反三角函數(shù)(教案)4頁

1、第4節(jié) 反三角函數(shù)（2課時）第1課時教材分析：反三角函數(shù)的重點(diǎn)是概念，關(guān)鍵是反三角函數(shù)與三角函數(shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別。內(nèi)容上，自然是定義和函數(shù)性質(zhì)、圖象；教學(xué)方法上，著重強(qiáng)調(diào)類比和比較。另外，函數(shù)與反函數(shù)之間的關(guān)系，是本節(jié)內(nèi)容中的一個難點(diǎn)，同時涉及上學(xué)期內(nèi)容，可能是個值得復(fù)習(xí)的機(jī)會。課題引入：在輔助角公式中，我們知道，其中，這樣表述相當(dāng)煩瑣，我們想是否有比較簡明的方法來表示輔助角呢？這就是我們今天要引入的問題反三角函數(shù)。教學(xué)過程：師：首先我們回顧一下，什么樣的函數(shù)才有反函數(shù)？答：一一對應(yīng)的函數(shù)具有反函數(shù)，最典型的例子就是單調(diào)函數(shù)具有反函數(shù)（但反之不真）。師：我們知道正弦函數(shù)在定義域上是周期函數(shù)，當(dāng)

2、然不是一一對應(yīng)的，因而沒有反函數(shù)。但是，如果我們截取其中的一個單調(diào)區(qū)間，比方說我們研究函數(shù)：，這個函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，因而有反函數(shù)。師：現(xiàn)在我們來求這個函數(shù)的反函數(shù)，那么求反函數(shù)有哪些步驟？（反解，互換）（這里我們使用符號表示反解）反解得，互換得，其中，這就是要求的反正弦函數(shù)。1 反正弦函數(shù)的圖象反正弦函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，因此兩個函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱。2 反正弦函數(shù)的性質(zhì)（由函數(shù)圖象可得）定義域為，值域為；在定義域上單調(diào)遞增；是奇函數(shù)，即對任意，有3 反正弦函數(shù)的恒等式由“一一對應(yīng)”的性質(zhì)知：對任意值，在上都有唯一對應(yīng)的角，使得它的正弦值為，即得恒等式；由“一一對應(yīng)”的性質(zhì)知：對任意角，在上都有

3、唯一對應(yīng)的值，使得它的反正弦值為，即得恒等式。例題選編：例1：求下列反三角函數(shù)值：（1） ； （2） （3）解：利用恒等式1來理解題意（1）：記，也就是在上找一個角，使得；（2）（3）類似。說明：對于特殊值的反正弦函數(shù)值的處理，利用恒等式1理解是一種本人以為較為機(jī)械的方法；但不知是否適合于初學(xué)者，有待討論?？赡苤苯幼屗麄兏惺芨拍顣淼酶鼮楹唵涡┌?，實際上教材P98的思路有點(diǎn)類似于本文的處理方式。例2：用反正弦函數(shù)值的形式表示下列各式中的 ：（1），（2），（3）解：利用恒等式2來理解題意：（1），而，故有；（3），而，故不能直接利用恒等式2，需要利用誘導(dǎo)公式，將角度轉(zhuǎn)化到上，此時涉及討論：若，則若，則，故有即。例3：化簡下列各式：（1） （2） （3）解：此題直接利用恒等式2，當(dāng)區(qū)間不滿足要求時，需要利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化區(qū)間。（1），由恒等式2得；（2），這里將轉(zhuǎn)化了；（3）。例4：判斷下列各式是否成立：（1）； （2）； （3）（4）； （5）（6）解：（1）對；（2）錯；（3）當(dāng)時對；（4）錯，；（5）錯；（6）對。例5：寫出下列函數(shù)的定義域和值域：（1）； （2）解：（1），由反正弦函數(shù)的單調(diào)性知（2），這是典型的復(fù)合函數(shù)求值域問題，由和反正弦函數(shù)的單調(diào)性可知：例6：求下列函數(shù)的反函數(shù)：（1）（2）（3）解：（1）反解得，（恒等式