數(shù)列求通項公式的常見題型與解題方法(1)

1、.數(shù)列求通項公式的常見題型與解題方法（1）題型1 已知數(shù)列前幾項求通項公式此題主要通過學生觀察、試驗、合情推理等活動，且在此基礎上進一步通過比較、分析、概括、證明去揭示事物的本質(zhì)，從而培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力相對于填空題或是選擇題只需利用不完全歸納法進行猜想即可；對于解答題，往往還需要我們進一步加以證明1. 在某報自測健康狀況的報道中，自測血壓結果與相應年齡的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表 觀察表中數(shù)據(jù)的特點，用適當?shù)臄?shù)填入表中空白（ ）內(nèi)年齡（歲）30 35 40 45 50 55 60 65收縮壓（水銀柱 毫米）110 115 120 125 130 135 （140）145舒張壓（水銀柱 毫米）70 73

2、75 78 80 83 （ 85）88。2. 根據(jù)下列5個圖形及相應點的個數(shù)的變化規(guī)律，猜測第個圖中有_n2-n+1_個點（1） （2） （3） （4） （5）3. （2006年廣東卷）在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個球；第堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放一個乒乓球，以表示第堆的乒乓球總數(shù)，則；（答案用表示）. 題型2 由an與Sn的關系求通項公式4. 已知數(shù)列的前項和，則 n 5. 已知數(shù)列的前項和，則 這類題目主要注意與之間關系的

3、轉(zhuǎn)化即：= 一般已知條件中含an與Sn的關系的數(shù)列題均可考慮用上述公式點評：利用公式求解時，要注意對n分類討論，但若能合寫時一定要合并6. （04年浙江）設數(shù)列an的前項的和Sn=（an-1） (n)()求a1；a2； ()求證數(shù)列an為等比數(shù)列解: ()由,得 又,即,得. ()當n>1時, 得所以是首項,公比為的等比數(shù)列題型3定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適應于已知數(shù)列類型的題目 已知數(shù)列遞推公式求通項公式7. 已知數(shù)列的首項，且，則 3n-2 8. 已知數(shù)列的首項，且，則 9. 等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項和為，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式解：

4、設數(shù)列公差為成等比數(shù)列，即，得，由得：，點評：利用定義法求數(shù)列通項時要注意不用錯定義，設法求出首項與公差（公比）后再寫出通項。題型4、由等差，等比演化而來的“差型”，“商型”遞推關系數(shù)列中，求的通項公式 變式1：數(shù)列中，求的通項公式 變式2：數(shù)列中，求的通項公式 類型1 遞推公式為解法：分析：等差數(shù)列：生成：，累加： =由此推廣成差型遞推關系：累加：= ，于是只要可以求和就行解題的基本思路就是構造出某個數(shù)列的相鄰兩項之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項公式.把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。10. 數(shù)列中，求的通項公式 11. 數(shù)列中，求的通項公式 12. 數(shù)列中，求

5、的通項公式 13. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由得則所以數(shù)列的通項公式為。評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉(zhuǎn)化為，進而求出，即得數(shù)列的通項公式。14. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由得則所以評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉(zhuǎn)化為，進而求出，即得數(shù)列的通項公式。15. 已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個等式累加之，即所以，16. 設是首項為1的正項數(shù)列，且，（nN*），求數(shù)列的通項公式an.解：由題設得.，. 類型2 （1）遞推公式為解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。題組二、已知數(shù)列的首項，且，則 變式1：已知數(shù)列的首項，且，則 分析

6、：等比數(shù)列：生成：，累乘：=由此推廣成商型遞推關系：累乘：累乘法構造數(shù)列相鄰兩項的商式，然后連乘也是求數(shù)列通項公式的一種簡單方法.17. 數(shù)列中，前n項的和，求.解： ，對形如的數(shù)列的通項，可用累乘法，即令n=2，3，n1得到n1個式子累乘求得通項。例5已知數(shù)列中，前項和與的關系是，求通項公式解：由得兩式相減得：，將上面n1個等式相乘得：點評：累乘法是反復利用遞推關系得到n1個式子累乘求出通項，這種方法最終轉(zhuǎn)化為求f(n)的前n1項的積，要注意求積的技巧18. （2004年全國I第15題，原題是填空題）已知數(shù)列滿足，求的通項公式。解：因為所以用式式得則故為商型的，用累乘法可得所以由，則，又知，

7、則，代入得。所以，的通項公式為（2004年全國卷）已知數(shù)列an，滿足a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n1)an1(n2)，則an的通項 分析：由已知，由 生成兩式相減得，即即評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉(zhuǎn)化為，進而求出，從而可得當?shù)谋磉_式，最后再求出數(shù)列的通項公式。19. 已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘即又，（2）由和確定的遞推數(shù)列的通項可如下求得：由已知遞推式有， ，依次向前代入，得，簡記為 ，這就是疊（迭）代法的基本模式。20. 數(shù)列是首項為1的正項數(shù)列，且，求的通項公式數(shù)列求通項公式的常見題型與解題方法（1）題型1 已知數(shù)列前幾項求通項公式此題

8、主要通過學生觀察、試驗、合情推理等活動，且在此基礎上進一步通過比較、分析、概括、證明去揭示事物的本質(zhì)，從而培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力相對于填空題或是選擇題只需利用不完全歸納法進行猜想即可；對于解答題，往往還需要我們進一步加以證明1. 在某報自測健康狀況的報道中，自測血壓結果與相應年齡的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表 觀察表中數(shù)據(jù)的特點，用適當?shù)臄?shù)填入表中空白（ ）內(nèi)年齡（歲）30 35 40 45 50 55 60 65收縮壓（水銀柱 毫米）110 115 120 125 130 135 （ ）145舒張壓（水銀柱 毫米）70 73 75 78 80 83 （ ）88。2. 根據(jù)下列5個圖形及相應點的個數(shù)的變化規(guī)律

9、，猜測第個圖中有_個點（1） （2） （3） （4） （5）3. （2006年廣東卷）在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個球；第堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放一個乒乓球，以表示第堆的乒乓球總數(shù)，則f(3)=_；f(n)=_ （答案用表示）. 題型2 由an與Sn的關系求通項公式4. 已知數(shù)列的前項和，則 5. 已知數(shù)列的前項和，則 這類題目主要注意與之間關系的轉(zhuǎn)化即：= 一般已知條件中含an與Sn的關系的數(shù)列題均可考慮用上述公式點評：利

10、用公式求解時，要注意對n分類討論，但若能合寫時一定要合并6. （04年浙江）設數(shù)列an的前項的和Sn=（an-1） (n)()求a1；a2； ()求證數(shù)列an為等比數(shù)列題型3定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適應于已知數(shù)列類型的題目 已知數(shù)列遞推公式求通項公式7. 已知數(shù)列的首項，且，則 8. 已知數(shù)列的首項，且，則 9. 等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項和為，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式題型4、由等差，等比演化而來的“差型”，“商型”遞推關系數(shù)列中，求的通項公式 變式1：數(shù)列中，求的通項公式 變式2：數(shù)列中，求的通項公式 類型1 遞推公式為分析：等差數(shù)列：生成：

11、，累加： =由此推廣成差型遞推關系：累加：于是只要可以求和就行累加法解題的基本思路就是把原遞推公式轉(zhuǎn)化構造出某個數(shù)列的相鄰兩項之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項公式.10. 數(shù)列中，求的通項公式 11. 數(shù)列中，求的通項公式 12. 數(shù)列中，求的通項公式 13. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。14. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。15. 已知數(shù)列滿足，求。16. 設是首項為1的正項數(shù)列，且，（nN*），求數(shù)列的通項公式an.數(shù)列求通項公式的常見題型與解題方法（2）題組二、已知數(shù)列的首項，且，則 變式1：已知數(shù)列的首項，且，則 類型2 （1）遞推公式為分析：等比數(shù)列：生成：，累乘：=由此推廣成商型遞推關系：累乘：累乘法構造數(shù)列相鄰兩項的商式，然