留數(shù)定理及應(yīng)用

1、留數(shù)及其應(yīng)用摘 要 數(shù)定理得知，計算函數(shù)沿的積分，可歸結(jié)為計算圍線內(nèi)各孤立奇點處的留數(shù)之和而留數(shù)又是該奇點處的羅朗級數(shù)的負一次冪的系數(shù)，因此我們只關(guān)心該奇點處羅朗留數(shù)理論是復(fù)積分和復(fù)級數(shù)理論相結(jié)合的產(chǎn)物，利用留數(shù)定理可以把沿閉路的積分轉(zhuǎn)化為計算孤立點處的留數(shù)此外，在數(shù)學分析及實際問題中，往往一些被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，有時即便可以，計算也非常復(fù)雜我們利用留數(shù)定理可以把要求的積分轉(zhuǎn)化為復(fù)變函數(shù)沿閉曲線的積分，從而把待求積分轉(zhuǎn)化為留數(shù)計算本文首先介紹留數(shù)定義及留數(shù)定理，然后針對具體不同的積分類型有不同的計算方法以及留數(shù)理論在定積分中的一些應(yīng)用關(guān)鍵詞 留數(shù)定理；留數(shù)計算；應(yīng)用引 言 對留

2、數(shù)理論的學習不僅是前面知識的延伸，更為對原函數(shù)不易直接求得的定積分和反常積分的求法提供了一個較為方便的方法1. 預(yù)備知識孤立奇點1設(shè)在點的把計算閉曲線上的積分值的問題轉(zhuǎn)化為計算各個孤立奇點上的留數(shù)的問題，即計算在每一個孤立奇點處的羅朗展式中負冪一次項的系數(shù).在一般情況下，求羅朗展式也是比較麻煩的，因此，根據(jù)孤立奇點的不同類型，分別建立留數(shù)計算的一些簡便方法是十分必要的.1.1 若為的可去奇點則在某去心鄰域內(nèi)解析，但在點不解析，則稱為的孤立奇點.例如，以為孤立奇點.以為奇點，但不是孤立奇點，是支點.以為奇點（又由，得故不是孤立奇點）2設(shè)為的孤立奇點，則在的某去心鄰域內(nèi)，有稱為在點的主要部分，稱為

3、在點的正則部分，當主要部分為時，稱為的可去奇點；當主要部分為有限項時，設(shè)為稱為的級極點；當主要部分為無限項時，稱為本性奇點.2. 留數(shù)的概念及留數(shù)定理1.留數(shù)的定義設(shè)函數(shù)以有限點為孤立點，即在點的某個去心鄰域內(nèi)解析，則積分為在點的留數(shù)，記為：2.留數(shù)定理介紹留數(shù)定理之前，我們先來介紹復(fù)周線的柯西積分定理：設(shè)是由復(fù)周線所圍成的有界連通區(qū)域，函數(shù)在內(nèi)解析，在上連續(xù)，則定理1 （留數(shù)定理） 設(shè)在周線或復(fù)周線所范圍的區(qū)域內(nèi)，除外解析，在閉域上除外連續(xù)，則（ “大范圍”積分） （1）證明 以為心，充分小的正數(shù)為半徑畫圓周（）使這些圓周及內(nèi)部均含于，并且彼此相互隔離，應(yīng)用復(fù)周線的柯西定理得，由留數(shù)的定義，

4、有特別地，由定義得 ，代入（1）式得 定理2設(shè)為的階極點，其中在點解析，則這里符號代表，且有推論3設(shè)為的一階極點，則推論4設(shè)為的二階極點，則3. 留數(shù)的引理引理1設(shè)沿圓弧 (，充分大)上連續(xù)，且于上一致成立(即與中的無關(guān))，則引理2(若爾當引理)設(shè)函數(shù)沿半圓周 (，充分大)上連續(xù)，且在上一致成立，則引理3(1)設(shè)為的階零點，則必為函數(shù)的一階極點，并且；(2)設(shè)為的階極點，則必為函數(shù)的一階極點，并且3. 留數(shù)的計算1. 函數(shù)在極點的留數(shù)法則1：如果為的簡單極點，則 法則2：設(shè)，其中在處解析，如果，為的一階零點，則為的一階極點，且 . 法則3：如果為的m階極點，則 .2. 函數(shù)在無窮遠點的留數(shù)定理

5、 1 如果在擴充復(fù)平面上只有有限個孤立奇點（包括無窮遠點在內(nèi)）為，則在各點的留數(shù)總和為零.關(guān)于在無窮遠點的留數(shù)計算，我們有以下的規(guī)則.法則 4： .例 1求函數(shù)在奇點處的留數(shù)解有兩個一階極點，于是根據(jù)（6.5）得例 2求函數(shù)在奇點處的留數(shù)解 有一個三階極點，故由（6.7）得4. 留數(shù)定理在定積分中的應(yīng)用利用留數(shù)計算定積分活反常積分沒有普遍的實用通法，我們只考慮幾種特殊類型的積分1.形如型的積分這里表示的有理函數(shù)，并且在上連續(xù)，把握此類積分要注意，第一：積分上下限之差為，這樣當作定積分時從經(jīng)歷變到，對應(yīng)的復(fù)變函數(shù)積分正好沿閉曲線繞行一周第二：被積函數(shù)是以正弦和余弦函數(shù)為自變量。當滿足這兩個特點之

6、后，我們可設(shè)，則， 得 例1 計算解 令，則 例2 計算解 ，由于分母有兩個根，其中，因此 2 .形如型的積分把握此類積分要注意，首先分析其函數(shù)特點，函數(shù)必須滿足一下兩條才能適用。第一：，其中，均為關(guān)于的多項式，且分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高兩次；第二：在半平面上的極點為（1，2，3，），在實軸上的極點為（1，2，3，）則有例3 計算解 取，孤立點為，其中落在上半平面的為，故。例4 計算解 由于，且上半平面只有一個極點，因此 3 .形如型的積分1) 留數(shù)公式定理2 （若爾當引理）設(shè)函數(shù)沿半徑圓周（）上連續(xù)，且在上一致成立，則證明 ，使當時，有 于是 （2）這里利用了 以及于是由若爾當不等式（）

7、將（2）化為 即 2) 舉例例5 計算解 不難驗證，函數(shù)滿足若爾當引理條件這里，函數(shù)有兩個一階極點及，于是 4. 形如和型積分定理3 設(shè)，其中和是互質(zhì)多項式，并且符合條件：（1）的次數(shù)比的次數(shù)高；（2）在實軸上；（3）則有 （3）特別地，將（3）式分開實虛部，就可用得到形如及的積分例6 計算解 利用以及若爾當引理，且分母在上半圓只有兩個孤立奇點和，得到 例7 計算（）解 被積函數(shù)為偶函數(shù)，所以，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，它共有四個一階極點，即（）得 （），因為，所以在上半面只有兩個一階極點及，于是 ，故 小結(jié):正確的運用留數(shù)可以有效的解決一些復(fù)雜的定積分問題，留數(shù)定理是學習輻角原理的基礎(chǔ)，在復(fù)變函數(shù)的學習中有著重要的作用，是復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)理論之一.上面舉例說明了常見的幾種可以用留數(shù)定理計算的定積分類型，計算比較簡捷，通過上面幾例，可以看出實積分中是定積分計算與利用留數(shù)定理計算之間既有區(qū)別，也有聯(lián)系解題時應(yīng)視具體情況而定，有使用實積分理論計算很困難甚至無法計算時，利用留數(shù)定理能收到很好的效果.參 考 文 獻1鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論M高等教育出版社，2004.2蓋云英.復(fù)變函數(shù)與積分變換指導M科學出版社，20