江西省南昌市高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 文含解析

1、20162017學(xué)年度下學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)（文）試卷一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分）1. 已知集合，集合，則=（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】，集合，則.故選b.2. 命題“”的否定是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】全稱命題的否定為特稱命題，所以命題命題“”的否定是“ ”，故選b.3. 函數(shù)的定義域是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】依題意有，解得.4. 下列說法中不正確的是()a. 圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形b. 直角三角形繞它的一條邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐c. 圓錐中過軸的截面是一個等腰三角形d. 圓臺

2、中平行于底面的截面是圓面【答案】b【解析】由旋轉(zhuǎn)體體的概念可知，以直角三角形繞它的一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐，當(dāng)以斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周時所形成的曲面圍成的幾何體是兩個圓錐的組合體，故選b.5. 設(shè)，則下列不等式成立的是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】試題分析：由可設(shè)，代入選項驗證可知成立,故選d.考點：不等式6. 下列命題中錯誤的是（ ）a. 如果平面外的直線不平行于平面，則平面內(nèi)不存在與平行的直線b. 如果平面平面，平面平面， ，那么直線平面c. 如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面d. 一條直線與兩個平行平面中的一個平面相交，則必與另一個

3、平面相交【答案】c【解析】由平面外的直線平面內(nèi)一直線，則平面，所以a正確；.7. 已知，則的最小值是（ ）a. 8 b. 6 c. d. 【答案】d【解析】【解析】 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號，因此選d.點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.8. 已知一個平放的各棱長為4的三棱錐內(nèi)有一個小球，現(xiàn)從該三棱錐頂端向錐內(nèi)注水，小球慢慢上浮.當(dāng)注入的水的體積是該三棱錐體積的時，小球恰與該三棱錐各側(cè)面及水面相切（小球完全浮在水面上方），則小

4、球的表面積等于（ ）.a. b. c. d. 【答案】c【解析】由題意，沒有水的部分的體積是正四面體體積的，正四面體的各棱長均為4，正四面體體積為，沒有水的部分的體積是，設(shè)其棱長為，則，設(shè)小球的半徑為，則，球的表面積，故選c.點睛：本題考查球的表面積，考查體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確求出半徑是關(guān)鍵；先求出沒有水的部分的體積是，再求出棱長為2，可得小球的半徑，即可求出球的表面積.9. 已知是奇函數(shù),當(dāng)時,當(dāng)時等于（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】因為當(dāng)時，即當(dāng)時等于，故選a.10. 三棱柱中，為等邊三角形，平面abc，m,n分別是的中點，則bm與an所成角的余弦值為

5、（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】如圖所示，取的中點，的中點，建立空間直角坐標系不妨設(shè)則 ，故選c點睛：本題主要考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用之異面直線及其所成的角，即直線的方向向量所成的角與異面直線所成的角相等或互補，主要依據(jù)異面直線所成角的范圍來確定是相等或互補，屬常見題型；在該題中取的中點，的中點，建立空間直角坐標系利用，即可得出.11. 對于函數(shù)、和區(qū)間d，如果存在，使得，則稱是函數(shù)與在區(qū)間d上的“互相接近點”.現(xiàn)給出兩個函數(shù)：， ； ， ；， ； ， .則在區(qū)間上存在唯一“互相接近點”的是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【點睛】對于每兩個函數(shù)求，若存在x使得，

6、則符合；否則不符合。12. 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某四棱錐的三視圖，則該幾何體的體積為（ ）a. 15b. 16c. d. 【答案】c【解析】由三視圖可得，該幾何體是一個以俯視圖為底面，高為的四棱錐，其體積，故選c.【方法點睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響.二.填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分

7、）13. 不等式的解集為_.【答案】 【解析】若時，或 ，故或；若時，故，綜上，或，故答案為.14. 已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，各頂點都在同一球面上，若該棱柱的體積為，則此球的表面積等于_【答案】【解析】試題分析：由已知該三棱柱是直三棱柱，且底面是直角三角形，設(shè)分別是的中點，是中點，可證就是三棱柱外接球球心，即，所以考點：棱柱與外接球，球的表面積【名師點睛】本題考查棱柱與外接球問題，解題的關(guān)鍵是找到外接球的球心在確定球心時，注意應(yīng)用球的一個性質(zhì)得：如果一個多面體存在外接球，則多面體的各個面一定存在外接圓，球心一定在過此外心且與此平面垂直的直線上，對四面體而言，注意四面體的面是直角三角形的情形

8、15. 已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為_【答案】【解析】試題分析:因函數(shù)在上單調(diào)遞減,故,而當(dāng)時,所以當(dāng)時,即時,函數(shù)的值域為,故應(yīng)填答案.考點：分段函數(shù)的單調(diào)性、值域及基本不等式的靈活運用【易錯點晴】本題設(shè)置了一道以函數(shù)的值域為背景的綜合應(yīng)用問題.其的目的意在考查在數(shù)形結(jié)合的意識及運用所學(xué)知識去分析問題解決問題的能力.解答本題時要充分運用題設(shè)中提供的條件信息,借助函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)的最小值為,再運用基本不等式求出函數(shù)的最小值為,據(jù)此建立不等式,求出實數(shù)的取值范圍是,從而獲得答案.16. 在棱長均相等的正四棱錐中，為底面正方形的重心，分別為側(cè)棱的中點，有下列結(jié)論：平面；平面平面； 直線與

9、直線所成角的大小為.其中正確結(jié)論的序號是_.（寫出所有正確結(jié)論的序號）【答案】【解析】如圖，連接，易得，所以平面，結(jié)論正確；同理，所以平面平面，結(jié)論正確；由于四棱錐的棱長均相等，所以，所以，又，所以，結(jié)論正確.由于分別為側(cè)棱的中點，所以，又四邊形為正方形，所以，所以直線與直線所成的角即為直線與直線所成的角，為，知三角形為等邊三角形，所以，故錯誤，故答案為 .【方法點晴】本題主要考查異面直線所成的角、線面平行的判定、面面平行的判定，屬于難題.求異面直線所成的角主要方法有兩種：一是向量法，根據(jù)幾何體的特殊性質(zhì)建立空間直角坐標系后，分別求出兩直線的方向向量，再利用空間向量夾角的余弦公式求解；二是傳統(tǒng)

10、法，利用平行四邊形、三角形中位線等方法找出兩直線成的角，再利用平面幾何性質(zhì)求解.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17. 已知函數(shù)（1）若，解不等式；若不等式在r上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍【答案】（1） ;（2） .【解析】試題分析：(1)分x<1，1x3，x>3三種情況去掉絕對值討論即可.(2)由絕對值三角不等式的性質(zhì)可得|xa|x1|a1|，只需|a1|3，求解即可.試題解析：(1)依題意，|x1|x3|2x.當(dāng)x<1時，原不等式化為1x3x2x，解得x，故無解；當(dāng)1x3時，原不等式化為x13x2x，解得x2，故2x3；當(dāng)x>3時，原不等式化為x1x32x，即

11、20恒成立綜上所述，不等式f(x)|x3|2x的解集為2，)(2)f(x)|x1|3|xa|x1|3恒成立，由|xa|x1|a1|可知，只需|a1|3即可，故a2或a4，即實數(shù)a的取值范圍為a|a2或a418. 函數(shù)的定義域為集合a，函數(shù)的值域為集合b.（1）當(dāng)時，求集合；若集合滿足，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1） ;（2） .【解析】試題分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求得集合.（1）當(dāng)時，被開方數(shù)為非負數(shù)，解一元二次不等式求得集合；（2）由于即是子集.由有，由于，故解集為，從而，故.試題解析：（1）當(dāng)時，由題意得，即，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，.（2），由題意得得，即，當(dāng)時，由，故.19. 如圖

12、所示，已知長方體中， ， 為的中點，將沿折起，使得.（1）求證：平面平面；若點為線段的中點，求點到平面的距離.【答案】（1）見解析;（2）.【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件，運用面面垂直的判定定理進行推證；（2）依據(jù)題設(shè)運用等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，轉(zhuǎn)化為三棱錐的體積相等，即用等積法轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高來求解：（1）證明：長方形中，為的中點，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解： 取的中點，連接.由題意，的面積為，設(shè)點到平面的距離為，由于三棱錐的體積為.點到平面的距離為.點睛：立體幾何是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，也是高考重點考查的知識點和題型之一。解答第一問時，先依據(jù)題設(shè)條件，運用線面垂直的

13、判定定理證明線面垂直，再依據(jù)面面垂直的判定定理進行推證；求解第二問時，先依據(jù)題設(shè)條件，運用余弦定理求出的邊長，再求出其面積為，進而運用等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，轉(zhuǎn)化為三棱錐的體積相等，即用等積法轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高來求解：20. 在如圖所示的多面體中，平面abcd，（1）在ac上求作點p，使pe平面abf，請寫出作法并說明理由；（2）求三棱錐acde的高【答案】（1）詳見解析（2） .【解析】試題分析：（1）由題意,因此只需,就可推出平面，而延長線與交點恰為的中點因此作法為先取的中點，再連結(jié)，交于.證法為先由線線平行證得線面平行，再由線面平行證得面面平行，最后由面面平行證得線面平行.（2）求三棱錐的高

14、，可由等體積法求得：因為，而平面，所以，這樣只需求出兩個三角形面積，代入化簡即得三棱錐的高.試題分析：解：（1）取的中點，連結(jié)，交于，連結(jié).此時為所求作的點.下面給出證明：，又，四邊形是平行四邊形，故即.又平面平面，平面；平面，平面，平面.又平面平面，平面平面，又平面，平面.（2）在等腰梯形中，可求得梯形的高為，從而的面積為.平面，是三棱錐的高.設(shè)三棱錐的高為.由，可得，即，解得，故三棱錐的高為.21. 已知橢圓的離心率，左頂點為.（1）求橢圓的方程； （2）已知為坐標原點， 是橢圓上的兩點，連接的直線平行交軸于點，證明： 成等比數(shù)列.【答案】（）；（）見解析 【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題

15、設(shè)條件建立方程進行求解；（2）借助題設(shè)條件建立直線的方程，再與橢圓方程聯(lián)立，運用坐標之間的關(guān)系分析推證：（）由，得，故橢圓的方程為. （）設(shè)，則，將代入，整理得， ，得， ， 將代入，整理得 ，得，故，所以，成等比數(shù)列 【試題分析】橢圓是圓錐曲線的代表之一，也是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要知識點和考點。求解本題的第一問時，直接依據(jù)題設(shè)建立方程組進行求解，從而使得問題獲解；解答第二問時，先建立直線的方程，后借助交點的坐標之間的關(guān)系及兩點間距離公式分析推證，進而使得問題獲證。22. 若， () 當(dāng)時，求函數(shù)的最值；()當(dāng)時，且對任意的， 恒成立，求實數(shù)的取值范圍【答案】（）;（）【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)運用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析求解；（2）借助題設(shè)條件先將不等式進行等價轉(zhuǎn)化，再構(gòu)造函數(shù)運用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系分析探求：（）由，得在上遞減，在上遞增，在時有最小值（），在上均為增函數(shù)，不妨設(shè)，則對任意的上恒成立，等價于 ，即對任意的上恒成立，令 ，則在為減函數(shù)，則在上恒成立，上恒成立令， ，在上為減函數(shù)，在的最大值為綜上，實數(shù)的取值范圍為點睛：本題以含參數(shù)的函數(shù)解析式為背景和前提，設(shè)置了兩道問題，旨在考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性極值（最值）方面的綜合運用。求解第一問時，先運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求其最值使得問題