o1 1相外切時(shí)，相外切時(shí)，有有| |o o1 1mm|=|=r r+2. +2. 當(dāng)動(dòng)圓與圓當(dāng)動(dòng)圓與圓o o2 2相內(nèi)切時(shí)，相內(nèi)切時(shí)，有有| |o o2 2mm|=10-|=10-r r. . 將將兩式相加，得兩式相加，得| |o o1 1mm|+|+|o o2 2mm|=12|=12| |o o1 1o o2 2| |，動(dòng)圓圓心動(dòng)圓圓心mm（x x, ,y y）到點(diǎn)）到點(diǎn)o o1 1（-3,0-3,0）和）和o o2 2（3,03,0）的距離和是常數(shù)的距離和是

17、常數(shù)1212，所以點(diǎn)所以點(diǎn)mm的軌跡是焦點(diǎn)為的軌跡是焦點(diǎn)為o o1 1（-3,0-3,0）、）、o o2 2（3,03,0）, ,長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于1212的橢圓的橢圓. .22c c=6=6，2 2a a=12=12，c c=3=3，a a=6=6，b b2 2=36-9=27=36-9=27，圓心軌跡方程為圓心軌跡方程為 軌跡為橢圓軌跡為橢圓. ., 1273622yx方法二方法二 由方法一可得方程由方法一可得方程移項(xiàng)再兩邊分別平方得：移項(xiàng)再兩邊分別平方得：兩邊再平方得兩邊再平方得3 3x x2 2+4+4y y2 2-108=0-108=0，整理得，整理得所以所以, ,動(dòng)圓圓心的軌跡方

18、程是動(dòng)圓圓心的軌跡方程是 軌跡是橢圓軌跡是橢圓. .,12)3()3(2222yxyx.12)3(222xyx, 1273622yx, 1273622yx探究提高探究提高 在利用圓錐曲線定義求軌跡時(shí)，若所求在利用圓錐曲線定義求軌跡時(shí)，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)曲線的方的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)曲線的方程，寫(xiě)出所求的軌跡方程，若所求軌跡是某種圓錐程，寫(xiě)出所求的軌跡方程，若所求軌跡是某種圓錐曲線上的特定點(diǎn)的軌跡，則利用圓錐曲線的定義列曲線上的特定點(diǎn)的軌跡，則利用圓錐曲線的定義列出等式，化簡(jiǎn)求得方程出等式，化簡(jiǎn)求得方程. .知能遷移知能遷移2 2 已知圓已知圓c c1 1:

19、(:(x x+3)+3)2 2+ +y y2 2=1=1和圓和圓c c2 2: :（x x-3-3）2 2+ +y y2 2=9,=9,動(dòng)圓動(dòng)圓mm同時(shí)與圓同時(shí)與圓c c1 1及圓及圓c c2 2相外切，求動(dòng)圓圓相外切，求動(dòng)圓圓心心mm的軌跡方程的軌跡方程. .解解 如圖所示，設(shè)動(dòng)圓如圖所示，設(shè)動(dòng)圓mm與圓與圓c c1 1及圓及圓c c2 2分別外切于點(diǎn)分別外切于點(diǎn)a a和點(diǎn)和點(diǎn)b b，根據(jù)兩圓外切的充要條件，根據(jù)兩圓外切的充要條件，得得| |mcmc1 1|-|-|acac1 1|=|=|mama| |，| |mcmc2 2|-|-|bcbc2 2|=|=|mbmb|.|.因?yàn)橐驗(yàn)閨 |ma

20、ma|=|=|mbmb| |，所以所以| |mcmc2 2|-|-|mcmc1 1|=|=|bcbc2 2|-|-|acac1 1|=3-1=2.|=3-1=2.這表明動(dòng)點(diǎn)這表明動(dòng)點(diǎn)mm到兩定點(diǎn)到兩定點(diǎn)c c2 2，c c1 1的距離之差是常數(shù)的距離之差是常數(shù)2.2.根據(jù)雙曲線的定義根據(jù)雙曲線的定義, ,動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)mm的軌跡為雙曲線的左支的軌跡為雙曲線的左支（點(diǎn)（點(diǎn)mm到到c c2 2的距離大，到的距離大，到c c1 1的距離?。?，這里的距離?。?，這里a a=1,=1,c c=3,=3,則則b b2 2=8,=8,設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)mm的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（x x, ,y y）, ,其軌跡其軌跡方程為方程為

21、 ( (x x-1).-1).1822yx題型三題型三 相關(guān)點(diǎn)法相關(guān)點(diǎn)法( (代入法代入法) )求軌跡方程求軌跡方程【例例3 3】（】（1212分）已知分）已知p p（4 4，0 0）是圓）是圓x x2 2+ +y y2 2=36=36內(nèi)的內(nèi)的 一點(diǎn)，一點(diǎn)，a a、b b是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足apbapb=90=90, , 求矩形求矩形apbqapbq的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)q q的軌跡方程的軌跡方程. . 連結(jié)連結(jié)qpqp交交abab于于r r, ,則則r r是矩形是矩形apbqapbq 的中心的中心. .因而可選因而可選r r的坐標(biāo)為中間變量，先求的坐標(biāo)為中間變量，先求r r 的軌跡

22、方程的軌跡方程, ,再將再將q q的坐標(biāo)代入的坐標(biāo)代入r r的坐標(biāo)中即可的坐標(biāo)中即可. .思維啟迪思維啟迪解解 如圖所示，設(shè)如圖所示，設(shè)abab的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為r r, ,坐標(biāo)為（坐標(biāo)為（x x1 1，y y1 1），），q q點(diǎn)坐標(biāo)為（點(diǎn)坐標(biāo)為（x x，y y），）， 2 2分分則在則在r rt tabpabp中，中，| |arar|=|=|prpr| |，又因?yàn)橛忠驗(yàn)閞 r是弦是弦abab的中點(diǎn)，依垂徑的中點(diǎn)，依垂徑定理有定理有r rt toaroar中中,|,|arar| |2 2=|=|aoao| |2 2-|-|oror| |2 2= =36-36-（x x + +y y ）. .又

23、又| |arar|=|=|prpr|=|=所以有（所以有（x x1 1-4-4）2 2+ +y y =36-=36-（x x + +y y ）. .即即x x + +y y -4 -4x x1 1-10=0.-10=0. 8 8分分2121,)4(2121yx21212121214 4分分因?yàn)橐驗(yàn)閞 r為為pqpq的中點(diǎn)，所以的中點(diǎn)，所以x x1 1 1010分分代入方程代入方程x x + +y y -4 -4x x1 1-10=0-10=0，得，得整理得整理得x x2 2+ +y y2 2=56.=56.這就是這就是q q點(diǎn)的軌跡方程點(diǎn)的軌跡方程. . 12 12分分.20,241yyx21

24、21. 01024422422xyx探究提高探究提高 相關(guān)點(diǎn)法也叫坐標(biāo)轉(zhuǎn)移（代入）法，是相關(guān)點(diǎn)法也叫坐標(biāo)轉(zhuǎn)移（代入）法，是求軌跡方程常用的方法求軌跡方程常用的方法. .其題目特征是：點(diǎn)其題目特征是：點(diǎn)a a的運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)與點(diǎn)與點(diǎn)b b的運(yùn)動(dòng)相關(guān)的運(yùn)動(dòng)相關(guān), ,且點(diǎn)且點(diǎn)b b的運(yùn)動(dòng)有規(guī)律（有方程），的運(yùn)動(dòng)有規(guī)律（有方程），只需將只需將a a的坐標(biāo)轉(zhuǎn)移到的坐標(biāo)轉(zhuǎn)移到b b的坐標(biāo)中的坐標(biāo)中, ,整理即可得整理即可得a a的軌的軌跡方程跡方程. .知能遷移知能遷移3 3 已知長(zhǎng)為已知長(zhǎng)為1+ 1+ 的線段的線段abab的兩個(gè)端點(diǎn)的兩個(gè)端點(diǎn) a a、b b分別在分別在x x軸、軸、y y軸上滑動(dòng)軸上滑動(dòng),

25、 ,p p是是abab上一點(diǎn)上一點(diǎn), ,且且 = .= .求點(diǎn)求點(diǎn)p p的軌跡的軌跡c c的方程的方程. . 解解 設(shè)設(shè)a a（x x0 0，0 0），），b b（0 0，y y0 0），），p p（x x，y y），）， 又又 = =（x x- -x x0 0，y y），）， = =（- -x x，y y0 0- -y y），）， 所以所以x x- -x x0 0=- =- ，y y= = （y y0 0- -y y） 得得x x0 0= = ，y y0 0= =（1+ 1+ ）y y. . 因?yàn)橐驗(yàn)閨 |abab|=1+ |=1+ ，即，即x x + +y y = =（1+ 1+ ）2 2

26、， 2appb22,22pbap appbx2222x2212202022 化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得 點(diǎn)點(diǎn)p p的軌跡方程為的軌跡方程為,)21 ()21(221222yx所以. 1222 yx. 1222 yx方法與技巧方法與技巧1.1.弦長(zhǎng)公式弦長(zhǎng)公式: :直線直線y y= =kxkx+ +b b與二次曲線與二次曲線c c交于交于p p1 1（x x1 1, ,y y1 1） 與與p p2 2( (x x2 2, ,y y2 2) )得到的弦長(zhǎng)為得到的弦長(zhǎng)為.4)(1)(1)()()()(212212221222122122122121xxxxkxxkkxkxxxyyxxpp思想方法思想方法 感悟提高

27、感悟提高2.2.求軌跡的方法求軌跡的方法 （1 1）直接法：）直接法： 如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量 （如距離與角）的等量關(guān)系，或這些幾何條件簡(jiǎn)（如距離與角）的等量關(guān)系，或這些幾何條件簡(jiǎn) 單明了且易于表達(dá)單明了且易于表達(dá), ,我們只需把這種關(guān)系轉(zhuǎn)化為我們只需把這種關(guān)系轉(zhuǎn)化為 x x、y y的等式就得到曲線的軌跡方程的等式就得到曲線的軌跡方程. . （2 2）定義法：）定義法： 其動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某一基本軌跡（如直線與圓其動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某一基本軌跡（如直線與圓 錐曲線）的定義，則可根據(jù)定義采用設(shè)方程，錐曲線）的定義，則可根據(jù)定義采用設(shè)方程， 求方

28、程系數(shù)得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程求方程系數(shù)得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程. . 在判斷軌跡符合哪一個(gè)基本軌跡時(shí)，常常用幾何在判斷軌跡符合哪一個(gè)基本軌跡時(shí)，常常用幾何 性質(zhì)列出動(dòng)點(diǎn)滿足的距離關(guān)系后，可判斷軌跡是性質(zhì)列出動(dòng)點(diǎn)滿足的距離關(guān)系后，可判斷軌跡是 否滿足圓錐曲線的定義否滿足圓錐曲線的定義. . 定義法與其它求軌跡方程的思維方法不同處在于：定義法與其它求軌跡方程的思維方法不同處在于： 此方法通過(guò)曲線定義直接判斷出所求曲線軌跡類(lèi)此方法通過(guò)曲線定義直接判斷出所求曲線軌跡類(lèi) 型，再利用待定系數(shù)法求軌跡方程型，再利用待定系數(shù)法求軌跡方程. .（3 3）代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：）代入法（相關(guān)點(diǎn)法）： 當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)mm

29、是隨著另一動(dòng)點(diǎn)是隨著另一動(dòng)點(diǎn)p p（稱(chēng)之為相關(guān)點(diǎn)）（稱(chēng)之為相關(guān)點(diǎn)） 而運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng). .如果相關(guān)點(diǎn)如果相關(guān)點(diǎn)p p所滿足某一曲線方程，這時(shí)所滿足某一曲線方程，這時(shí) 我們可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，再把相關(guān)我們可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，再把相關(guān) 點(diǎn)代入曲線方程，就把相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程轉(zhuǎn)化點(diǎn)代入曲線方程，就把相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程轉(zhuǎn)化 為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡的方法叫做相關(guān)為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡的方法叫做相關(guān) 點(diǎn)法或坐標(biāo)代換法點(diǎn)法或坐標(biāo)代換法. .失誤與防范失誤與防范1.1.求曲線方程時(shí)有已知曲線類(lèi)型與未知曲線類(lèi)型，求曲線方程時(shí)有已知曲線類(lèi)型與未知曲線類(lèi)型， 一般當(dāng)已知曲線類(lèi)型時(shí)一般用待

30、定系數(shù)法求方程；一般當(dāng)已知曲線類(lèi)型時(shí)一般用待定系數(shù)法求方程； 當(dāng)未知曲線類(lèi)型時(shí)常用求軌跡方程的方法求曲線當(dāng)未知曲線類(lèi)型時(shí)常用求軌跡方程的方法求曲線 方程方程. .2.2.求曲線軌跡方程時(shí)，常常要設(shè)曲線上任意一點(diǎn)求曲線軌跡方程時(shí)，常常要設(shè)曲線上任意一點(diǎn) 的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（x x, ,y y）, ,然后求然后求x x與與y y的關(guān)系的關(guān)系. .3.3.在求軌跡方程五種類(lèi)型中，單從思維角度應(yīng)該在求軌跡方程五種類(lèi)型中，單從思維角度應(yīng)該 分為兩個(gè)方面：一是用定義法分為兩個(gè)方面：一是用定義法, ,（從已知曲線類(lèi)（從已知曲線類(lèi) 型、或從距離關(guān)系中）能判斷到曲線類(lèi)型時(shí)型、或從距離關(guān)系中）能判斷到曲線類(lèi)型時(shí),

31、 ,再再 用待定系數(shù)法求曲線方程；二是用待定系數(shù)法求曲線方程；二是, ,當(dāng)未知曲線類(lèi)當(dāng)未知曲線類(lèi) 型時(shí)用其它四種方法求曲線方程型時(shí)用其它四種方法求曲線方程. .4.4.仔細(xì)區(qū)分五種求軌跡方法，合理確定要選擇的仔細(xì)區(qū)分五種求軌跡方法，合理確定要選擇的 求軌跡方法求軌跡方法, ,哪些類(lèi)型、哪些已知條件適合哪一哪些類(lèi)型、哪些已知條件適合哪一 種方法，要融會(huì)貫通，不可亂用方法！種方法，要融會(huì)貫通，不可亂用方法！一、選擇題一、選擇題1.1.（20082008北京理北京理,4,4）若點(diǎn)若點(diǎn)p p到直線到直線x x=-1=-1的距離比的距離比 它到點(diǎn)（它到點(diǎn)（2,02,0）的距離?。┑木嚯x小1,1,則點(diǎn)則點(diǎn)

32、p p的軌跡為（的軌跡為（ ） a.a.圓圓 b.b.橢圓橢圓 c.c.雙曲線雙曲線 d.d.拋物線拋物線 解析解析 由題意可知由題意可知, ,點(diǎn)點(diǎn)p p到直線到直線x x=-2=-2的距離等于它的距離等于它 到點(diǎn)到點(diǎn)(2,0)(2,0)的距離的距離, ,根據(jù)拋物線定義知根據(jù)拋物線定義知, ,點(diǎn)點(diǎn)p p的軌跡的軌跡 為拋物線為拋物線. .定時(shí)檢測(cè)定時(shí)檢測(cè)d2.2.方程（方程（x x- -y y）2 2+(+(xyxy-1)-1)2 2=0=0的曲線是的曲線是 （ ） a.a.一條直線和一條雙曲線一條直線和一條雙曲線 b.b.兩條雙曲線兩條雙曲線 c.c.兩個(gè)點(diǎn)兩個(gè)點(diǎn) d.d.以上答案都不對(duì)以上

33、答案都不對(duì) 解析解析 （x x- -y y）2 2+(+(xyxy-1)-1)2 2=0=0c.01, 0 xyyx. 1, 1, 1, 1yxyx或3.3.已知定點(diǎn)已知定點(diǎn)a a（1 1，1 1）和直線）和直線l l: :x x+ +y y-2=0-2=0，那么到定，那么到定 點(diǎn)點(diǎn)a a的距離和到定直線的距離和到定直線l l距離相等的點(diǎn)的軌跡為距離相等的點(diǎn)的軌跡為 （ ） a.a.橢圓橢圓 b.b.雙曲線雙曲線 c.c.拋物線拋物線 d.d.直線直線 解析解析 由于點(diǎn)由于點(diǎn)a a在直線在直線x x+ +y y-2=0-2=0上上. .因此選因此選d.d.d4.4.已知點(diǎn)已知點(diǎn)a a（-2,0

34、-2,0）、）、b b（3,03,0）, ,動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)p p（x x，y y）滿）滿 足足 = =x x2 2，則點(diǎn)，則點(diǎn)p p的軌跡是的軌跡是 （ ） a.a.圓圓 b.b.橢圓橢圓 c.c.雙曲線雙曲線 d.d.拋物線拋物線 解析解析 由條件知，由條件知， = =（-2-2-x x，- -y y），）， = =（3-3- x x，- -y y）. . = =（-2-2-x x）（）（3-3-x x）+ +y y2 2= =x x2 2， 整理得：整理得：x x2 2- -x x-6+-6+y y2 2= =x x2 2，即，即y y2 2= =x x+6+6， 點(diǎn)點(diǎn)p p的軌跡為拋物線的軌跡

35、為拋物線. .papbdpapbpapb5.5.如圖所示如圖所示, ,一圓形紙片的圓心為一圓形紙片的圓心為 o o，f f是圓內(nèi)一定點(diǎn)，是圓內(nèi)一定點(diǎn)，mm是圓周是圓周 上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使mm與與f f 重合重合, ,然后抹平紙片然后抹平紙片, ,折痕為折痕為cdcd， 設(shè)設(shè)cdcd與與omom交于點(diǎn)交于點(diǎn)p p，則點(diǎn)，則點(diǎn)p p的的 軌跡是軌跡是 （ ） a.a.橢圓橢圓 b.b.雙曲線雙曲線 c.c.拋物線拋物線 d.d.圓圓 解析解析 由條件知由條件知| |pmpm|=|=|pfpf|.|. | |popo|+|+|pfpf|=|=|popo|+|+|pmpm|=

36、|=|omom|=|=r r| |ofof|.|. p p點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)的軌跡是以o o、f f為焦點(diǎn)的橢圓為焦點(diǎn)的橢圓. .a6.6.有一動(dòng)圓有一動(dòng)圓p p恒過(guò)定點(diǎn)恒過(guò)定點(diǎn)f f( (a a,0),0)（a a0 0）且與）且與y y軸相軸相 交于點(diǎn)交于點(diǎn)a a、b b，若，若abpabp為正三角形，則點(diǎn)為正三角形，則點(diǎn)p p的軌的軌 跡為跡為 （ ） a.a.直線直線 b.b.圓圓 c.c.橢圓橢圓 d.d.雙曲線雙曲線 解析解析 設(shè)設(shè)p p（x x，y y），動(dòng)圓），動(dòng)圓p p的半徑為的半徑為r r， 由于由于abpabp為正三角形，為正三角形， p p到到y(tǒng) y軸的距離軸的距離d d=

37、 = ，即，即| |x x|= .|= . 而而r r=|=|pfpf|=|= | |x x|= |= 整理得整理得:(:(x x+3+3a a) )2 2-3-3y y2 2=12=12a a2 2，即，即 點(diǎn)點(diǎn)p p的軌跡為雙曲線的軌跡為雙曲線. .dr23r23,)(22yax23.)(22yax. 1412)3(2222ayaax二、填空題二、填空題7.7.平面上有三個(gè)點(diǎn)平面上有三個(gè)點(diǎn)a a（-2-2，y y），），b b ， c c（x x，y y），若），若 則動(dòng)點(diǎn)則動(dòng)點(diǎn)c c的軌跡方程是的軌跡方程是 . . 解析解析 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)c c的軌跡方程為的軌跡方程為y y2 2=8=8x

38、x. .2, 0yy y2 2=8=8x x),2, 2(), 2()2, 0(yyyab.8, 0)2,()2, 2(, 0,),2,()2, 0(),(2xyyxybcabbcabyxyyxbc即abbc，8.8.abcabc中，中，a a為動(dòng)點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)，b b、c c為定點(diǎn)，為定點(diǎn)， 且滿足條件且滿足條件 sinsinc c-sin -sin b b= sin = sin a a, ,則動(dòng)點(diǎn)則動(dòng)點(diǎn)a a的軌跡方程是的軌跡方程是 . . 解析解析 由正弦定理：由正弦定理： |abab|-|-|acac|= |= |bcbc| |，且為雙曲線右支，且為雙曲線右支. .),0(0 ,2,0 ,

39、2aacab21)00( 1316162222yxayax且,22122rbcracrab219.9.已知已知abcabc的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)b b（0 0，0 0），），c c（5 5，0 0），），abab 邊上的中線長(zhǎng)邊上的中線長(zhǎng)| |cdcd|=3|=3，則頂點(diǎn)，則頂點(diǎn)a a的軌跡方程的軌跡方程為為 . . 解析解析 方法一方法一 直接法直接法. .設(shè)設(shè)a a（x x, ,y y）, ,y y0,0,則則 化簡(jiǎn)得：（化簡(jiǎn)得：（x x-10-10）2 2+ +y y2 2=36,=36,由于由于a a、b b、c c三點(diǎn)三點(diǎn) 構(gòu)成三角形，所以構(gòu)成三角形，所以a a不能落在不能落在x x軸上，即軸

40、上，即y y0.0., 34)52(,2,222yxcdyxd方法二方法二 定義法定義法. .如圖所示，設(shè)如圖所示，設(shè)a a（x x, ,y y）, ,d d為為abab的中點(diǎn)，過(guò)的中點(diǎn)，過(guò)a a作作aeaecdcd交交x x軸于軸于e e，|cdcd|=3|=3，|aeae|=6|=6，則，則e e（1010，0 0）a a到到e e的距離為常數(shù)的距離為常數(shù)6 6，a a的軌跡為以的軌跡為以e e為圓心，為圓心，6 6為半徑的圓，為半徑的圓，即即( (x x-10)-10)2 2+ +y y2 2=36,=36,又又a a、b b、c c不共線，故不共線，故a a點(diǎn)縱坐點(diǎn)縱坐標(biāo)標(biāo)y y0,0

41、,故故a a點(diǎn)軌跡方程為（點(diǎn)軌跡方程為（x x-10-10）2 2+ +y y2 2=36 (=36 (y y0).0).答案答案 ( (x x-10)-10)2 2+ +y y2 2=36 (=36 (y y0)0)三、解答題三、解答題10.10.a a、b b分別是直線分別是直線y y= = x x和和y y=- =- x x上的動(dòng)點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn). .o o是是 坐標(biāo)原點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)，且| |oaoa|obob|=|=a a2 2+ +b b2 2 （a a，b b為常數(shù)為常數(shù) 值，值，b b00）. . 求線段求線段abab的中點(diǎn)的中點(diǎn)p p的軌跡方程的軌跡方程. . 解解 設(shè)設(shè)p p、a

42、a、b b三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x x，y y）、）、（x x1 1，y y1 1）、（）、（x x2 2，y y2 2）. . abab221xxx則221yyy11xaby 22xaby又又| |oaoa|obob|=|=且且| |oaoa|obob|=|=a a2 2+ +b b2 2，|x x1 1x x2 2|=|=a a2 2. . 將將代入代入得得y y= (= (x x1 1- -x x2 2),),即即 2 2- -2 2得得x x2 2- - 即即x x2 2- =- =a a2 2. .所求軌跡方程為所求軌跡方程為 = =1.1.2212)(1)(1xabx

43、ab,21222xxaba ab2221xxyba,21222xxyba222yba2222byax11.11.已知拋物線已知拋物線y y2 2=2=2x x, ,o o為頂點(diǎn)，為頂點(diǎn)，a a、b b為拋物線上為拋物線上 兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足oaoaobob，如果，如果omomabab，垂足，垂足 為為mm，求，求mm點(diǎn)的軌跡點(diǎn)的軌跡. . 解解 方法一方法一 設(shè)直線設(shè)直線oaoa的方程為的方程為y y= =kxkx, , 則直線則直線obob的方程為的方程為y y=- =- x x. . 由由 得得k k2 2x x2 2=2=2x x, ,則則x x=0=0或或x x= = a a點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為 , ,將將a a點(diǎn)坐標(biāo)中的點(diǎn)坐標(biāo)中的k k換為換為- - ， 可得可得b b點(diǎn)坐標(biāo)（點(diǎn)坐標(biāo)（2 2k k2 2,