霓虹的成因(簡(jiǎn)體字)

1、霓虹的成因虹：太陽(yáng)光從水滴的頂部射入，經(jīng)兩次折射和一次反射后射出，發(fā)散成七彩的各色光，其中紅光偏向角最小，紫光最大。紅光的仰角約42°，在外側(cè)；紫光的仰角約40°，在內(nèi)側(cè)。霓：在虹的外圍，但亮度較弱，與虹成因相似，不同處在于太陽(yáng)光是從水滴的底部射入，而虹是從水滴的頂部射入。太陽(yáng)光從水滴的底部射入，經(jīng)兩次折射和兩次反射后射出，發(fā)散成各色光。內(nèi)紅外紫，恰好與虹的顏色排列相反。呵呵，再問(wèn)一個(gè)似乎理所當(dāng)然的問(wèn)題彩虹為什么是圓的？雨后經(jīng)?？梢钥吹降牟屎纾且?yàn)榭罩酗h浮的小水滴就像一個(gè)個(gè)的球形透鏡，陽(yáng)光射入水滴后，經(jīng)過(guò)折射、反射再折射出來(lái)，進(jìn)到我們的眼睛。本來(lái)的白光進(jìn)入水滴后，會(huì)像牛頓

2、的三棱鏡實(shí)驗(yàn)一樣，因?yàn)檎凵涠殖刹煌纳?，所以彩虹才有不同的顏色。但是如果空氣中布滿(mǎn)水滴，為什么我們只看到一道彩虹，而不是到處都有彩虹呢？這是因?yàn)楣饩€(xiàn)入射水珠的位置，只有一個(gè)角度會(huì)讓折射出的光線(xiàn)強(qiáng)度最大（見(jiàn)圖A）這就是解讀彩虹現(xiàn)象的最基本原理：入射光和眼睛見(jiàn)到色光的視線(xiàn)間有一個(gè)固定的夾角。因此，并不是只有空中某些特別的水珠會(huì)產(chǎn)生彩虹，而是只有在特定角度的水珠所折射出來(lái)的色光才能進(jìn)到我們的眼睛。這個(gè)角度和不同色光的折射率有關(guān)，例如紅光的折射率較小，夾角較大（約42°13）；反之，紫光折射率小，夾角就較小（約40°30），這就造成紅色在上、紫色在下的彩虹。因?yàn)殛?yáng)光是平行入射，

3、由上述原理和并行線(xiàn)同位角相等的定理，進(jìn)到眼中的色光會(huì)因?yàn)榭諝庵械乃閷雍穸鹊脑黾佣訌?qiáng)，這就是為什么大雨后的彩虹較清楚、小雨后的較淡薄的原因。由于基本原理中固定夾角的限制，當(dāng)太陽(yáng)在我們頭上時(shí)（例如正午），折射的光線(xiàn)進(jìn)不到眼睛，所以看不到彩虹。必須到約下午4點(diǎn)以后，彩虹才會(huì)在山巒或城市的天際在線(xiàn)出現(xiàn)，而且隨著時(shí)間越接近傍晚，彩虹的位置會(huì)越高，這也是基本原理的應(yīng)用。根據(jù)同樣的原理，考慮以通過(guò)眼睛平行于入射陽(yáng)光之直線(xiàn)為轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)在你眼中造成彩虹的入射光線(xiàn)，這時(shí)進(jìn)到你眼睛的折射色光，會(huì)轉(zhuǎn)出一個(gè)圓錐面。如果入射光不平行于地面（例如下午4點(diǎn)時(shí)），這個(gè)圓錐面投射到我們眼里，看起來(lái)只是一段短圓弧。但是到了傍晚

4、陽(yáng)光平行于地面時(shí)，我們眼中的彩虹，就幾乎是正半圓圖B（見(jiàn)圖B）。關(guān)于如何利用微積分推導(dǎo)彩虹基本原理，可參看下述網(wǎng)頁(yè)：.tw/articles/mm/mm_13_2_15/index.html。（已經(jīng)摘錄在本文檔彩虹中的數(shù)學(xué)請(qǐng)繼續(xù)往下看）大家記憶里最深刻、最令人贊嘆的彩虹，都發(fā)生在大雨后的傍晚，顏色分明的一道彩虹，圓圓高掛在天邊，從一座山跨到另一座山。看過(guò)上面的說(shuō)明，讀者應(yīng)該能夠自行解釋了吧。彩虹是非常有趣的哲學(xué)對(duì)象，既不真的存在于外界，也不只是人類(lèi)心靈的想象，它是主客互動(dòng)的產(chǎn)物。下次和友人看到彩虹時(shí)，請(qǐng)記得你們共享的是空靈大氣、好風(fēng)好雨；至于彩

5、虹，是無(wú)法共享的。和友人看到彩虹時(shí)，請(qǐng)記得你們共享的是空靈大氣、好風(fēng)好雨 學(xué)習(xí)科學(xué)，心情也可以很美呢！彩虹中的數(shù)學(xué)作者：Joe Dan Austin；F. Barry Dunning翻譯：怡萱你可曾想過(guò)彩虹是怎么來(lái)的？為什么它的內(nèi)側(cè)比外側(cè)亮呢？為什么有時(shí)會(huì)出現(xiàn)兩條呢？這些問(wèn)題的答案涉及了光學(xué)、幾何、三角以及微積分，這篇文章將介紹一些有關(guān)的光學(xué)和數(shù)學(xué)。反射律和折射律彩虹是由于陽(yáng)光在水珠中折射和反射所造成的。圖1表示光線(xiàn)射入空氣和水的交界處的情形，有些光線(xiàn)被反射，有些被折射，而產(chǎn)生反射線(xiàn)和折射線(xiàn)，這些光線(xiàn)都遵守下面這些光學(xué)基本原則：圖1l 入射線(xiàn)、反射線(xiàn)、折射線(xiàn)和法線(xiàn)在同一平面上。l 入射角i等于

6、反射角r（反射律）。l 入射角i和折射角r有下面的關(guān)系： sin in sin t其中n是水的折射率（折射律）。介質(zhì)的折射率是光在真空中的速度和在介質(zhì)中的速度之比；我們假設(shè)空氣的折射率為1，Hecht和Zajac曾證明光線(xiàn)遇到界面時(shí)，反射或穿過(guò)的量之比值，決定于i和入射光的偏旋光性（參考），事實(shí)上彩虹是有偏旋光性的（參考）。水珠里的反射在談水珠反射之前，我們假設(shè)：l 水珠是球形的。l 光速極快，光線(xiàn)在水珠內(nèi)的時(shí)間可以不計(jì)。l 太陽(yáng)光互相平行。最基本的彩虹是在水珠中，經(jīng)過(guò)一次反射形成的（見(jiàn)圖2），試想光線(xiàn)由P點(diǎn)射入水珠，入射角為i。P點(diǎn)（或水珠面上任一點(diǎn)）的法線(xiàn)，通過(guò)球心O。折射線(xiàn)的折射角為t在

7、Q點(diǎn)被反射，反射線(xiàn)又在R點(diǎn)遇到水珠面，而穿出水珠面，產(chǎn)生一條折射線(xiàn)，這折射線(xiàn)比原來(lái)的的入射線(xiàn)弱，因?yàn)槊看喂饩€(xiàn)遇到接口時(shí)，都有一部份反射，另一些折射（見(jiàn)圖3）。圖2圖3在P點(diǎn)的入射線(xiàn)和R點(diǎn)的折射線(xiàn)間的夾角，可以應(yīng)用反射律、折射律及幾何學(xué)來(lái)求它，由水珠的球心O作PQO和RQO（見(jiàn)圖2），它們都是等腰三角形，因?yàn)镺P，OQ和OR都是球半徑，又根據(jù)反射律，PQORQO，所以?xún)蓚€(gè)三角形全等。其中頂點(diǎn)在球上的角就都等于t，如果延長(zhǎng)入射線(xiàn)和最后的折射線(xiàn)，交于S，則其夾角就等于2(2ti)這夾角和半徑（水珠的大?。o(wú)關(guān)?，F(xiàn)在假如有一束平行的太陽(yáng)光，由水球上的不同點(diǎn)射入水珠，入射角當(dāng)然也不同。根據(jù)反射律和折射律

8、， 它們的路徑可以圖4表示。經(jīng)過(guò)球心的入射線(xiàn)，反射后還是它自己，而形成一條軸，由軸上方射入的光線(xiàn)，射出時(shí)在軸下方，但是并不是每個(gè)角度的反射線(xiàn)都能折射出去，入射線(xiàn)和最后的折射線(xiàn)的夾角有個(gè)最大值max。圖4 顯示接近角max的反射線(xiàn)有集中的趨勢(shì)，于是在這個(gè)角附近造成特別強(qiáng)的反射光，就是這些集中的反射線(xiàn)造成了彩虹。圖4為了求max，我們讓對(duì)i的微分為0別忘了i也是j的函數(shù)，所以當(dāng)max時(shí)，420或把對(duì)i微分，得到cos in(cos t)將代入，然后平方得到4cos²in²cos²t利用cos²t1sin²t1產(chǎn)生了4cos²in²

9、;sin²i以1cos²i代替sin²i然后化簡(jiǎn)成3cos²i1n²解cos i，得max時(shí)，cos i由此式，用我們下一節(jié)的算法，可以算出n和max許多水珠的反射圖5中觀(guān)察者在O點(diǎn)觀(guān)看雨中的水珠，經(jīng)過(guò)1號(hào)水珠反射的光線(xiàn)，必須偏了角，才能到達(dá)O點(diǎn)，而且得小于或等于max，也就是陽(yáng)光必須以小于max的角射入。只有當(dāng)太陽(yáng)在你的后方較低的天空，彩虹才可能出現(xiàn)，如果max，所有經(jīng)水珠反射的光線(xiàn)就比較高，無(wú)法在地面上看見(jiàn)了，不過(guò)可以從飛機(jī)上看到。由其他水珠反射的光線(xiàn)，必須經(jīng)過(guò)的反射角，愈來(lái)愈大，直到nmax。到這時(shí)，就產(chǎn)生了一個(gè)很明顯的界線(xiàn)，因?yàn)槠渌乃?/p>

10、珠無(wú)法把光線(xiàn)反射到O點(diǎn)，以經(jīng)過(guò)O點(diǎn)的入射陽(yáng)光為軸，把這圖繞軸旋轉(zhuǎn)，保持所有角不變。所以在角max附近的強(qiáng)反射光，在觀(guān)察者看來(lái)像天空中有一條耀眼的圓弧，它有個(gè)很明顯的外緣（在max時(shí)），而內(nèi)側(cè)則較淡。圖5畫(huà)的是一列水珠反射的情形，隨意排列的水珠也產(chǎn)生同樣的明顯的圓弧，因?yàn)橹饕P(guān)鍵在觀(guān)察者和水珠之間的角度，而非距離。圖5顏色前面的討論，只說(shuō)明了陽(yáng)光反射后形成了一條特別亮的圓弧，卻沒(méi)解釋為什么虹是彩色的。彩虹有顏色是因?yàn)殛?yáng)光是由不同顏色（由紅到紫）的光線(xiàn)組成的，更由于不同顏色的光線(xiàn)在水中的速度不同，于是它們的折射率也就不同這是所謂色散。紅光的折射率n1.332，紫光的 n1.344，把n1.332代

11、入，為最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的入射角i必須有cos i0.5080。所以i59°28。于是sin i0.8614，利用折射律（式），得到sin t0.6467t40°17由：max2(2ti)42°13用類(lèi)似的方法，可以求n1.344時(shí)的max40°30，其他角則介于兩者之間，于是由不同顏色產(chǎn)生的最亮的圓弧，每條稍微移動(dòng)些，就成了一列圓弧彩虹！更由于紅色的max值比紫色的大，由O點(diǎn)看來(lái)，紅色圓弧在天空中的位置較高，成了彩虹的外圈，紅色和紫色的max值之差，1°43就是彩虹的寬。虹與霓到目前為止，我們只考慮了光線(xiàn)在水珠中反射一次的情形。不過(guò)，光線(xiàn)也可能經(jīng)過(guò)

12、數(shù)次反射后，才離開(kāi)水珠。圖6顯示的是經(jīng)過(guò)兩次和三次反射的情形，要算出多次反射時(shí)，入射光線(xiàn)和最后射出的光線(xiàn)間之夾角，并不困難（見(jiàn)圖6）。入射光線(xiàn)經(jīng)過(guò)一次折射后，角度偏了it，用圖2所用的類(lèi)似證法，在水珠內(nèi)的所有反射角度最都是t，所以每次反射都使光線(xiàn)偏了180°2t。由于光線(xiàn)進(jìn)出水珠時(shí)，各經(jīng)過(guò)一次折射，所以角度總共偏離的度數(shù)D是：D2(it)N(180°2t)圖6其中N為反射的次數(shù)，你可以用D180°代入來(lái)檢查N1的情況。對(duì)每個(gè)N值，反射光線(xiàn)還是只在有限的角度內(nèi)。當(dāng)最大值或最小值時(shí)2(1)2N()0而且將代入然后平方，得到(1N)²cos²in&#

13、178;cos²t把cos²t1sin²t1sin²i/n²代入，得到(1N)²cos²in²sin²i解cos i，得到DDext時(shí)(D的極大或極小值)的cos i：cos i讓式中N1和式比較一下。對(duì)每個(gè)N，反射光線(xiàn)的角度在極值Dext附近比較集中，這現(xiàn)象加上n值對(duì)顏色的影響，造成了另一條彩虹（霓）。對(duì)于兩次反射后產(chǎn)生的霓，N2，Dext232°，如圖6知入射光線(xiàn)和出來(lái)的光線(xiàn)所夾角為D180°，所以為52°因此第二條彩虹（霓）比第一條更高，由于每次反射都失去了些光線(xiàn)，所以

14、第二條較暗，此時(shí)在數(shù)學(xué)上可以證明（詳情可參閱附錄）在Dext時(shí)，不是最大而是最小角。所以第二條彩虹的內(nèi)圈較亮，而且分別計(jì)算紅到紫的Dext發(fā)現(xiàn)第二條的顏色次序是倒過(guò)來(lái)的。第三條彩虹，N3，Dext319°，139°，如果有第三條出現(xiàn)，它必定在太陽(yáng)附近！N更大時(shí)，反射過(guò)程中光線(xiàn)損失太多，除非在實(shí)驗(yàn)室中，否則沒(méi)法看到。歷史許多有名的數(shù)學(xué)家都曾試圖解釋彩虹的秘密，解析幾何的創(chuàng)始人笛卡兒在1637年發(fā)表了折射律；（Snell 在1621年最先發(fā)現(xiàn)這定律，不過(guò)他未曾發(fā)表他的結(jié)果），笛卡兒畫(huà)了個(gè)圖（類(lèi)似圖4），他發(fā)現(xiàn)陽(yáng)光和彩虹的夾角約在41到42度之間，他沒(méi)法解釋顏色微積分的創(chuàng)始人牛頓

15、，用棱鏡證明了白光是由不同顏色的光合成的，1704年他發(fā)表了他的結(jié)果，他指出折射率決定于光的顏色，并解釋了彩虹的成因，到1700年因發(fā)現(xiàn)哈雷慧星而成名的哈雷，才第一個(gè)求出出現(xiàn)在太陽(yáng)附近的第三條彩虹的角度，原來(lái)大家都找錯(cuò)方向了！附錄如果入射光線(xiàn)，與平行它且過(guò)水珠中心的軸之間的垂直距離為x從與x之間密切的關(guān)系，可以顯示出在所謂彩虹角max附近的角，其反射光線(xiàn)集中的情形（見(jiàn)圖7）。入射角為isin1 (A1)其中R為水珠半徑。由式tsin1 ()sin1 (A2)考慮在水珠中反射一次的情況。由方程式得到2(2sin1 sin1 )(A3)圖7將此關(guān)系在圖7中描出0xR的部份。用一般常用的水折射率n1.336。的極大值顯然在 41°附近。x值在某一范圍的入射光線(xiàn)，其值都集中在極大值附近，使得這個(gè)角度特別亮。而霓（經(jīng)兩次反射）：D180°180°2(3ti)(A4)用和前面圖2類(lèi)似的方法，可證出(A4)，不妨作為練習(xí)。用(A1)、(A2)可以得出180°2(3sin1 sin1 )(A5)把這些角描出（在圖7中），可以看出有極小值。圖7也顯示很少反射光線(xiàn)的值在41°和52°之間。所以在虹和霓之間的天空滿(mǎn)暗的，稱(chēng)為亞歷山大黑暗帶。1Boyer, Carl B.: The Rainbow, New York: S