近世代數(shù)全環(huán)定義與性質(zhì)PPT課件

1、 2021-11-7一、環(huán)的定義R, ,()()a b cR a bcab c, ,a b cR( , )R 定義1 設(shè)是一個非空集合. 上定義了兩個代數(shù)運算“+”與“.”關(guān)于加法構(gòu)成一個交換群（加群）；(3) 乘法對加法兩個分配律成立：則稱為環(huán),或簡稱為環(huán).R(分別稱為加法與乘法),并且滿足如果在(1)R(2) 乘法結(jié)合律成立：(),()abca ba cbcab ac aR第1頁/共25頁 2021-11-7說明：( , )R R 是一個交換群.其加法單位元常用0表示,稱為環(huán)的零元. ,aR aa 設(shè)的加法逆元稱為的負(fù)元.的零元與的每個元素的負(fù)元都是a,記作RR唯一的.第2頁/共25頁 2

2、021-11-7Re,eaaeaaR 定義2 如果環(huán)的乘法還滿足交換律,為交換環(huán).中存在元素,使得則稱為有單位元的環(huán),并稱為的定義3 如果環(huán)RRReR單位元.則稱第3頁/共25頁 2021-11-7例 1整數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法與乘法構(gòu)成有單位元的交換環(huán).這個環(huán)的零元是數(shù)0,單位元是數(shù)1.這個環(huán)稱為整數(shù)環(huán).同樣,有理數(shù)集,實數(shù)集,復(fù)數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法與乘法構(gòu)成有單位元的交換環(huán)第4頁/共25頁 2021-11-7定理1R1R設(shè)是一個環(huán),如果有單位元,則單位元是唯一的.的單位元常記作.RR第5頁/共25頁 2021-11-7二、環(huán)的性質(zhì)(),ababa bR , ,abcacba b cR 性質(zhì)1. 規(guī)定

3、減法: ，則有移項法則:第6頁/共25頁 2021-11-7aR ()()()00nnaaanNnaaaanNn 如如果果如如果果如如果果,a bR m nZ (1)()(2)()(3)()()(4)()()()manamn am abmambm namn am abma ba mb 性質(zhì)2. 規(guī)定倍數(shù): 設(shè) , 規(guī)定 則有倍數(shù)法則:對任意 第7頁/共25頁 2021-11-7R, a bR (1)000(2)()(3)()()(4)()()aaaaaba bababab 性質(zhì)3. 設(shè)為環(huán), 則對,有第8頁/共25頁 2021-11-7,aR nN nnaa aa (1)()(2)mnmnmn

4、m naaaaa R()nnna bab性質(zhì)4. 規(guī)定方冪: 設(shè) , 規(guī)定,則有下列指數(shù)法則: 注意: 如果環(huán)不是交換環(huán), 則等式一般不成立.第9頁/共25頁 2021-11-7,1,2, ,1,2,ija a bRin jm 11111111(1)()(2)()(3)()()(4)()()()nniiiinniiiinmnmijijijijaaaaa aaaababma nbmn ab 性質(zhì)5. 廣義分配律: 設(shè) , 則第10頁/共25頁 2021-11-7三、子環(huán)RS.SR SR ,a bS 定義4 若環(huán)的非空子集關(guān)于環(huán)的加法與乘法也做成環(huán)，稱為的子環(huán)定理2 RSR，記作a,bS abS

5、有有例 22 |Ra aZZ 第11頁/共25頁 2021-11-7例 3Kn()nMKn1n 數(shù)域上的全體階方陣的集合關(guān)于矩陣的加法與乘法上的它的零元為零矩陣, 單位元為單位矩陣.構(gòu)成環(huán).這個環(huán)稱為數(shù)域K階全陣環(huán).當(dāng)時,這是一個非交換環(huán), 第12頁/共25頁 2021-11-7例 4 證明 | ,Z iabi a bZd| ,Zdab d a bZ數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法與乘法構(gòu)成有單位元的交換環(huán).為非平方整數(shù), 則關(guān)于數(shù)的加法與乘法都構(gòu)成有單位元的交換環(huán).這個環(huán)稱為高斯整環(huán).類似地可證, 如果| ,Qdab d a bQ第13頁/共25頁 2021-11-7四、特殊類型的環(huán)Rab0ab 0ba 1

6、. 無零因子環(huán)為環(huán),為的非零元素.，使，則稱的一個左零因子；，使，則稱的一個右零因子. 定義 5 設(shè)R如果存在非零元a為R如果存在非零元ba為R左零因子與右零因子統(tǒng)稱為零因子.不是左零因子也不是右零因子的元素，叫做正則元. 第14頁/共25頁 2021-11-7例5 52( ),MMR 1111,0011AB M0AB ,A B設(shè)都是的非零元,而,所以分別為的左右零因子.M第15頁/共25頁 2021-11-7定義 6 6 一個沒有零因子的環(huán)稱為無零因子環(huán).R, ,0a b cR b abcb babc .ac 定理 3 無零因子環(huán)中,關(guān)于乘法,如果或,則兩個消去律成立.即設(shè)第16頁/共25頁

7、 2021-11-72.2.整環(huán)1R10R R定義 7 一個交換的,有單位元且的無零因子環(huán)稱為整環(huán).例 6 整數(shù)環(huán), 高斯整環(huán) 而偶數(shù)環(huán)為都是整環(huán), 無零因子環(huán).第17頁/共25頁 2021-11-73.3.除環(huán)和域R1R(0)aR bR 1Rabba ab1a 11().aa 定義 8 設(shè)為有單位元的環(huán),如果存在,使得,則稱為的可逆元,并稱為的逆元.可逆, 則的逆元唯一, 且的逆元也可逆.可逆元的唯一的,且Ra若aaaa逆元記作第18頁/共25頁 2021-11-7例 7Z2Z()nAMK | 0.A Z i1,1, , ii可可逆逆元元只只有有的可逆元僅有1, -1;由于沒有單位元,所以它

8、沒有可逆元.可逆當(dāng)且僅當(dāng)例 9 試求高斯整環(huán) 例 8 解的可逆元.第19頁/共25頁 2021-11-7定義9 9R10R 設(shè)是有單位元的環(huán),且.如果中每個非零元都可逆,則稱為除環(huán). RR交換的除環(huán)稱為域.QCR、 、例 10 都是域.第20頁/共25頁 2021-11-7例 11 | ,Q iabi a bQ Q i22 ,0,0,abiQ iab 為域.是有單位元的交換環(huán). 的每個非零元都可逆.證明證明 可證 Q i下證,2222 ,abiQ iabab 令令1, 12222, abiQ iabab 故故是是域域第21頁/共25頁 2021-11-7域的除法F,0a bF b 11abb a 1aabb ,0a bF b aabb abba設(shè)為域, 則對任意的,有，記作由此可定義域的除法: 設(shè),規(guī)定,稱為以除的商. F第22頁/共25頁 2021-11-7(1)acadbcbd且有下列運算法則:(2