高中數(shù)學(xué)課本中的定理、公式、結(jié)論的證明

1、數(shù)學(xué)課本中的定理、公式、結(jié)論的證明數(shù)學(xué)必修一第一章 集合（無）第二章 函數(shù)（無）第三章 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)1對數(shù)的運算性質(zhì)：如果 a > 0 ， a ¹ 1， M > 0 ，N > 0， 那么（1）；（2）；（3）根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)證明對數(shù)的運算性質(zhì)證明：（性質(zhì)1）設(shè)，由對數(shù)的定義可得 ，即證得證明：（性質(zhì)2）設(shè)， 由對數(shù)的定義可得 ，即證得證明（性質(zhì)3）設(shè)，由對數(shù)的定義可得 ，即證得第四章 函數(shù)應(yīng)用（無）數(shù)學(xué)必修二第一章 立體幾何初步直線與平面、平面與平面平行、垂直的判定定理與性質(zhì)定理的證明1、直線與平面平行的判定定理若平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該

2、直線與此平面平行2、平面與平面平行的判定定理如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行3、直線與平面垂直的判定定理如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直4、平面與平面垂直的判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直證明：設(shè)直線的方向向量為a,平面的法向量分別為u，r（建立立體幾何問題與向量之間的聯(lián)系），因為，所以a|r，即a=r()（把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題）,又所以auau=0（把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題），所以ur=0 ur（把空間向量的結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論），所以平面與平面互相垂直，5、直線與平面

3、平行的性質(zhì)定理如果一條直線與一個平面平行，那么過該直線的任意一個平面與已知平面的交線與該直線平行6、平面與平面平行的性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行7、直線與平面垂直的性質(zhì)定理如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行另法8、平面與平面垂直的性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面，9三垂線定理及逆定理另法證明：已知：如圖，直線與平面相交與點A，在上的射影OA垂直于 求證： 證明： 過P作PO垂直于PO PO 又OA ，POOA=O平面POA （三垂線定理的逆定理）若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面外的一條直線，則它垂

4、直于這條直線在該平面內(nèi)的投影第二章 解析幾何初步（無）數(shù)學(xué)必修三數(shù)學(xué)必修四第一章 三角函數(shù) 誘導(dǎo)公式公式： 如圖：設(shè)的終邊與單位圓（半徑為單位長度1的圓）交于點P(x，y)，則角-的終邊與單位圓的交點必為P´(x，-y)由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，即可得sin=y， cos=x, sin(-)=-y, cos(-)=x, 所以：sin(-)= -sin, cos(-)= cos由倒數(shù)關(guān)系和商數(shù)關(guān)系可以得到有關(guān)正切的-誘導(dǎo)公式， 公式： 它刻畫了角+與角的正弦值（或余弦值）之間的關(guān)系，這個關(guān)系是：以角終邊的反向延長線為終邊的角的正弦值（或余弦值）與角的正弦值（或余弦值）關(guān)系，設(shè)角終邊圓

5、交于點P( x，y)，則角終邊的反向延長線，即+角的終邊與單位圓的交點必為P´(-x，-y)（如圖4-5-1）由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，即可得sin=y，cos=x, sin(+)=-y,cos(+)=-x, 所以 :sin(+)=-sin，cos(+)=-cos由倒數(shù)關(guān)系和商數(shù)關(guān)系可以得到有關(guān)正切的誘導(dǎo)公式。相關(guān)誘導(dǎo)公式公式一： 設(shè)為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等： sin（2k+）=sin kz cos（2k+）=cos kz tan（2k+）=tan kz 公式二：sin（+）=sin cos（+）=cos tan（+）=tan 公式三：sin（）=sin公式四：

6、 利用公式二和公式三可以得到-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（）=sin cos（）=cos tan（）=tan公式五： 利用公式一和公式三可以得到2-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（2）=sin cos（2）=cos tan（2）=tan 公式六： /2±與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（/2+）=cos cos（/2+）=sin tan（/2+）=cot sin（/2）=cos cos（/2）=sin tan（/2）=cot 第二章 平面向量1、共線向量定理（p82例3）內(nèi)容：如圖A,B,C為平面內(nèi)的三點，且A,B不重合，點P為平面內(nèi)任一點，若C在直線AB上，則有證明：

7、由題意，與共線， 化簡為：2、平面向量基本定理(p83)內(nèi)容：如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意一向量，存在唯一一對實數(shù)，使得證明：如圖過平面內(nèi)一點O，作，過點C分別作直線OA和直線OB的平行線，交OA于點M，交OB于點N，有且只有一組實數(shù)，使得 即3、平行向量定理（p88）內(nèi)容：若兩個向量（與坐標(biāo)軸不平行）平行，則它們相應(yīng)的坐標(biāo)成比例；若兩個向量相對應(yīng)的坐標(biāo)成比例，則兩向量平行，證明：設(shè)是非零向量，且若，則存在實數(shù)使，且由平面向量基本定理可知， 得：若（即向量不與坐標(biāo)軸平行）則4、余弦定理證明(p93)內(nèi)容：在中，分別為角的對邊，則證明：如圖在中，設(shè)則 同理可證：

8、所以5、點到直線距離公式證明（p99）向量法定義法證：如圖,根據(jù)定義，點M到直線 的距離是點M到直線 的垂線段的長，如圖1，設(shè)點M到直線的垂線為 ，垂足為Q，由 可知 的斜率為 的方程：與聯(lián)立方程組解得交點 第三章  三角恒等變形 1、兩角差的余弦公式證明cos（）=coscos+sinsin   證明 ：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為圓心， 作一單位圓，再以原點為頂點，x軸非負(fù)半軸為始邊分別作角，且若，均為銳角時，設(shè)它們的終邊分別交單位圓于點P1（cos，sin），P2（cos，sin），即有兩單位向量，它們的所成角是，根據(jù)向量

9、數(shù)量積的性質(zhì)得：             又根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算得：=coscos+sinsin      由得 cos（）=coscos+sinsin 由誘導(dǎo)公式可證明當(dāng)，均為任意角時式仍成立，2、兩角和的余弦公式證明=（略） 3、兩角和（差）的正弦公式證明內(nèi)容：證明：4、兩角和（差）的正切公式證明內(nèi)容：，證明：考題（2010四川理19） 證明兩角和的余弦公式； 由推導(dǎo)兩角和的正弦公式.   

10、;  解：如圖，在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)做單位圓O，并作出角、與-，使角的始邊為Ox，交O于點P1，終邊交O于P2；角的始邊為OP2，終邊交O于P3；角-的始邊為OP1，終邊交O于P4則P1（1，0），P2（cos，sin） ，P3（cos（+），sin（+），P4（cos（-），sin（-）由P1P3=P2P4及兩點間的距離公式，得cos（+）-12+sin2（+）=cos（-）-cos2+sin（-）-sin2展開并整理得：2-2cos（+）=2-2（coscos-sinsin）cos（+）=coscos-sinsin；由易得cos（-）=sin，sin（2-）=cossi

11、n（+）=cos-（+）=cos（-）+（-） =cos（-）cos（-）-sin（-）sin（-）=sincos+cossin；數(shù)學(xué)必修五第一章 數(shù)列1、 等差數(shù)列通項公式已知等差數(shù)列的首項為，公差為d，證明數(shù)列的通項公式為-+=證明：由等差數(shù)列的定義可知: 說明：用“疊加法”證明等差數(shù)列的通項公式，需要驗證對同樣成立2、 等差數(shù)列前項和內(nèi)容：是等差數(shù)列，公差為，首項為，為其前n項和，則證明：由題意， 反過來可寫為：+得：2所以，把代入中，得3、等比數(shù)列通項公式已知等比數(shù)列的首項為，公比為q，證明數(shù)列的通項公式為-+=類比等差數(shù)列通項公式的證明，用“疊乘法”證明3、 等比數(shù)列前n項和內(nèi)容：是

12、等比數(shù)列，公比為，首項為，為其前項和，則=證明： 得：， 當(dāng)時， 把代入中，得 當(dāng)時，很明顯所以，=考題（2013陜西文） 17.設(shè)Sn表示數(shù)列的前n項和. () 若為等差數(shù)列, 推導(dǎo)Sn的計算公式; () 若, 且對所有正整數(shù)n, 有. 判斷是否為等比數(shù)列. 解：() 設(shè)公差為d,則.（北師大版數(shù)學(xué)必修五-課本證明方法） () ，.所以,是首項,公比的等比數(shù)列，2、（2013陜西理）17.設(shè)是公比為q的等比數(shù)列. () 推導(dǎo)的前n項和公式; () 設(shè)q1, 證明數(shù)列不是等比數(shù)列. 解：() 分兩種情況討論，.上面兩式錯位相減: ，綜上，（北師大版數(shù)學(xué)必修五-課本證明方法） () 使用反證法，

13、設(shè)是公比q1的等比數(shù)列, 假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列.則當(dāng)=0成立，則不是等比數(shù)列，當(dāng)成立，則，這與題目條件q1矛盾，綜上兩種情況，假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列均不成立，所以當(dāng)q1時, 數(shù)列不是等比數(shù)列，abDABC第二章解三角形 1、正弦定理證明（p45）內(nèi)容：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。即 已知：在中，分別為角的對邊，求證：證明：方法1 利用三角形的高證明正弦定理（1）當(dāng)ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有 ， 由此，得 ，同理可得 ， 故有 .ABCDba從而這個結(jié)論在銳角三角形中成立.（2）當(dāng)ABC是鈍角三角形時，過點C作AB邊上的高，交AB的延長線于

14、點D，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有， ，由此，得 ，同理可得 故有 .（3）在中， 由(1)(2)（3）可知，在ABC中， 成立.方法2. 外接圓證明正弦定理在ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作ABC的外接圓,O為圓心,連結(jié)BO并延長交圓于B,設(shè)BB=2R.則根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等可以得到BAB=90°，C =B，sinC=sinB=.同理,可得.這就是說,對于任意的三角形,上述關(guān)系式均成立,因此,我們得到等式. 方法3. 向量法證明正弦定理方法4. 等面積法（略）2、余弦定理證明（p49）內(nèi)容：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊

15、與他們夾角的余弦之積的兩倍，即證明：方法1向量法證明 方法2 三角形證明 （過程如下考題）考題（陜西2011年文、理18）敘述并證明余弦定理，解 余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的余弦之積的兩倍，或：在ABC中，a,b,c為A,B,C的對邊，有證法一 如圖即同理可證 證法二 已知ABC中A,B,C所對邊分別為a,b,c,以A為原點，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則, 同理可證 第三章不等式 （無）數(shù)學(xué)選修2-1第一章 常用邏輯用語（無）第二章 空間向量與立體幾何1、空間向量基本定理： 2、線面垂直判定定理（p40例1）如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相

16、交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直3、面面平行判定定理（p40例2）如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行4、三垂線定理（p41例3）考題（2012陜西理18題） （1）如圖，證明命題“是平面內(nèi)的一條直線，是外的一條直線（不垂直于），是直線在上的投影，若，則”為真（2）寫出上述命題的逆命題，并判斷其真假（不需要證明）【解析】（）證法一 如圖，過直線上一點作平面的垂線，設(shè)直線，的方向向量分別是，則，共面.根據(jù)平面向量基本定理，存在實數(shù)，使得，則，因為，所以，又因為，所以，故，從而 . 證法二 如圖，記,為直線上異于點的任意一點，過作,垂足為,則.，直線，又，平面,&

17、#183; 平面，又平面， · . （）逆命題為：是平面內(nèi)的一條直線，是平面外的一條直線（不垂直于），是直線在上的投影，若，則.逆命題為真命題第三章 圓錐曲線與方程1、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程（ ）的推導(dǎo)解、以和所在直線為軸，線段的中點為原點建立直角坐標(biāo)系；（建系）設(shè)是橢圓上任意一點，設(shè)，則，；（設(shè)點）由得；（列式、代換）移項平方后得，        整理得，       兩邊平方后整理得，（化簡）由橢圓的定義知，即，令，其中，代入上式，得，兩邊除以，得：（）2、拋物

18、線標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px（p>0）的推導(dǎo)解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系系，設(shè)|KF|=（>0）,那么焦點F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線的方程為，設(shè)拋物線上的點M（x,y），則有化簡方程得 3、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程(,)的推導(dǎo)解、取過焦點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系。設(shè)M（x,y）為雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距為2c（c>0），則F1（c，0）、F2（c，0），又設(shè)點M與F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a（2a<2c）.由定義可知,雙曲線上點的集合是P=M|MF1|MF2|=2a. 即:化簡，整理得：移項兩邊平方得兩邊再平方后整理得由雙曲線定義知考題（課本p76習(xí)題3-2第9題）（2012陜西理13.文14）右圖是拋物線形拱橋