八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 4.5 一次函數(shù)的應(yīng)用例題與講解素材 新版湘教版

1、5一次函數(shù)的應(yīng)用1一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(1)通過(guò)圖象獲取信息通過(guò)觀察一次函數(shù)的圖象獲取有用的信息是我們?cè)谌粘Ｉ钪薪?jīng)常遇到的問(wèn)題，要掌握這個(gè)重點(diǎn)在于對(duì)函數(shù)圖象的觀察和分析，觀察函數(shù)圖象時(shí)，首先要看橫軸、縱軸分別代表的是什么，也就是觀察圖象反映的是哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系釋疑點(diǎn) 函數(shù)圖象中的特殊點(diǎn)觀察圖象獲取信息時(shí)，一定要注意圖象上的特殊點(diǎn)，這些特殊點(diǎn)對(duì)我們解決問(wèn)題有很大的幫助(2)一次函數(shù)圖象的應(yīng)用一次函數(shù)和正比例函數(shù)是我們接觸到的最簡(jiǎn)單的函數(shù)，它們的圖象和性質(zhì)在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用利用一次函數(shù)和正比例函數(shù)的圖象解決問(wèn)題是本節(jié)的一個(gè)重點(diǎn)，這部分內(nèi)容在中考中占有重要的地位談重點(diǎn) 函數(shù)ykxb圖象的

2、變化形式在實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)自變量的取值范圍受到一定的限制時(shí)，函數(shù)ykxb(k0)的圖象就不再是一條直線要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行分析，其圖象可能是射線、線段或折線等等【例11】 甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別同時(shí)開(kāi)挖兩段河渠，所挖河渠的長(zhǎng)度y(m)與挖掘時(shí)間x(h)之間的關(guān)系如圖所示，請(qǐng)根據(jù)圖象所提供的信息解答下列問(wèn)題：(1)乙隊(duì)開(kāi)挖到30 m時(shí)，用了_ h開(kāi)挖6 h時(shí)甲隊(duì)比乙隊(duì)多挖了_ m.(2)請(qǐng)你求出：甲隊(duì)在0x6的時(shí)段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；乙隊(duì)在2x6的時(shí)段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(3)當(dāng)x為何值時(shí)，甲、乙兩隊(duì)在施工過(guò)程中所挖河渠的長(zhǎng)度相等？分析：(1)由圖象可以直接看出乙隊(duì)開(kāi)挖到30 m時(shí)，用了

3、2 h開(kāi)挖6 h時(shí)甲隊(duì)比乙隊(duì)多挖了10 m；(2)設(shè)甲隊(duì)在0x6的時(shí)段內(nèi)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為yk1x(k10)，由圖可知，函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(6,60)，6k160，解得k110，y10x.設(shè)乙隊(duì)在2x6的時(shí)段內(nèi)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為yk2xb(k20)，由圖可知，函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(2,30)，(6,50)，代入yk2xb，求出k25，b20，y5x20.(3)由題意，得10x5x20，解得x4(h)解：(1)210(2)y10x.y5x20.(3)由題意，得10x5x20，解得x4(h)故當(dāng)x為4 h時(shí)，甲、乙兩隊(duì)所挖的河渠長(zhǎng)度相等【例12】 某單位急需用車，但又不準(zhǔn)備買車，他們準(zhǔn)備和一個(gè)體車主

4、或一國(guó)有出租車公司簽訂月租車合同設(shè)汽車每月行駛x km，應(yīng)付給個(gè)體車主的月費(fèi)用為y1元，應(yīng)付給國(guó)有出租車公司的月費(fèi)用是y2元，y1，y2分別與x之間的函數(shù)關(guān)系圖象(兩條射線)如圖，觀察圖象回答下列問(wèn)題：(1)每月行駛的路程在什么范圍內(nèi)時(shí)，租國(guó)有出租車公司的車合算？(2)每月行駛的路程等于多少時(shí)，租兩家車的費(fèi)用相同？(3)如果這個(gè)單位估計(jì)每月行駛的路程為2 600 km，那么這個(gè)單位租哪家車合算？分析：本題從給出的兩個(gè)函數(shù)圖象中可獲取以下信息：都是一次函數(shù)，一個(gè)是正比例函數(shù)；兩條直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1 500；表明當(dāng)x1 500時(shí)，兩個(gè)函數(shù)值相等；根據(jù)圖象可知：x1 500時(shí)，y2y1；0x1 5

5、00時(shí)，y2y1.解：觀察圖象，得：(1)每月行駛的路程小于1 500 km時(shí)，租國(guó)有出租車公司的車合算；(2)每月行駛的路程為1 500 km時(shí)，租兩家車的費(fèi)用相同；(3)如果每月行駛的路程為2 600 km，那么這個(gè)單位租個(gè)體車主的車合算析規(guī)律 函數(shù)圖象交點(diǎn)規(guī)律兩函數(shù)圖象在同一坐標(biāo)系中，當(dāng)取相同的自變量時(shí)，下方圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的函數(shù)值?。唤稽c(diǎn)處的函數(shù)值相等2一次函數(shù)和一元一次方程的關(guān)系當(dāng)一次函數(shù)ykxb(k0)中的函數(shù)值為0時(shí)，可得0kxb即kxb0，這在形式上變成了求關(guān)于x的一元一次方程，也就是說(shuō)，當(dāng)一次函數(shù)ykxb的函數(shù)值為0時(shí)，相應(yīng)的自變量的值即為方程kxb0的解；若從圖象上來(lái)看，則可

6、看做函數(shù)ykxb的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即為方程kxb0的解由此可見(jiàn)，方程與函數(shù)是密不可分的【例2】 某汽車生產(chǎn)廠對(duì)其生產(chǎn)的a型汽車進(jìn)行耗油量實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)中汽車視為勻速行駛已知油箱中的余油量y(l)與行駛時(shí)間t(h)的關(guān)系如下表，與行駛路程x(km)的關(guān)系如下圖請(qǐng)你根據(jù)這些信息求a型車在實(shí)驗(yàn)中的速度.行駛時(shí)間t(h)0123油箱余油量y(l)100846852分析：考查綜合利用一次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題的能力解法一：余油量y與行駛路程x的關(guān)系圖象是一條直線，可設(shè)關(guān)系式為ykxb(k0)由圖象可知ykxb經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(0,100)和(500,20)，則有b100,20500kb.把b100代入20

7、500kb，得20500k100，解得k.直線的解析式為yx100.當(dāng)y100時(shí)，x0；當(dāng)y84時(shí)，x100.由圖表可知，油箱中的余油量從100 l到84 l，行駛時(shí)間是1 h，行駛路程是100 km.a型汽車的速度為100 km/h.解法二：由圖表可知：a型汽車每行駛1 h的路程耗油16 l.由圖象可知：a型汽車耗油80 l所行駛的路程為500 km.可設(shè)汽車耗油16 l所行駛的路程為x km，則50080x16，解得x100.a型汽車1 h行駛的路程為100 km.它的速度為100 km/h.點(diǎn)評(píng)：有時(shí)，我們利用一次函數(shù)的圖象求一元一次方程的近似解3一次函數(shù)圖象的平移一次函數(shù)ykxb(k0

8、)的圖象可以看做由直線ykx平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度而得到(當(dāng)b0時(shí)，向上平移；當(dāng)b0時(shí)，向下平移)實(shí)際上就是指一次函數(shù)ykxb的圖象沿y軸平移時(shí)，在b的位置上按照“上加下減”的規(guī)律進(jìn)行如：一次函數(shù)l1：yx2的圖象可以看做是由正比例函數(shù)l：yx的圖象沿y軸向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的；一次函數(shù)l2：yx2的圖象可以看做是由正比例函數(shù)l：yx的圖象沿y軸向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的【例3】 如圖所示，將直線oa向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到一個(gè)一次函數(shù)的圖象，那么這個(gè)一次函數(shù)的解析式是_解析：由圖象可知，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以設(shè)直線的解析式為ykx(k0)因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,4)，所以直線的解析式為y2x.根

9、據(jù)“上加下減”的原則，可知所求的一次函數(shù)解析式為y2x1.答案：y2x1析規(guī)律 平移中的函數(shù)解析式解決平移問(wèn)題可以對(duì)性質(zhì)進(jìn)行記憶直接運(yùn)用，也可以找出平移后借助坐標(biāo)系運(yùn)用待定系數(shù)法求解平移前后k的值不變，改變的是b的值4.函數(shù)、方程和不等式的完美結(jié)合從“數(shù)”的角度看，由于任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為axb0(a，b為常數(shù)，且a0)的形式，所以解一元一次方程可以看做：當(dāng)一次函數(shù)yaxb的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值；反之，求自變量x為何值時(shí)，一次函數(shù)yaxb的值為0，只要求出方程axb0的解即可由于任何一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為類似axb0或axb0的形式，所以解一元一次不等式可以看做：當(dāng)一次函數(shù)

10、yaxb的值大(小)于0時(shí)，求自變量相應(yīng)的取值范圍；反之，求一次函數(shù)yaxb的值何時(shí)大(小)于0時(shí)，只要求出不等式axb0或axb0的解集即可從一元一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù)的關(guān)系可以看出，三者最終能用函數(shù)觀點(diǎn)統(tǒng)一起來(lái)，并且達(dá)到一種完美的結(jié)合，這種結(jié)合，又常常在一些考題中得以體現(xiàn)【例4】 已知一次函數(shù)yaxb(a，b是常數(shù)，且a0)x與y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x210123y642024那么方程axb0的解是_，不等式axb0的解集是_解析：本題先以表格的形式向我們提供了一次函數(shù)yaxb的信息按一般解法，我們完全可以利用這些對(duì)應(yīng)值，通過(guò)待定系數(shù)法求出未知系數(shù)a和b，然后再去解方程或不等式

11、，于是得解果真那樣去做的話，說(shuō)明你沒(méi)有真正領(lǐng)會(huì)到本題的用意事實(shí)上，本題是想考查你對(duì)一元一次方程、一元一次不等式和一次函數(shù)之間關(guān)系的掌握情況由三者之間的關(guān)系可知，求方程axb0的解，實(shí)質(zhì)上就是求一次函數(shù)yaxb的函數(shù)值為0時(shí)，對(duì)應(yīng)的自變量x的取值，從表中可直接看出x1；同理，求不等式axb0的解集，實(shí)質(zhì)上就是求當(dāng)一次函數(shù)yaxb的函數(shù)值大于0時(shí)，對(duì)應(yīng)的自變量x的取值范圍，這時(shí)也可以從表中直接看出為x1.答案：x1x15.分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題在自變量的不同取值范圍內(nèi)表示函數(shù)關(guān)系的解析式有不同的形式，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)，有關(guān)運(yùn)用分段函數(shù)的知識(shí)解決生活中的問(wèn)題是近幾年中考的熱點(diǎn)之一，能考查學(xué)生分析問(wèn)題、解

12、決問(wèn)題的能力，及培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和深刻性分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題和實(shí)際生活聯(lián)系密切，這類問(wèn)題考查有效地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力常見(jiàn)的分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題有：水費(fèi)分段計(jì)費(fèi)、電費(fèi)分段計(jì)費(fèi)、話費(fèi)分段計(jì)費(fèi)等點(diǎn)評(píng)：解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件構(gòu)建函數(shù)在不同的條件下的解析式，再由條件選擇對(duì)應(yīng)的解析式求解【例5】 某市居民生活用電基本價(jià)格為每度0.4元，若每月用電超過(guò)a度，超過(guò)部分按基本電價(jià)的70%收費(fèi)(1)某戶五月份用電84度，共繳電費(fèi)30.72元，求a的值；(2)若該戶六月份的電費(fèi)平均為每度0.36元，求六月份共用電多少度？應(yīng)繳電費(fèi)多少元？分析：先判斷是不是超過(guò)a度，再進(jìn)行計(jì)算解：設(shè)該戶每月用電為x度，繳納電費(fèi)為y元，根據(jù)題意可分段構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式：當(dāng)xa時(shí)，y0.4a；當(dāng)xa時(shí)，y0.4a0.4×70%(xa).(1)0.4×8433.630.72，五月份的用電超過(guò)a度，應(yīng)滿足解析式.30.720.4a0.4×70%(84a)，解得a60.(2)0.360.4，六月份用