電磁學(xué)第二章穩(wěn)恒磁場

1、第二篇 電磁學(xué)第二章 穩(wěn)恒磁場2-9 如圖所示，在磁感應(yīng)強(qiáng)度為的均勻磁場中，有一半徑為的半球面，與半球面的軸線夾角為。求通過該半球面的磁通量。解 半球面與其底面構(gòu)成一個(gè)閉合曲面，通過此閉合曲面的磁通量等于通過半球面的磁通量與通過底面的磁通量之和：根據(jù)磁場的高斯定理可知，因此因?yàn)槭蔷鶆虼艌?，底面又是平面，所以和是常量?-10電流為均勻地通過半徑為的圓柱形長直導(dǎo)線，試計(jì)算單位長度導(dǎo)線通過圖中所示剖面的磁通量。解 圍繞軸線取同心圓環(huán)路L，使其繞向與電流成右手螺旋關(guān)系，根據(jù)安培環(huán)路定理可求得導(dǎo)線內(nèi)部距軸線r處的磁感應(yīng)強(qiáng)度在距離軸線r處的剖面上取寬度為dr的很窄的面元，該面元上各點(diǎn)的B相同，由磁通量的

2、定義可知穿過該面元的磁通量為所以單位長度的磁通量為2-11 已知裸銅導(dǎo)線允許通過電流而不導(dǎo)致導(dǎo)線過熱，電流在導(dǎo)線橫截面上均勻分布。求導(dǎo)線內(nèi)、外磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布。解 銅線可視作長直圓柱體，電流沿導(dǎo)線軸向流過且均勻分布在導(dǎo)線橫截面上，其磁場具有軸對稱性。由安培環(huán)路定理可以求出磁場的分布。載流長直銅線激發(fā)的磁場，磁感線是圍繞銅線軸線的一組同心圓，取半徑為r的磁感線作積分環(huán)路L，應(yīng)用安培環(huán)路定理得 當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，則2-12 如圖所示一同軸電纜。兩導(dǎo)體中的電流均為，但電流的流向相反，導(dǎo)體的磁性可不考慮。試計(jì)算以下各處的磁感應(yīng)強(qiáng)度：（1）；（2）；（3）；（4）。解 同軸線的磁場分布具有軸對稱性，其磁感線

3、是圍繞軸線的同心圓。取半徑為r的磁感線作積分環(huán)路L，應(yīng)用安培環(huán)路定理得當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，則 當(dāng)時(shí)，則2-13 如圖所示，匝線圈均勻密繞在截面為長方形的中空骨架上，求通入電流時(shí)，環(huán)內(nèi)外磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布。解 由右手螺旋法則可知，螺旋環(huán)內(nèi)磁感線是以環(huán)心為圓心的同心圓，同一磁感線上各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等。取半徑為r的磁感應(yīng)線作積分環(huán)路L，應(yīng)用安培環(huán)路定理得當(dāng)時(shí)，則 當(dāng)時(shí)，,則當(dāng)時(shí)，則 由以上計(jì)算可知，磁場主要分布在螺線環(huán)內(nèi)。2-14 如圖所示，一根半徑為的無限長載流直導(dǎo)體，其中電流沿軸向流過，并均勻分布在橫截面上，現(xiàn)在導(dǎo)體上有一半徑為的圓柱型空腔，其軸與直導(dǎo)體的軸平行，且軸心距，求空腔中心的磁感

4、應(yīng)強(qiáng)度。解 本題中無限長載流直導(dǎo)體產(chǎn)生的磁場可等效為，半徑為R的無限長載流直導(dǎo)體，在橫截面上有電流均勻沿軸向流過產(chǎn)生的磁場減去，半徑為的圓柱均勻流過電流產(chǎn)生的磁場。由題目2-11可知，無限長載流直導(dǎo)線，有電流I均勻沿軸向流過時(shí)，其內(nèi)部磁感強(qiáng)度B的大小為所以，在空腔中心處有因此，空腔中心處磁感應(yīng)強(qiáng)度為其方向?yàn)榇怪狈较虿⑴c電流成右手螺旋關(guān)系。2-15 已知地面上空某處地磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度 ，方向向北。若宇宙射線中有一速率的質(zhì)子垂直地通過該處，求洛倫茲力的方向以及大小，并與該質(zhì)子受到的萬有引力相比較。解 由可知洛倫茲力的方向?yàn)榈姆较?，如圖所示。因，所以質(zhì)子所受的洛倫茲力大小為在地球表面質(zhì)子所受的萬有引

5、力大小為質(zhì)子所受的洛倫茲力與萬有引力的比值即質(zhì)子所受的洛倫茲力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于重力。2-16 一個(gè)電子射入的均勻磁場中，當(dāng)電子速度為時(shí)，求電子所受的磁場力。解 2-17 一電子在的均勻磁場中作沿半徑為、螺距為的螺旋線運(yùn)動(dòng)，求電子的速度。解 電子的螺線運(yùn)動(dòng)可分解為速度為的沿軸線的勻速直線運(yùn)動(dòng)和速率為的垂直于軸線的平面上的勻速圓周運(yùn)動(dòng)電子速度垂直于磁場的分量則，電子速度平行于磁場的分量可根據(jù)螺距的公式求得則，于是，電子的運(yùn)動(dòng)速率為v的方向與軸線的夾角滿足2-18 如圖所示，一根無限長直導(dǎo)線通有電流，矩形線圈通有電流。試計(jì)算矩形線圈所受的磁場力。（其中，）解 矩形線圈上，下兩邊所受磁場力大小相等，方向相反，

6、互相抵消。所以矩形線圈所受磁場力就是其左側(cè)邊及其右側(cè)邊所受磁場力的合力。而線圈左邊所受的安培力向左，線圈右邊所受安培力向右，且有 所以，矩形線圈所受磁場力的大小為且磁場力的方向向左，指向直導(dǎo)線。2-19 一矩形線圈載有電流，線圈邊長分別為、，線圈平面與平面成角，線圈可繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。今加上的均勻磁場，磁場方向沿軸，求線圈所受到的磁力矩。解1 載流線圈在均勻磁場中所受磁力矩為其中為線圈平面法線與磁感應(yīng)強(qiáng)度B之間的夾角，由題意可知，則方向沿y軸負(fù)向。解2 根據(jù)安培定律，與y軸平行的b邊所受的磁場力為此力對線圈產(chǎn)生力矩（線圈其他邊所受磁力對力矩?zé)o貢獻(xiàn)），大小為方向沿y軸負(fù)向。2-20 一平面線圈

7、電流為，匝數(shù)為、面積為，將其放在磁感應(yīng)強(qiáng)度為的均勻磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向與線圈磁矩的方向一致。若將線圈翻轉(zhuǎn)，求外力需要作的功解 作用于載流線圈的磁力矩為當(dāng)線圈轉(zhuǎn)過角度時(shí)，磁力矩所作的元功為磁通量為線圈轉(zhuǎn)過角度時(shí)，磁通量的改變?yōu)椋c相比較，得當(dāng)線圈磁矩與B的夾角由增至，穿過線圈的磁通量從變?yōu)闀r(shí)，其間磁力矩所做的功W為2-21 利用霍爾元件可以測量磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度，設(shè)一霍爾元件用金屬材料制成，其厚度為，載流子數(shù)密度為，將霍爾元件放入待測磁場中，測得霍爾電壓為，測得電流為。求此時(shí)待測磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解 霍爾電壓的經(jīng)驗(yàn)公式是從理論上可以證明因此將題中數(shù)據(jù)帶入，并令，可得2-22 載流子濃度是半導(dǎo)體

8、材料的重要參數(shù)，工藝上通過控制三價(jià)或五價(jià)摻雜原子的濃度，來控制p型半導(dǎo)體或n型半導(dǎo)體的載流子。利用霍爾效應(yīng)可以測量載流子的濃度和半導(dǎo)體類型。如圖所示一塊半導(dǎo)體材料樣品，均勻磁場垂直于樣品表面，樣品中通過的電流為，現(xiàn)測得霍爾電壓為。證明樣品載流子濃度為：。解 假定半導(dǎo)體是n型的，載流子是電荷為e的正電荷，它的速度v的方向與電流方向相同。當(dāng)樣品內(nèi)有垂直于電流方向的磁場時(shí)，載流子受到如圖所示方向的洛倫茲力，其大小為在這力的作用下，樣品中空穴分布不再均勻：在前表面附近濃度增大，而使前表面帶正電；在后表面附近濃度減小，而使后表面帶負(fù)電，在出現(xiàn)這種情況的同時(shí)，樣品內(nèi)必然會(huì)出現(xiàn)如圖所示的靜電場。電場強(qiáng)度E隨

9、著樣品前后兩表面附近空穴濃度差別越來越大而變得越來越強(qiáng)。顯然，當(dāng)出現(xiàn)電場時(shí)，空穴也會(huì)受到電場力作用，而這個(gè)作用力的方向是與方向相反的。是個(gè)恒力，隨著電場增強(qiáng)而增強(qiáng)，因此一定會(huì)出現(xiàn)這種情況。自此以后，空穴濃度分布穩(wěn)定了?？昭ㄊ艿降碾妶隽痛艌隽Ρ３制胶?，即，在樣品前后兩表面分別帶有正、負(fù)電荷，兩表面之間就出現(xiàn)電壓，這就是霍爾電壓。其大小為設(shè)樣品內(nèi)空穴濃度為n，樣品垂直于電流方向的截面積為S ，則電流將此方程代入可得由此可得2-23 如圖所示，半徑為的圓片均勻帶電，電荷面密度為，令圓片以角速度繞通過其中心且垂直于圓平面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)。求軸線上距圓片中心為處點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度和旋轉(zhuǎn)圓片的磁矩。解 旋轉(zhuǎn)帶電圓片

10、可等效為一組同心圓電流。在圓片上離開圓心r處取一寬度為的圓環(huán)，環(huán)上所帶等效電流為圓電流dI在圓片軸線上P點(diǎn)激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為整個(gè)旋轉(zhuǎn)帶電圓片在其軸線上P點(diǎn)激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為圓片的磁矩為2-24 如圖所示，一根長直同軸電纜，內(nèi)、外導(dǎo)體之間充滿磁介質(zhì)，磁介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率為，導(dǎo)體的磁化可以略去不計(jì)。電纜沿軸向有恒定電流通過，內(nèi)外導(dǎo)體上電流的方向相反。求空間各區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解 電流分布呈軸對稱，依照右手螺旋定則，磁感線是以電纜軸線為中心的一組同心圓。選取任一半徑為r的同心圓為積分路徑L，應(yīng)用磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定理當(dāng)時(shí)，所以忽略導(dǎo)體的磁化（即導(dǎo)體的相對磁導(dǎo)率），有當(dāng)時(shí)，所以填充的磁介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率為，有當(dāng)時(shí)，所以同樣忽略導(dǎo)體的磁化（），有當(dāng)時(shí)，,所以 2-25 環(huán)形螺線管共包含500匝線圈，平均周長為，當(dāng)線圈中的電流為時(shí)，用沖擊電流計(jì)測得介質(zhì)內(nèi)