2.4群的直積[青松學(xué)堂]

1、2. 4 群的直積群的直積 (2.4 Direct Product of Group)2.4.1 群的外直積群的外直積(External Direct Product of Group)定義定義:設(shè)設(shè)G1，G2是兩個(gè)群，是兩個(gè)群，G1G2=(a，b)|aG1，bG2，在在G1G2中定義二元運(yùn)算為乘法中定義二元運(yùn)算為乘法:(a1，b1)(a2，b2)=(a1a2，b1b2)，則則G1G2關(guān)于這種乘法構(gòu)成群，稱關(guān)于這種乘法構(gòu)成群，稱G1G2是是G1和和G2的外直積，簡稱直積。的外直積，簡稱直積。 更一般地，設(shè)更一般地，設(shè)G1，G2，Gn是群，考慮是群，考慮G=G1G2Gn=(a1,a2,an)|a

2、iGi, 1in，1學(xué)堂A定義二元運(yùn)算為乘法定義二元運(yùn)算為乘法(a1,a2,an)(b1,b2,bn)=(a1b1,a2b2,anbn)，則則G關(guān)于乘法構(gòu)成群，關(guān)于乘法構(gòu)成群，G=G1G2Gn為為群群G1，G2，Gn的外直積的外直積。 特別地，如果特別地，如果Gi中的二元運(yùn)算都采用中的二元運(yùn)算都采用“+”，則稱直，則稱直積積為為直和直和，記做，記做:G=G1 G2 Gn注注1. 設(shè)設(shè)e1，e2 分別是分別是G1，G2的單位元?jiǎng)t的單位元?jiǎng)t(e1，e2)是是G1G2的單位元；的單位元；注注2. 設(shè)設(shè) (a，b) G1G2 ，aG1，bG2 ，則，則 (a，b)-1= (a-1 ，b-1) 。注注3

3、. 當(dāng)當(dāng)G1，G2是加群時(shí)，外直積常記為是加群時(shí)，外直積常記為G=G1 G2 2學(xué)堂A例例1. 設(shè)設(shè)G1=(Z，+)，G2=(Z/(6)，+)，則，則G1 G2 是一個(gè)是一個(gè)無限群，單位元為無限群，單位元為0=(0， )， (3， )+(5， )=(8， )，任一元都是無限階元。，任一元都是無限階元。 例例a=(1， )，則，則 kN，ka=(k， )0。例例2. 設(shè)設(shè)G=e，a是二階循環(huán)群，則是二階循環(huán)群，則GG含有含有4個(gè)元，個(gè)元，即即GG=(e，e)，(e，a)，(a，e)，(a，a)由于由于 (e，a)(e，a)=(e，e)， (a，e)(a，e)=(e，e)， (a，a)(a，a)=

4、(e，e)， 故故GG與與Klein四元群同構(gòu)四元群同構(gòu), GG K4 。047533k3學(xué)堂A2.4.2 群的直積的性質(zhì)群的直積的性質(zhì)(Property of Direct Product of Group)定理定理1 1 設(shè)設(shè)G = =G1G2，則，則 G是有限群的充要條件是是有限群的充要條件是G1，G2都是有限群都是有限群.而且而且當(dāng)當(dāng)G有限時(shí)，有限時(shí)， |G | = = | G1| | G2 |； G是交換群的充要條件是是交換群的充要條件是G1，G2都是交換都是交換群；群； G1G2 = =G2G1 .定理定理2 2 設(shè)設(shè)a, b分別是分別是G1, G2的的有限階元素，則對(duì)有限階元素，

5、則對(duì) (a, b) G1G2，有有(a, b)= (a), ( b).定理定理3 3 設(shè)設(shè)G1，G2分別是分別是m, n階循環(huán)群，則階循環(huán)群，則G1G2是循是循環(huán)群的充要條件是環(huán)群的充要條件是(m, n)=1.4學(xué)堂A2.4.3 群的直積分解群的直積分解(Direct Product Resolving of Group)一般情況下，一個(gè)群能否表示一般情況下，一個(gè)群能否表示(分解分解)為兩個(gè)群的直為兩個(gè)群的直積呢積呢?定理定理1 設(shè)設(shè)G是群，是群，A，B是是G的兩個(gè)子群，滿足的兩個(gè)子群，滿足: (1) A，B是是G的不變子群，的不變子群，A,B G; (2) G=AB ; (3) AB=e.則

6、則G AB.5學(xué)堂A 證明證明:由由(2)可將可將G表示為表示為 G = ab | aA，bB，而而 AB= (a, b) | aA，bB作映射作映射 f: GAB， ab(a,b) a1b1=a2b2 a1-1a2=b1b2-1AB a1-1a2=b1b2-1=e a1=a2，b1=b2， f 是映射且為是映射且為單射單射，f 也是也是滿射滿射。 x1=a1b1，x2=a2b2G，由，由(1)(2)及正規(guī)子群及正規(guī)子群的性質(zhì)，的性質(zhì)，A和和B的元素可交換，故有的元素可交換，故有 f(x1x2)=f(a1b1a2b2)=f(a1a2b1b2)=(a1a2，b1b2) = (a1, b1) (a

7、2, b2) = f(x1)f(x2) 保運(yùn)算保運(yùn)算G AB6學(xué)堂A推論推論: 設(shè)群設(shè)群G有有n個(gè)個(gè)不變子群不變子群Gi G ，i=1，2，n，使使G的每一元均可的每一元均可唯一地表示唯一地表示為為G1，G2，Gn的的元的積，則元的積，則G G1G2Gn。注注:推論中的推論中的兩個(gè)條件兩個(gè)條件 (1) G1，G2，Gn是是G的不變子群的不變子群; (2) G的每一元均可唯一地表示的每一元均可唯一地表示G1, G2，Gn的元的積，的元的積，等價(jià)于以下三個(gè)條件等價(jià)于以下三個(gè)條件: (1) G=G1G2Gn (2) (3) aiGi，ajGj，ij，有，有aiaj=ajai1 nijjjiGGe7學(xué)

8、堂A 更一般地，我們有更一般地，我們有定理定理2. G G1G2Gn Gi G, i=1,2,n, 使使Gi Gi，且，且(1) G=G1 G2 Gn =a1 a2an |ai Gi ，1in(2) Gi (G1 Gi-1 Gi+1 Gn)=e， i=1,2,n, 推論推論: G G1G2Gn Gi G， i=1,2,n, 使使 Gi G，且，且(1) aG，a=a1 a2 an ，ai Gi 唯一表示唯一表示(2) ai Gi ，aj Gj ，ij ai aj = aj ai8學(xué)堂A2.4.4 群的內(nèi)直積群的內(nèi)直積(Internal Direct Product of Group)定義定義:

9、設(shè)設(shè)G1，G2是群是群G的兩個(gè)正規(guī)子群，滿足條件的兩個(gè)正規(guī)子群，滿足條件G=G1G2，G1G2=e，則則稱稱G是是G1和和G2的內(nèi)直積。的內(nèi)直積。定理定理1設(shè)設(shè)G1，G2是群是群G的兩個(gè)子群，則的兩個(gè)子群，則G是是G1和和G2的內(nèi)直的內(nèi)直積積的充要條件是的充要條件是G滿足下列條件滿足下列條件群群G中的每個(gè)元素都可唯一地表示成中的每個(gè)元素都可唯一地表示成hk的形式，其中的形式，其中 h G1， k G2 ;群群G1中的每個(gè)元素與群中的每個(gè)元素與群G2中的任意元素可交換，中的任意元素可交換， hk = kh.定理定理2設(shè)設(shè)G是正規(guī)子群是正規(guī)子群G1，G2的的內(nèi)直積內(nèi)直積，則，則G G1G2；反之反

10、之,若若G = =G1G2，則存在，則存在群群G的兩個(gè)正規(guī)子群的兩個(gè)正規(guī)子群G1，G2，且，且Gi與與Gi同構(gòu)，使得同構(gòu)，使得G是是G1與與G2的的的的內(nèi)直積。內(nèi)直積。9學(xué)堂A2.4.5 群分解為不可分解子群的直積群分解為不可分解子群的直積(Group being Resolved Direct Product of Unresolved Subgroup)定義定義: 設(shè)設(shè)G=G1G2Gn，其中，其中Gi G，1in，映射映射 fi : GG fi (x) = xi , x=x1x2xixnG，xiGi 而且而且 fi 具有如下性質(zhì)具有如下性質(zhì): (1) fi 是是G的的自同態(tài)自同態(tài): fi

11、(xy)=fi (x) fi (y); (2) fi 是是冪等的冪等的: fi2 = fi ; (3) fi 是是正交的正交的: 對(duì)對(duì) xG，則，則 ij 有有 fi fj =0 (4) fi 是是正規(guī)的正規(guī)的: 任意自同構(gòu)任意自同構(gòu)Ca，有，有 fi Ca= Ca fi。則稱則稱 fi 為為G的的投影投影.10學(xué)堂A注注. 兩個(gè)投影兩個(gè)投影 fi，fj 稱為稱為正交的正交的，若，若fi fj =0，f1，fn 稱為稱為正交投影組正交投影組，若，若ij 有有fi fj =0定義定義:群群G叫做叫做可分解可分解的，若存在的，若存在真正規(guī)子群真正規(guī)子群G1，G2，使使G=G1G2，否則稱否則稱G是

12、不可分解的。是不可分解的。定理定理1 群群G可分解可分解 存在投影存在投影 f 0, (為恒等映射為恒等映射) 定理定理2. 若群若群Ge滿足正規(guī)子群的降鏈條件，則滿足正規(guī)子群的降鏈條件，則G存在不等于存在不等于e的的正規(guī)子群正規(guī)子群H1，Hr，使，使G=H1H2Hr，且且 Hi 都是都是不可分解不可分解的。的。11學(xué)堂A2.4.6 有限群的直積分解有限群的直積分解(Direct Product Resolving of Limited Group) 定義定義:設(shè)設(shè)n是正整數(shù)，是正整數(shù)，pi 是素?cái)?shù)，若是素?cái)?shù)，若n=p11p22 prr =n1n2nr，則稱則稱 ni (1ir)為為n的的初等因子初等因子。若。若ni|ni+1，i=1，2，r-1，則稱則稱ni為為n的的不變因子不變因子。 定理定理3 設(shè)設(shè)G是是有限可換群有限可換群，|G|=n，則，則G可分解為如可分解為如下下循環(huán)群的直積循環(huán)群的直積，