遞推式求數列通項公式常見類型及解法

1、遞推式求數列通項公式常見類型及解法對于由遞推式所確定的數列通項公式問題，通?？赏ㄟ^對遞推式的變形轉化成 等差數列或等比數列，也可以通過構造把問題轉化。下面分類說明。一、型例1. 在數列an中，已知，求通項公式。解：已知遞推式化為，即，所以。將以上個式子相加，得。二、型例2. 求數列的通項公式。解：當，即當，所以。三、型例3. 在數列中，求。解法1：設，對比，得。于是，得，以3為公比的等比數列。所以有。解法2：又已知遞推式，得上述兩式相減，得，因此，數列是以為首項，以3為公比的等比數列。所以，所以。1.（2008陜西卷22）（本小題滿分14分）已知數列的首項，求的通項公式；，又，是以為首項，為公

2、比的等比數列，2.（2009陜西卷文）（本小題滿分12分）已知數列滿足， .令，證明：是等比數列； ()求的通項公式。（1）證當時，所以是以1為首項，為公比的等比數列。（2）解由（1）知當時，當時，。所以。四、型例4. 設數列，求通項公式。解：設，則，所以，即。設這時，所以。由于bn是以3為首項，以為公比的等比數列，所以有。由此得：。說明：通過引入一些尚待確定的系數轉化命題結構，經過變形與比較，把問題轉化成基本數列（等差或等比數列）。1. 在數列中，（）證明數列是等比數列；（）求數列的前項和；（）證明不等式，對任意皆成立本小題以數列的遞推關系式為載體，主要考查等比數列的概念、等比數列的通項公式

3、及前項和公式、不等式的證明等基礎知識，考查運算能力和推理論證能力滿分12分（）證明：由題設，得，又，所以數列是首項為，且公比為的等比數列（）解：由（）可知，于是數列的通項公式為所以數列的前項和（）證明：對任意的，所以不等式，對任意皆成立2.設數列的首項（1）求的通項公式；（2）設，證明，其中為正整數解：（1）由整理得又，所以是首項為，公比為的等比數列，得（2）方法一：由（1）可知，故那么， 又由（1）知且，故，因此為正整數五、型例5. 已知b0，b±1，寫出用n和b表示an的通項公式。解：將已知遞推式兩邊乘以，得，又設，于是，原遞推式化為，仿類型三，可解得，故。說明：對于遞推式，可兩

4、邊除以，得，引入輔助數列，然后可歸結為類型三。1.（2009全國卷理）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）在數列中， （I）設，求數列的通項公式 （II）求數列的前項和分析：（I）由已知有 利用累差迭加即可求出數列的通項公式: ()（II）由（I）知,=而,又是一個典型的錯位相減法模型，易得 =評析：09年高考理科數學全國(一)試題將數列題前置,考查構造新數列和利用錯位相減法求前n項和，一改往年的將數列結合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎知識、基本方法基本技能,重視兩綱的導向作用。也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心。2. 在數列中

5、，其中（）求數列的通項公式；（）求數列的前項和；（）證明存在，使得對任意均成立本小題以數列的遞推關系式為載體，主要考查等比數列的前項和公式、數列求和、不等式的證明等基礎知識與基本方法，考查歸納、推理、運算及靈活運用數學知識分析問題和解決問題的能力滿分14分（）解法一：，由此可猜想出數列的通項公式為以下用數學歸納法證明（1）當時，等式成立（2）假設當時等式成立，即，那么這就是說，當時等式也成立根據（1）和（2）可知，等式對任何都成立解法二：由，可得，所以為等差數列，其公差為1，首項為0，故，所以數列的通項公式為（）解：設，當時，式減去式，得，這時數列的前項和當時，這時數列的前項和（）證明：通過分

6、析，推測數列的第一項最大，下面證明：由知，要使式成立，只要，因為所以式成立因此，存在，使得對任意均成立六、型例6. 已知數列，求。解：在兩邊減去。所以為首項，以。所以令上式，再把這個等式累加，得。所以 。說明：可以變形為，就是，則可從，解得，于是是公比為的等比數列，這樣就轉化為前面的類型五。等差、等比數列是兩類最基本的數列，是數列部分的重點，自然也是高考考查的熱點，而考查的目的在于測試靈活運用知識的能力，這個“靈活”往往集中在“轉化”的水平上。轉化的目的是化陌生為熟悉，當然首先是等差、等比數列，根據不同的遞推公式，采用相應的變形手段，達到轉化的目的。1. 設a1=1,a2=,an+2=an+1

7、-an (n=1,2,-),令bn=an+1-an (n=1,2-)（1） 求數列bn的通項公式，(2)求數列nan的前n項的和Sn。2數列中，且滿足 求數列的通項公式；設，求；設=，是否存在最大的整數，使得對任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。解：（1）由題意，為等差數列，設公差為，由題意得，.（2）若，時，故 （3）若對任意成立，即對任意成立，的最小值是，的最大整數值是7。即存在最大整數使對任意，均有說明：本例復習數列通項，數列求和以及有關數列與不等式的綜合問題。3.（2009全國卷理）（本小題滿分12分）設數列的前項和為 已知（I）設，證明數列是等比數列 （II）求數

8、列的通項公式。解：（I）由及，有由， 則當時，有得又，是首項，公比為的等比數列（II）由（I）可得，數列是首項為，公差為的等比數列， 評析：第（I）問思路明確，只需利用已知條件尋找第（II）問中由（I）易得，這個遞推式明顯是一個構造新數列的模型：，主要的處理手段是兩邊除以總體來說，09年高考理科數學全國I、這兩套試題都將數列題前置,主要考查構造新數列（全國I還考查了利用錯位相減法求前n項和的方法），一改往年的將數列結合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎知識、基本方法基本技能,重視兩綱的導向作用。也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心。例7Sn 法：

9、例8：設數列滿足，（）求數列的通項；（）設，求數列的前項和(I)驗證時也滿足上式，(II) ， ， 1已知數列中，是其前項和，并且，設數列，求證：數列是等比數列；設數列，求證：數列是等差數列；求數列的通項公式及前項和。分析：由于b和c中的項都和a中的項有關，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入點探索解題的途徑解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根據b的構造，如何把該式表示成b與b的關系是證明的關鍵，注意加強恒等變形能力的訓練)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，數列b是首項為3，公比為2的等比數列，故b=3·2當n2時，S=4a+2=2(3n-4)+2；當n=1時，S=a=1也適合上