二次函數(shù)知識點梳理

1、學習必備精品知識點二次函數(shù)的基礎(chǔ)一、考點、熱點回顧二次函數(shù)知識點一、二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念：一般地，形如yax2bxc （ a ，b，c 是常數(shù)，a0 ）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)a0 ，而b ，c 可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)2. 二次函數(shù)yax 2bxc 的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x 的二次式，x 的最高次數(shù)是2 a ，b ，c 是常數(shù)， a 是二次項系數(shù)， b 是一次項系數(shù)， c 是常數(shù)項二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：yax2 的性質(zhì)：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。a 的符號開口方向頂點坐標對

2、稱軸性質(zhì)a00 ，0x0 時， y 隨 x 的增大而增大； x0 時， y 隨 x 的向上y 軸增大而減小； x0 時， y 有最小值 0 a00 ，0x0 時， y 隨 x 的增大而減?。?x0 時， y 隨 x 的向下y 軸增大而增大； x0 時， y 有最大值 0 2.y2c 的性質(zhì)：上加下減。axa 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a00 ，cx0 時， y 隨 x 的增大而增大； x0 時， y 隨 x 的向上y 軸增大而減?。?x0 時， y 有最小值 c a00 ，cx0 時， y 隨 x 的增大而減?。?x0 時， y 隨 x 的向下y 軸增大而增大； x0 時， y 有最大值

3、 c 3.ya x2h 的性質(zhì)：左加右減。a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a0h，0xh 時， y 隨 x 的增大而增大； xh 時， y 隨 x 的向上X=h增大而減小； xh 時， y 有最小值 0 a0h，0xh 時， y 隨 x 的增大而減?。?xh 時， y 隨 x 的向下X=h增大而增大； xh 時， y 有最大值 0 學習必備精品知識點4. ya x2hk 的性質(zhì)：a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a0h，kxh 時， y 隨 x 的增大而增大； xh 時， y 隨 x 的向上X=h增大而減??； xh 時， y 有最小值 k a0h，kxh 時， y 隨 x 的增大而減??；

4、 xh 時， y 隨 x 的向下X=h增大而增大； xh 時， y 有最大值 k 三、二次函數(shù)圖象的平移在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h 值正右移，負左移；k 值正上移，負下移”概括成八個字“左加右減，上加下減”方法二： yax 2bxc 沿 y 軸平移 : 向上（下） 平移 m 個單位， yax 2bxc 變成yax 2bxcm （或 yax 2bx cm ） yax 2bxc 沿軸平移：向左（右）平移m 個單位， yax 2bxc 變成y a( x m)2b(x m) c （或 y a(xm) 2b( x m) c ）四、二次函數(shù) ya x2k 與 yax 2bxc 的比較h從解析式上看， y ax

5、 h2k 與 yax2bxc 是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得b24acb2b ，k4acb2到前者，即 yax，其中 h2a4a2a4a五、二次函數(shù) yax2bxc 圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)y2bxc 化為頂點式 ya( x2k ，確定其開口方axh )向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖. 一般我們選取的五點為：頂點、與 y 軸的交點0 ，c、以及0 ，c關(guān)于對稱軸對稱的點2h ，c 、與 x 軸的交點x1 ，0， x2 ，0（若與 x 軸沒有交點，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點）.x 軸的交點，與 y 軸的交點 .畫草圖時應抓住以下幾點：開口方

6、向，對稱軸，頂點，與六、二次函數(shù) yax2bxc 的性質(zhì)1.當 a0時，拋物線開口向上，對稱軸為xbb4ac b2，頂點坐標為，4a2a2a當 xb時， y 隨 x 的增大而減??；當 xb時， y 隨 x 的增大而增大；當xb2a時， y2a2a有最小值 4acb24a學習必備精品知識點2. 當 a 0 時，拋物線開口向下， 對稱軸為 xbb，4acb2b時，頂點坐標為2a4a當 x2a2ay 隨 x 的增大而增大；當 xb 時， y 隨 x 的增大而減??；當 xb時， y 有最大值 4acb22a2a4a七、二次函數(shù)解析式的表示方法1. 一般式：2. 頂點式：3. 兩根式：y2bx c （

7、a ， b ， c 為常數(shù)， a0 ）；axya( xh)2k （ a ， h ， k 為常數(shù)， a0 ）；ya( xx1 )( xx2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是拋物線與 x 軸兩交點的橫坐標） .注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與 x 軸有交點，即 b24ac 0 時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化 .八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系1. 二次項系數(shù) a二次函數(shù)y2ax bx c 中， a 作為二次項系數(shù)，顯然 a 0 當 a0 時，拋物線開口向上，a 的值越大，開口越

8、小，反之a(chǎn) 的值越小，開口越大； 當 a0時，拋物線開口向下，a 的值越小，開口越小，反之a(chǎn) 的值越大，開口越大總結(jié)起來，a 決定了拋物線開口的大小和方向，a 的正負決定開口方向， a 的大小決定開口的大小2. 一次項系數(shù) b在二次項系數(shù)a 確定的前提下，b 決定了拋物線的對稱軸 在 a0 的前提下，當 b0 時，b0 ，即拋物線的對稱軸在y 軸左側(cè)；2a當 b0 時，b0 ，即拋物線的對稱軸就是y 軸；2a當 b0時，b0 ，即拋物線對稱軸在y 軸的右側(cè)2a 在 a0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當 b0 時，b0 ，即拋物線的對稱軸在y 軸右側(cè)；2a當 b0 時，b0 ，即拋物線的對稱軸

9、就是y 軸；2a當 b0時，b0 ，即拋物線對稱軸在y 軸的左側(cè)2a總結(jié)起來，在 a 確定的前提下， b 決定了拋物線對稱軸的位置ab 的符號的判定： 對稱軸 xb0 ，在 y 軸的右側(cè)則 ab0 ，概括的說在 y 軸左邊則 ab2a就是“左同右異”總結(jié)：3. 常數(shù)項 c 當 c0 時，拋物線與y 軸的交點在 x 軸上方，即拋物線與y 軸交點的縱坐標為正； 當 c0 時，拋物線與y 軸的交點為坐標原點，即拋物線與y 軸交點的縱坐標為 0 ； 當 c0 時，拋物線與y 軸的交點在 x 軸下方，即拋物線與y 軸交點的縱坐標為負學習必備精品知識點總結(jié)起來， c 決定了拋物線與y 軸交點的位置總之，只

10、要 a ，b ，c 都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)男问?，才能使解題簡便一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點式；3. 已知拋物線與 x 軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式九、二次函數(shù)圖象的對稱二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達1. 關(guān)于 x 軸對稱y2bxc 關(guān)于 x 軸對稱后，得到的解析式是y

11、2c ；axax bxya xh2ya x h2k 關(guān)于 x 軸對稱后，得到的解析式是k ；2. 關(guān)于 y 軸對稱y2bxc 關(guān)于 y 軸對稱后，得到的解析式是y2bxc ；axaxya x2k 關(guān)于 y 軸對稱后，得到的解析式是yax h2hk ；3. 關(guān)于原點對稱yax2bxc 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是y2bxc ；axyaxh2ya xh2k ；k 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是4. 關(guān)于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180°）yax2bxc 關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是yax2bxcb2；2ayaxh2ya x h2k k 關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是5. 關(guān)于點m

12、，n 對稱2m，n 對稱后，得到的解析式是 y a x h 2m2y a x hk 關(guān)于點2n k根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此a 永遠不變求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式十、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x 軸交點情況）：一元二次方程 ax2bx c0 是二次函數(shù) yax2bx c 當函數(shù)值 y0 時的特殊情況 .學習必備精品知

13、識點圖象與x 軸的交點個數(shù)： 當b24ac0 時，圖象與x 軸交于兩點A x1 ，0，B x2 ，0(x1x2 ) ，其中的x1 ，x2 是一元二次方程 ax2bx c 0a 0 的兩根這兩點間的距離 ABx2b24acx1.a 當0時，圖象與 x 軸只有一個交點； 當0時，圖象與 x 軸沒有交點 .1'當 a0時，圖象落在x 軸的上方，無論x 為任何實數(shù)，都有y0 ；2'當 a0時，圖象落在x 軸的下方，無論x 為任何實數(shù)，都有y0 2. 拋物線 y2bx c 的圖象與 y 軸一定相交，交點坐標為 (0 ， c) ；ax3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與 x 軸的交點坐標，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（小）值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)2a ， b ， c 的y ax bx c 中 a ， b ， c 的符號，或由二次函數(shù)中符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)， 求和已知一點對稱的點坐標，或已知與 x 軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標. 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項式，二次三項