函數(shù)、極限、連續(xù)(專升本專用課件

1、1 第一章：函數(shù)、極限、連續(xù)第一章：函數(shù)、極限、連續(xù) 第二章：導(dǎo)數(shù)與微分第二章：導(dǎo)數(shù)與微分 第三章：中值定理及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第三章：中值定理及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第四章：不定積分第四章：不定積分 第五章：定積分與廣義積分第五章：定積分與廣義積分 第六章：偏導(dǎo)數(shù)與全微分第六章：偏導(dǎo)數(shù)與全微分 第七章：二重積分第七章：二重積分輔導(dǎo)內(nèi)容輔導(dǎo)內(nèi)容2第一章: 函數(shù)、極限、連續(xù)（一）函數(shù)（一）函數(shù)1定義：定義：（1）構(gòu)成函數(shù)的兩要素：定義域）構(gòu)成函數(shù)的兩要素：定義域D,對應(yīng)規(guī)則對應(yīng)規(guī)則f;（）當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)規(guī)則分別相同時，則可確（）當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)規(guī)則分別相同時，則可確定這兩個函數(shù)相同；反之有一個不相同

2、時，就認(rèn)為是兩定這兩個函數(shù)相同；反之有一個不相同時，就認(rèn)為是兩個不同的函數(shù)個不同的函數(shù))(,),(0 xfZDxfyff函數(shù)值值域定義域 基本概念及結(jié)論一、32.2.分段函數(shù)與隱函數(shù)分段函數(shù)與隱函數(shù)（1 1）. .分段函數(shù)：如果變量分段函數(shù)：如果變量x x與與y y的函數(shù)關(guān)系是由兩個的函數(shù)關(guān)系是由兩個或或兩個以上的解析式給出的稱分段函數(shù)兩個以上的解析式給出的稱分段函數(shù). .含絕對值符號的含絕對值符號的函數(shù)也是分段函數(shù)函數(shù)也是分段函數(shù). .如如 0;0;|;0, 10, 00, 1xxxxxyxxxy 分段函數(shù)至少有分段函數(shù)至少有1個以上的分段點，分段點兩側(cè)的函個以上的分段點，分段點兩側(cè)的函數(shù)表

3、達(dá)式是不同的，因此討論分段點處的極限、連續(xù)、數(shù)表達(dá)式是不同的，因此討論分段點處的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)等問題時，必須分別討論左、右極限，左、右連導(dǎo)數(shù)等問題時，必須分別討論左、右極限，左、右連續(xù)和左、右導(dǎo)數(shù)，分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)續(xù)和左、右導(dǎo)數(shù)，分段函數(shù)一般不是初等函數(shù).4（2 2）. .隱函數(shù)：如果自變量隱函數(shù)：如果自變量x x與應(yīng)變量與應(yīng)變量y y的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系是由方程是由方程 給出的，稱為隱函數(shù)給出的，稱為隱函數(shù). .如如0),(yxF)cos(;22222yxexyayxy 有些隱函數(shù)可以化為顯函數(shù)（不一定是單值函數(shù)），有些隱函數(shù)可以化為顯函數(shù)（不一定是單值函數(shù)），有些隱函數(shù)則不能化為

4、顯函數(shù)有些隱函數(shù)則不能化為顯函數(shù).3.復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)u u是中間變量，是中間變量，y y是因變量是因變量（1）復(fù)合函數(shù)：若）復(fù)合函數(shù)：若 是是 的函數(shù)的函數(shù) ， 又是又是 的函數(shù)的函數(shù) ，且，且 能使能使 有意義，有意義，yu)(ufy x)(xgu u)(xgu )(ufy 則稱則稱)(xgfy 是是x的復(fù)合函數(shù)，其中的復(fù)合函數(shù)，其中X是自變量，是自變量，21,xuuyy就不是x的復(fù)合函數(shù)；復(fù)合函數(shù)可分解為蕳單的函數(shù)5)(:)(,)()(),(:,)(,)(:)2(1xfyxfyxfyyyxyxxxfyyZZxfyff 函數(shù)記為的反習(xí)慣上的反函數(shù)稱為其中記為的函數(shù)為變量則稱

5、變量值中可確定惟一的一個值從關(guān)系式任一中如果對的值域為設(shè)函數(shù)反函數(shù) .)()(;)()()1(:1xyxfyxfyyxxfy 對稱于直線的圖形的圖形與其反函數(shù)一個圖形的圖形是同的圖形與其反函數(shù)注 （）嚴(yán)格單調(diào)（一一對應(yīng)）的函數(shù)才有反函數(shù)（）嚴(yán)格單調(diào)（一一對應(yīng)）的函數(shù)才有反函數(shù)6基本初等函數(shù)與初等函數(shù)基本初等函數(shù)與初等函數(shù)基本初等函數(shù)：定義、性質(zhì)、圖形非常重要，特別是基本初等函數(shù)：定義、性質(zhì)、圖形非常重要，特別是圖象要很清晰圖象要很清晰.有助于討論函數(shù)的性質(zhì)及運算有助于討論函數(shù)的性質(zhì)及運算.如：如：xxxarcxyxyxyxyxyxyxyaaxyaaayxyCyaxarccos,arcsin,c

6、ot,arctan)6(csc,sec,cot,tan,cos,sin)5() 1, 0(log)4();1, 0(3()2( ;) 1 (反三角函數(shù)：三角函數(shù)：對數(shù)函數(shù)：）指數(shù)函數(shù)（為任意實數(shù)）冪函數(shù)：常值函數(shù).lnlim,lim,lim,arctanlim,arctanlim01010等等xeexxxxxxxxx初等函數(shù)：初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和復(fù)合由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的并且可由一個解析式表示的函數(shù)統(tǒng)稱為初步驟所構(gòu)成的并且可由一個解析式表示的函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)等函數(shù)7若若f(x)的定義域關(guān)于的定義域關(guān)于x=0點不對稱，則不可能是奇函點不對稱，

7、則不可能是奇函數(shù)或偶函數(shù)。數(shù)或偶函數(shù)。Y=c(c為非零常數(shù)為非零常數(shù))是偶函數(shù)，是偶函數(shù)，y=0既是既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)，奇函數(shù)也是偶函數(shù)， 是非奇非偶的函數(shù)是非奇非偶的函數(shù)xxy 25.非初等函數(shù)非初等函數(shù)6.函數(shù)的簡單性質(zhì)函數(shù)的簡單性質(zhì)(1)(1)奇偶性奇偶性設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間x上有定義，如果對上有定義，如果對 恒有恒有則稱則稱f(x)為偶函數(shù)（或為偶函數(shù)（或f(x)為奇函數(shù)）為奇函數(shù)）.偶函數(shù)偶函數(shù)f(x)的的圖形對稱于圖形對稱于y軸，奇函數(shù)軸，奇函數(shù)f(x)的圖形對稱于原點的圖形對稱于原點.Xx )(xf)()()()(xfxfxfxf 或或（1）極限形式的函數(shù)：）極限形式的函

8、數(shù)：),(lim),(limxtfyxfyxtnn（2）積分形式的函數(shù)：）積分形式的函數(shù)：)()(0連續(xù)tfdttfyx8注：注：判定一個函數(shù)的奇偶性主要根據(jù)定義，有時也判定一個函數(shù)的奇偶性主要根據(jù)定義，有時也用其運算性質(zhì)：奇函數(shù)的代數(shù)和為奇函數(shù)，偶函數(shù)用其運算性質(zhì)：奇函數(shù)的代數(shù)和為奇函數(shù)，偶函數(shù)的代數(shù)和為偶函數(shù)；偶函數(shù)的積為偶函數(shù)；偶數(shù)個的代數(shù)和為偶函數(shù)；偶函數(shù)的積為偶函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的積為偶函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的積為奇函數(shù)；奇函數(shù)的積為偶函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的積為奇函數(shù)；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積為奇函數(shù)。而一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積為奇函數(shù)。而0)()( xfxf也是判別也是判別 為奇函數(shù)

9、的有效為奇函數(shù)的有效)(xf方法。方法。.arctan,arcsin,1,tan,sin:,),(,cos|,:|12|22xxxxxxeenxxxnxxn 常見的奇函數(shù)為正整數(shù)常見的偶函數(shù)90, 10,1)()2();1ln()() 1 (. 12xexexgxxxfxx判斷下列函數(shù)的奇偶性例.)1ln()()()1ln(11ln)1ln()(1ln()()1(22222是奇函數(shù)解xxxfxfxxxxxxxxxf 0, 10,10, 10,1)()2()(xexexexexgxxxx是奇函數(shù))(xg)(0),1(0),1(xgxexexx 10(2)(2)周期性周期性;|)(,)(1:.)(

10、,)()()(,)(0aTbaxfxfTxfTTxfxfTxfXxTxXxf的周期為則的周期為若周期函數(shù)的性質(zhì)的周期為函數(shù)最小正數(shù)稱滿足上式的為周期的周期函數(shù)是以則稱恒有使對于任一無關(guān)正數(shù)若存在一個與上有定義在區(qū)間設(shè)函數(shù) 11.|,cos| |,sin| ,cot,tan;2,cos,sin:.)(,)()(,)(),(3.)()(,)(),(221212100TxxxxTxxTTxgxfTTTTxgxfTxgxfTxgxf其周期其周期常見函數(shù)的周期期的函數(shù)為周如果存在的最小公倍數(shù)是以則為周期的函數(shù)分別是以若為周期的函數(shù)通常也是以則為周期的函數(shù)均是以若注注:求給定函數(shù)的周期或有關(guān)函數(shù)周期性的證

11、明求給定函數(shù)的周期或有關(guān)函數(shù)周期性的證明,主主要是利用周期函數(shù)的定義及周期函數(shù)的運算性質(zhì)要是利用周期函數(shù)的定義及周期函數(shù)的運算性質(zhì).)()()()(40 xfTxfxfTxf 若若12(3)有界性有界性1)1cos1sin(lim.1cos1sin:222222 xxxxxxyx因為是界的函數(shù)例如.)(, 0;)(,| )(:|, 0,)(無界上在區(qū)間則稱若不存在這樣的上有界在區(qū)間則稱恒有對于一切使得如果上有定義在區(qū)間設(shè)函數(shù)XxfMXXxfMxfXxMXxfy 注注: :證明或判定函數(shù)的有界性主要依據(jù)是證明或判定函數(shù)的有界性主要依據(jù)是: :1.1.有界性的定義有界性的定義; ;2.2.閉區(qū)間上

12、的連續(xù)函數(shù)是有界的，如果閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是有界的，如果上連續(xù)，且上連續(xù)，且 則則 上上有界；有界；3.3.有極限的數(shù)列必有界有極限的數(shù)列必有界. .),()(在xf，xfxfxx都存在)(lim),(lim),()(在xf13),( ;|cot|;2|arctan|1 , 1 ;|arccos|;2|arcsin| ),( ; 1|cos|; 1|sin|: xarcxxxxx六個常見函數(shù)的有界性.)(|).|21(21|2|1|1| )(|:1)(. 22222有界所以函數(shù)因為解的有界性判斷函數(shù)例xfxxxxxxxxxfxxxf14.)()()()()(:,212121的或單調(diào)減少加則稱在

13、區(qū)間上是單調(diào)增或恒有xfxfxfxfxx XxxXxfxfxfxfxfxxXxxXxf 2121212121,;)()()()()()(,)(如果對的或嚴(yán)格單調(diào)減少上是嚴(yán)格單調(diào)增加在區(qū)間則稱或恒有如果對上有定義在區(qū)間設(shè)函數(shù)(4)單調(diào)性單調(diào)性*對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)的對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)的.注注:已知函數(shù)可導(dǎo)時已知函數(shù)可導(dǎo)時,利用一階導(dǎo)數(shù)判定其單調(diào)性利用一階導(dǎo)數(shù)判定其單調(diào)性;未未告之可導(dǎo)時告之可導(dǎo)時,用單調(diào)性定義判定用單調(diào)性定義判定.15( (二二) )數(shù)列與函數(shù)的極限數(shù)列與函數(shù)的極限1.變量的變化過程變量的變化過程0,xxxn .lim, 0lim, 0l

14、im:)(lim,)(;)(lim,)(;)1(不存在例如記作為極限以時當(dāng)記作極限以時當(dāng)兩種情況和表示xxxxxxxxeeeAxfAxfxAxfAxfxxxx AxfAxfxxxxxxxxxx )(lim,)(,),()2(00000應(yīng)記作為極限以時當(dāng)16.lim; 0lim;lim:;,;,)(lim,)(,11111111100000000不存在例如的一側(cè)無限趨于從小于沿軸表示的一側(cè)無限趨于從大于軸沿表示應(yīng)記作為極限以時當(dāng) xxxxxxxxeeexxXxxxxxXxxxAxfAxfxxAnfAxfnx )(lim,)(lim)3(則有若.,)()4(0無關(guān)與函數(shù)在該點有無定義有無極限在點函

15、數(shù)xxf17)()(lim:)()(lim:)(. 200000 xfAxfxfAxf、xxfxxxx 記為左極限記為右極限右極限的左在點函數(shù).)()(lim)(lim)(lim.)(0000用左右極限法在分段點處的極限要含絕對值函數(shù)求分段函數(shù)即左右極限存在且相等條件是處極限存在的充分必要在點函數(shù)AxfxfAxfxxfxxxxxx 注注183.極限的性質(zhì)極限的性質(zhì):唯一性；局部有界性；局部保號性；唯一性；局部有界性；局部保號性；局部比較性。有極限必有界局部比較性。有極限必有界,反之不然反之不然.4.極限存在的兩個準(zhǔn)則極限存在的兩個準(zhǔn)則:夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則AxAzyzxy

16、NnNxnnnnnnnnnn lim,limlim,:)2(;:)1(則若恒有當(dāng)若存在自然數(shù)夾逼定理必有極限單調(diào)有界數(shù)列單調(diào)有界準(zhǔn)則)(,()(11(lim)1(lim)11(lim)0)(, 0( 1)()(sinlim1sinlim)(1000 xxexexxxxxxxxxxxxxxxx 5.兩個重要極限兩個重要極限19)(1)(lim)(1)(1)(1)(1)(1lim1)(lim:xgxfxgxfxfxgexfxf 型注5.函數(shù)極限的運算法則函數(shù)極限的運算法則)0()(lim)4()0()(lim)(lim)()(lim) 3()(lim)(lim)()(lim)2()(lim)(li

17、m)()(lim) 1 (,)(lim;)(lim)()()(00AAxfBBAxgxfxgxfABxgxfxgxfBAxgxfxgxfBxgAxfBxgxxxxxx則設(shè)20;,:為零的極限都存在且分母不必須是各部分的應(yīng)用極限運算法則時注01lim01limlim1sinlim:0000 xxxxxxxxx例如6.6.無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量.,.)(, 0)(lim:)1(0)(0反之不然無窮小量極限為零的變量稱簡言之時為無窮小量或當(dāng)則稱若無窮小量 xxxxfxfxxx.)(,)(lim:)2(0)(0時為無窮大量或當(dāng)則稱若無窮大量 xxxxfxfxxx21注注：（：（1 1）無

18、窮小量與無窮大量不是絕對的無窮小量與無窮大量不是絕對的, ,它是與某個它是與某個變化過程聯(lián)系在一起的變化過程聯(lián)系在一起的. .當(dāng)我們說某個量是無窮小量或當(dāng)我們說某個量是無窮小量或無窮大量一定要指明變化過程無窮大量一定要指明變化過程. .（2 2）無窮大量是無界量，反之不然；）無窮大量是無界量，反之不然；.sin:是無界量但不是無大量例如xxy （3 3）無窮小的運算性質(zhì)）無窮小的運算性質(zhì) 有限個無窮小的代數(shù)和仍為無窮?。挥邢迋€無窮小的代數(shù)和仍為無窮??； 有限個無窮小的乘積仍為無窮??；有限個無窮小的乘積仍為無窮小； 無窮小量與有界變量（含常量）的乘積仍為無窮??；無窮小量與有界變量（含常量）的乘積

19、仍為無窮?。唬? 4）無窮大與無窮小的關(guān)系）無窮大與無窮小的關(guān)系在同一變化過程中，無窮大的倒數(shù)是無窮??；無窮在同一變化過程中，無窮大的倒數(shù)是無窮小；無窮小的倒數(shù)是無窮大。小的倒數(shù)是無窮大。225.5.無窮小的比較無窮小的比較設(shè) , 1lim)4(.),0(lim)3(.,lim)2()(0, 0lim)1(,記為是等價無窮小與則稱是同階無窮小與則稱低階的無窮小是比則稱記為高階的無窮小是比則稱如果個無窮小量是同一變化過程中的兩設(shè) cc23.)()(;)()(;)()(;)()()( ,0, 232)(:較低階的無窮小是比較高階的無窮小是比是同階無窮小與是等價無窮小與時則當(dāng)設(shè)例xxfDxxfCxx

20、fBxxfAxxfxx 3ln2ln)3ln32ln2(lim)00(232lim.:00 xxxxxxx根據(jù)極限值做結(jié)論個無窮小比的極限無窮小的比較就是求兩分析 極限值非零且不等于極限值非零且不等于1,根據(jù)無窮小階的比較根據(jù)無窮小階的比較,(B)成立成立.24( (三三) )函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性0 x1.連連續(xù)的概念續(xù)的概念定義定義1:設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在點在點 的鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自的鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量變量x在點在點 處取得的改變量處取得的改變量 時，函數(shù)相應(yīng)的時，函數(shù)相應(yīng)的改變改變 量量 即，即， 則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x)點點 處連續(xù)，稱點處連續(xù)，稱點 為連續(xù)點。為連續(xù)點

21、。0 x0 x0 y0)()(limlim0000 xfxxfyxx0 x0 x.)().)()(lim)3();()(lim)2();()()1(:)(:)(200000處連續(xù)在點則稱極限值等于函數(shù)值有極限存在有定義的某鄰域內(nèi)有定義在點滿足條件設(shè)函數(shù)函數(shù)點連續(xù)的三條件定義xxfxfxfxfxxfxfxxxx 25)()(),()(lim)3(;)(lim)2( ;)()1(00000不不連連續(xù)續(xù)點點的的間間斷斷點點為為則則稱稱點點不不存存在在處處無無定定義義在在點點xfxxfxfxfxxfxxxx 3.3.間斷點的類型間斷點的類型第第類間斷點類間斷點:左右極限都存在的間斷點左右極限都存在的間

22、斷點.其中其中.),()()2(.),()()()1(0000000稱為跳躍間斷點若稱為可去間斷點若xxxfxfxxxfxfxf 第第類間斷點：左右極限至少有一個不存在的間斷點類間斷點：左右極限至少有一個不存在的間斷點.)()(000稱為無窮間斷點則之中至少有一個為若xxx、fxf 26注：一般而言，證明的命題用連續(xù)函數(shù)的第一個定義方便；注：一般而言，證明的命題用連續(xù)函數(shù)的第一個定義方便；判定函數(shù)在某點是否連續(xù)，尤其是分段函數(shù)在分段點處是否判定函數(shù)在某點是否連續(xù)，尤其是分段函數(shù)在分段點處是否連續(xù)用定義連續(xù)用定義2 2方便。方便。.)(),()(lim;)(),()(lim:)(30000000

23、處右連續(xù)在點則稱函數(shù)處左連續(xù)在點則稱函數(shù)如果右連續(xù)處左在點定義xxfxfxfxxfxfxf、xxxxx .,)(,),()(:)(4上連續(xù)在則稱處左連續(xù)在右連續(xù)處在內(nèi)連續(xù)在若區(qū)間連續(xù)定義baxfbxaxbaxf 2.2.函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點:)(0一一處處出出現(xiàn)現(xiàn)以以下下三三種種情情形形之之在在若若xxf274.4.連續(xù)函數(shù)的運算法則連續(xù)函數(shù)的運算法則則處連續(xù)均在點如果函數(shù),)(),()1(0 xxxgxf )0)()()(),()(),()( xgxgxfxgxfxgxf也在點也在點 處連續(xù)處連續(xù).0 xx 連續(xù)處在則復(fù)合函數(shù)處連續(xù)在處連續(xù)在設(shè)函數(shù)0000(,)()(,)()2(xxxg

24、fyxguufyxxxgu .)(,)()3(1上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)也在對應(yīng)區(qū)間則它的反函數(shù)單調(diào)且嚴(yán)格在某區(qū)間上連續(xù)設(shè)函數(shù)yfxxfy 28.)4(區(qū)間上連續(xù)一切初等函數(shù)在其定義4.4.閉區(qū)間上連續(xù)函的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函的性質(zhì).,)(,)(: 1上有界在則續(xù)上連在設(shè)函數(shù)連續(xù)函數(shù)的有界性定理baxfbaxf;,)(:)(2小值各一次上至少取得最大值與最則在上連續(xù)在設(shè)函數(shù)最值定理定理babaxf )(,)()(,)(:)(3fbamMbfafbaxf使得上至少存在一個則在任一實數(shù)之間的與最小值或最大值與是介于上連續(xù)在設(shè)函數(shù)介值定理定理290)(,),(, 0)()(,)(:).(4 fbabfafba

25、xf使得內(nèi)至少存在一點則在且續(xù)上連在設(shè)函數(shù)零點或根的存在定理定理二、基本問題與解法二、基本問題與解法問題問題( (一一):):求函數(shù)定義域求函數(shù)定義域1.1.求由一個解析式解出的函數(shù)的定義域求由一個解析式解出的函數(shù)的定義域運算依據(jù)運算依據(jù):; 0)(:),(log; 0)(:, )(; 0)(:,)(12 xDxyxDxyxDxyfafnf 301|:|),arccos(arcsin,:,cot,2:,tan xDxxyZkkxDxyZkkxDxyfff或 運算方法：運算方法： （1）根據(jù)滿足的條件列不等式（組）；）根據(jù)滿足的條件列不等式（組）； （2）解不等式（組），借助數(shù)軸找各不等式解的）

26、解不等式（組），借助數(shù)軸找各不等式解的公共部分即為函數(shù)的定義域（一般用區(qū)間表示）。公共部分即為函數(shù)的定義域（一般用區(qū)間表示）。例例1.求下列函數(shù)的定義域求下列函數(shù)的定義域)16log(sin)2(;4arcsin)1(2xxyxy 3112211221|04arcsin)1(: xxxxx 由解 xxxx040160sin)2(2或2.已知已知 的定義域求的定義域求 的定義域的定義域運算方法：將運算方法：將 視為視為x，由，由 的變化范圍確定的變化范圍確定x的變化范圍即為的變化范圍即為 的定義域的定義域.)(xf)(xgf)(xg)(xg)(xgf04 -4 2 x32)2()2();3()1

27、(,21, 210, 1)(. 2xfxfxxxf 求下列函數(shù)的定義域設(shè)例 12, 223, 1231, 2130, 1)3()1(:xxxxxf解1, 3 : fD故1 , 0 :)2(121, 2210, 1221, 2120, 1)2()2(fDxfxxxxxf的定義域為的定義域為 33的的定定義義域域的的定定義義域域求求已已知知)()(. 3xfxf 運算方法：由運算方法：由 的定義域知道的定義域知道 的變化范圍，的變化范圍，再由再由 的變化范圍求得的變化范圍求得 的變化范圍即為的變化范圍即為 的定義域的定義域.)(xf xx)(x )(xf)()(,2 , 1 )(ln3為為的定義域

28、的定義域則則的定義域為的定義域為設(shè)設(shè)例例xfxf2ln, 0 :)(2lnln0, 2lnln1ln21:的的定定義義域域為為即即由由分分析析xfxxx 34的定義域的定義域求函數(shù)求函數(shù)設(shè)設(shè)例例)(, 0,1)1(. 422xfxxxxxf 0)1(, 2)(211:22222 xxttftxxxxt令解22)(, 22)(, 212222 xxxfttfxx的定義域為于是函數(shù)故4.利用函數(shù)利用函數(shù) 的值域求其定義域的值域求其定義域)(xf分析分析:先先 求的表達(dá)式求的表達(dá)式,再解不等式再解不等式)(xf35問題問題( (二二) )：求函數(shù)關(guān)系與函數(shù)表達(dá)式：求函數(shù)關(guān)系與函數(shù)表達(dá)式)(xf)(x

29、gf1.已知已知 求求 代入法代入法運算方法：將運算方法：將 中的中的 換成換成 并加以整理并加以整理)(xf)(xgx)(1(1)(. 1xffxxxf，試求若例 1111)(111)(1)(1)(1(: xxxxfxfxfxff解2.已知已知 求求)(xf)(xgf方法一方法一：將：將 化為化為 的函數(shù)的函數(shù) ，)(xf)(xg)(xgf1.已知已知 求求 代入法代入法36再根據(jù)函數(shù)表示與自變量用什么字母表示無關(guān)的特性再根據(jù)函數(shù)表示與自變量用什么字母表示無關(guān)的特性求得求得)(xf方法二方法二( (變量代換法變量代換法):):令令 求得求得 代入原代入原,)(txg )(1tgx 式得式得)

30、()(1tgftf 從而從而)()(1xgfxf )(, 1)1(. 23xfxxf求求設(shè)設(shè)例例 1)1()(11)1(1)(1:33333 xxfxxx故故因因為為解解一一1)1()(1)1()()1(,1:3333 xxfttf，txtx即即得得代入原式代入原式令令解二解二373.已知已知)()(xgfxf求求 )()()(:xgfxfxf 運算方法_)2(,2)2(. 342 xfxxfxx則若例42)2(22)2(2)(,2:42224)2(4)2( xxftttftxxxttt從而得代入原式令分析4.已知已知 及及 的表達(dá)式求的表達(dá)式求)(xgf)(xf)(xf運算方法運算方法:變量

31、代換變量代換,解方程組解方程組38)()(,)1(2)()(. 4 xfxxfxfxf則則滿足滿足若若例例)2(31)(1)1()(2)1(2)(:1)1()(2,1)(2)1(,11:xxxfxxfxfxxfxfxxfxfttftftxtx 解方程組即代入得令分析4.4.求反函數(shù)的表達(dá)式求反函數(shù)的表達(dá)式 運算方法：運算方法：（1）從）從y=f(x)中解岀中解岀（2）對換）對換x,y的位置，即得反函數(shù)的位置，即得反函數(shù) (3)y=f(x)的值域即為的值域即為 的定義域的定義域.分段函數(shù)的反分段函數(shù)的反)(1xfy )(1yfx )(1xfy 39函數(shù)要分段求，并同時確定各段反函數(shù)所定義的區(qū)間函

32、數(shù)要分段求，并同時確定各段反函數(shù)所定義的區(qū)間. )()1(log. 5122xfyxxy 的反函數(shù)的反函數(shù)求求例例)2(1112)1(21:222xxxxxxyy 由解)22(21)22(21,222:)2()1(xxyyyyyxx 故反函數(shù)為，),(),(域為故反函數(shù)的定義由于原函數(shù)的值域為40問題問題( (三三):):求極限求極限)0, 0( ,)()()(00110110 baxQxPbxbxbaxaxaxfmnmmmnnn設(shè) 時）時）0)()()()(0)(, 0)(,)0)(,)()()()(000000000lim0 xQxPxQxPxPxQxQxQxPxQxPmnmnnmmmnn

33、nxx1.1.有理分式的極限有理分式的極限有時當(dāng),)1(0 xx 。、xQxPmn再代值解因式消去零因子后分母分也可將分子時當(dāng)注,0)()(:00 41時，用同除法求得或當(dāng))()2( nxnmnmnmbaxbxaxQxPmnnxmnnx, 0,lim)()(lim0000)()(中至少有一個含根式且設(shè))(),(,)()()(xQxPxQxPxf 2.2.無理式的極限無理式的極限.)(,)()2(;,)1(0分母有理化的方法并結(jié)合使用分子分母的最高次冪同除分子同除法反復(fù)用時或當(dāng)同有理分式極限的求法時當(dāng)、nxxx 42xxxxxxsin114lim. 122 求例1112sin114sin114l

34、im,:22112122lim ttttttttxtttttt分分子子、分分母母同同除除原原式式令令解解)(lim. 2xxxxx 求例21)(lim:xxxxxxxx同除分子有理化原式解 43),0 ,1 ,0 ,00(. 300 未定式極限的求法)0)(0( 1)()(sinlim1sinlim00 xxxxxxxx時，當(dāng)(1)(1)利用重要極限求極限利用重要極限求極限特征：特征：1）在某個變化過程中呈三角函數(shù)）在某個變化過程中呈三角函數(shù) 型；型； 2）正弦變量與分母變量相同且都趨于零）正弦變量與分母變量相同且都趨于零.”00“11arctanlimarcsinlimtanlim:000

35、xxxxxxxxx注)0)(,0()(1(lim)1(lim)11(lim)(1010 xxexexxxxxxxx 時當(dāng)244. 1,)3;)1()2;1,)1:指數(shù)的乘積等于第一項與括號外的括號內(nèi)有兩項的形式無窮小可化為型呈在某個變化過程中特征無窮大 注注:滿足第一特征可以考慮用重要極限滿足第一特征可以考慮用重要極限;滿足第二特滿足第二特征一定能夠用重要極限征一定能夠用重要極限;第三個特征告訴你怎么用第三個特征告訴你怎么用.;3sin2sinlim)3( ;sinlim)2( ;cos1lim)1(. 100 xxxxxxxxx 求求下下列列極極限限例例4522sin22lim212sin2

36、lim2sin2lim)1(:0020 xxxxxxxxx解解1)sin(limsinlim)2( xxxxxx 32333sin222sinlim3sin2sinlim)3(00 xxxxxxxxxx13)21(lim)2(;)21(lim)1(. 2 xxxxxxx求下列極限例46121lim)21()2(6)6()2()211(lim)2()2(1 lim)1(: eexexxxxxxxxxx原式原式解例例3.3.求下列極限求下列極限xxxxxxxx)1sin1(coslim)2(;121sinlim)1(22 21121lim11211sinlim121sinlim)1(:222 xx

37、xxxxxxxxxx原式解47exxxxxxx 222)2sin1(lim)1sin1(coslim)2(原式例例4.求下列極限求下列極限baaxbxaxaxbabxbxbxaxaxaxbxaxxxxx sinlimsinlim)1sinsin(limsinsinlim)1(00002)2(sin2)2(4lim)2(sin2limcos1lim)2(22022020 xxxxxxxxxeexxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 12)1(2lim12)1(22121122)1221(lim)1221(lim)1232(lim)4.()11(lim)1(lim)3(ennnnnnnnnn

38、nnnnn )11(lim1)1(11sinlim1sin)1(lim)4(1482cos1120)sin1(lim)5(exxx (2).(2).利用等價無窮小代替求極限利用等價無窮小代替求極限注注: 只有求無窮小比的極限時，才能考慮用等價無窮只有求無窮小比的極限時，才能考慮用等價無窮小代替，并且要對整個分子或整個分母（含無窮小的因小代替，并且要對整個分子或整個分母（含無窮小的因式）或同時對分子、分母進(jìn)行代替，乘除運算盡管用，式）或同時對分子、分母進(jìn)行代替，乘除運算盡管用，加減運算不宜用。加減運算不宜用。49常用的等價無窮小常用的等價無窮小:當(dāng)當(dāng)xxxxxxarctan,tan,sin0 x

39、xxxxxxxxarctan,arcsin,tan,sin)1(2)(cos12cos1 )2(22xxxx axaxxxxxxxxln1,)1ln()1ln()1ln()3(2 xexexx 11)4( xxxxarctanarcsintansin50一般地.1111)5(nxxnxxnn )0(1)1 (xxx例例5. 求下列極限求下列極限babxxbxaxbxxbxaxbxxaxxxxxx 20020020limlimtanlimtansinlimtansinlim)1(21)(lim)1ln(11lim)2(221020 xxxxxxxxxxxxxxxx1sin11tan1limsin

40、1tan1lim)3(00 5112121sinlimtanlim1sin1lim1tan1lim21021000 xxxxxxxxxxxx81)(lim21)cos1(lim)cos1cos(1lim)4(4222104221040 xxxxxxxxx(3)(3)利用羅比塔法則求極限利用羅比塔法則求極限)()()(lim),00()()(lim 或Axgxfxgxf52一般不注意對數(shù)與反三角函數(shù)將其改寫成分式型對于型或變量替換等方法化為化根式有理型利用通分對于用羅比塔法則型后再或變換化為定式可通過適當(dāng)?shù)淖冃螌τ谄渌葱托秃土_比塔法則適用于,0;00;00”“”00“)1 、，)(ln00)(

41、:”1“”“0;xfexfe、 為底的指數(shù)函數(shù)化為以型利用對數(shù)恒等式對于下放為分母532) 羅彼塔法則可連續(xù)地用，每用一次都要化簡，充分利用羅彼塔法則可連續(xù)地用，每用一次都要化簡，充分利用極限四則運算法則、等價無窮小代替以及極限四則運算法則、等價無窮小代替以及非零因子的極限非零因子的極限先求出耒簡化算式，先求出耒簡化算式，檢查發(fā)現(xiàn)不是未定式，就不要用羅彼檢查發(fā)現(xiàn)不是未定式，就不要用羅彼塔法則。塔法則。3) 使用羅彼塔法則過程中，出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象、有常見極限不存使用羅彼塔法則過程中，出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象、有常見極限不存在的情況在的情況(并非無窮大并非無窮大)就要改用它法。如果分子、分母求導(dǎo)就要改用它法。如果

42、分子、分母求導(dǎo)后，算式俞趨復(fù)雜，就要按后，算式俞趨復(fù)雜，就要按2)的方法處理。的方法處理。例例6. 求下列極限求下列極限xxxxxexxxsintanlim)2(;1)1ln(lim).1 (202541111lim1lim11lim)1() )1(ln(lim)() 1 (:222xxeexxeexexxxxxxxxx原式解注注: : 此處利用了極限運算法則此處利用了極限運算法則, ,分子分母分別求導(dǎo)分子分母分別求導(dǎo)(2) 此題直接用羅比塔法則很麻煩，應(yīng)先將極限存在的非零此題直接用羅比塔法則很麻煩，應(yīng)先將極限存在的非零因子分離出耒先求其極限因子分離出耒先求其極限.31tanlim316tan

43、sec2lim31seclimtanlimsintanlimsin1tanlim020220303020 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx原式例例7.求下列極限求下列極限)1arctan4(lim)2(:2tan)1 (lim) 1 (1xxxxxxx55 xxxxxxxxx2221222111cos)1(lim2)1(cos1lim2)1(2tanlim)0)(1( : 解2sin1lim2sincos2)1 (2lim212221xxxxxxx)sin2sin2cos2(xxx 2221114)1(1)(11limarctanlim)0()2( xxxxxxxxx 原原式

44、式21)1 (lim222xxxx（4 4）利用變量代換求極限）利用變量代換求極限通過線性變換、指數(shù)變換、三角變換、無理變換、加一通過線性變換、指數(shù)變換、三角變換、無理變換、加一減一、乘一除一、分解折項、倒代換等化為常規(guī)型減一、乘一除一、分解折項、倒代換等化為常規(guī)型56xxxxxxx2tan)1(lim)2();11ln(lim)1(. 8212 求例 則原式令解,1:tx2121lim)1ln(lim)1ln(11lim110002020ttttttttttt 422sin1lim2cos1lim2sin)1(limcossin)1)(1(lim2tan)1(lim)2(121122121

45、xxxxxxxxxxxxxxxx極限存在的非零極限存在的非零因子先其求極限因子先其求極限57)()1tan(lim. 92為自然數(shù)求例nnnnn 322tantan0101)tan1(lim)tan(lim)1tan(limttttttttttxxxtttttxx 令3131tanlim230)1tan(limennenntttet 解解: :離散變量連續(xù)化離散變量連續(xù)化, ,先轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限先轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限, ,再用羅再用羅比塔法則比塔法則58求一個函數(shù)的極限首先判定屬于哪一種類型，如果不是求一個函數(shù)的極限首先判定屬于哪一種類型，如果不是公式型或常規(guī)型就要通過適當(dāng)?shù)淖冃巫儞Q化簡使之能用公

46、式型或常規(guī)型就要通過適當(dāng)?shù)淖冃巫儞Q化簡使之能用上述方法求解。特別注意有非零因子的極限要先求上述方法求解。特別注意有非零因子的極限要先求; ;盡量盡量要用等價無窮小代換化簡要用等價無窮小代換化簡; ;盡量利用極限運算法則分項求，盡量利用極限運算法則分項求，或分子分母分別求。通常求一個函數(shù)的極限不是只用一種或分子分母分別求。通常求一個函數(shù)的極限不是只用一種方法就能夠湊效，而是需要綜合用各種方法包括利用微積方法就能夠湊效，而是需要綜合用各種方法包括利用微積分的有關(guān)知識才能解出。分的有關(guān)知識才能解出。求極限問題小結(jié)求極限問題小結(jié): :59)1)11ln()11ln(cos1sin)3(limln)1l

47、n(cos1sin)3(lim)1(2222xxxxxxxxxxxxxxx 其中例例10.求下列極限求下列極限1010cos11sin1sin3limcos1sin1sin3lim1cos1sin)3(lim222 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx60)()cos1(21)1(lim)cos1(cos1lim)2(sinsin000sin0分子提公因子 xxeexxeexxxxxxx323lim43cos1lim441sinlim2121sinlim2221020302sin0 xxxxxxxxxxxexxxxx)cos1(21)cos1(cos1;sin1(sinxxxxxxexx 其

48、中61301)3cos2(lim)3(xxxx 61)21(31lim31coslim,31cos)31cos1ln(3cos2ln11)3cos2(320303cos2ln xxxxxxxxxxxxexxxxxx原式原式) 0)(ln)(lim),(ln)(11)()(ln)()( xfxgxfxgexfxfxgxg62a，ecxxbxaxx求求已已知知2)1()21ln()cos1(tanlim)4(20 422020)1(lim)21ln(lim)cos1(limtanlim)1()21ln()cos1(tanlim,:2200000 aaaxecxxxxbxxaxecxxxxbxxax

49、xxxxxxx原式原式得得分子分母同除分子分母同除解解63的值確定已知baxbaxfx, 0)(),;(lim. 1 問題問題( (四四): ): 極限、連續(xù)問題中常數(shù)的確定極限、連續(xù)問題中常數(shù)的確定 mnmnmnbabxbxbaxaxammmnnnx, 0,lim00110110運算依據(jù)運算依據(jù):babaxxxx, 0)11(lim. 12求設(shè)例 11001011)()1(lim:2babaaxbxbaxax原式解64babaxxxx, 0)1(lim. 22求設(shè)例 xbaxxxbabxabaxxxbxabxaxxx 22222221111)21()1(lim11)21()1(lim同除21

50、, 10210101)21()1(lim2 baabaaabxax解解:左邊左邊(分子有理化分子有理化)=.)2( ;)1(1)(,1, 11,1,11(. 3連續(xù)有極限處在使函數(shù)的值確定設(shè)例 xxfbaxaxxbxxxxf6521)()(lim)2(21211:, 1)1(lim)(lim2111lim)1)(1(1lim11lim)(lim)()()(lim)1( :01111110000 bxfxfaaaaxxfxxxxxxxfAxfxfAxfxxxxxxxxxx由于是有知由解的的值值確確定定已已知知bacxbaxfx,)(),;(lim. 20)( 0),;(,0)()3(0),;(,

51、0)()2(0),;(,0)()1(baxfxbaxfxbaxfxxx必有時若必有時若必有時若 運算依據(jù)運算依據(jù): :66的值求已知例babxaxxx, 0)3sin(lim. 4230 0663cos27lim663sin9lim0)33cos3(lim0333cos3lim)(0)3(sinlim,3sinlim:002022030330bxxbxxbxaxxbxaxbxaxxxbxaxxxxxxxx由由原原式式解解 29, 0627303bbaa67問題問題(五五):函數(shù)連續(xù)性的判定與間斷點的識別函數(shù)連續(xù)性的判定與間斷點的識別.)3( ;)2( ;)1(:)(.)(. 100等于函數(shù)值等

52、于函數(shù)值極限值不極限值不極限不存在極限不存在無定義無定義間斷間斷一則一則處出現(xiàn)以下三種情形之處出現(xiàn)以下三種情形之在點在點函數(shù)函數(shù)若若續(xù)的三條件來判定續(xù)的三條件來判定段點的連續(xù)性要用點連段點的連續(xù)性要用點連分分特別是判定分段函數(shù)在特別是判定分段函數(shù)在相等且等于函數(shù)值相等且等于函數(shù)值左右極限存在左右極限存在處連續(xù)處連續(xù)在點在點函數(shù)函數(shù)xxfxxf2.判定間斷點的類型判定間斷點的類型找出函數(shù)的定義域找出函數(shù)的定義域,若點若點 無定義無定義,則則 為間斷點為間斷點;0 x0 x若有定義若有定義,再看再看 是否為初等函數(shù)定義區(qū)間內(nèi)的點是否為初等函數(shù)定義區(qū)間內(nèi)的點,若若0 x68是是, 則為連續(xù)點則為連續(xù)

53、點;若不是若不是,則看極限則看極限 是否存在是否存在,0 x)(lim0 xfxx若不存在若不存在,則則 為間斷點為間斷點;若存在若存在,則看極限值是否等于函則看極限值是否等于函0 x數(shù)值數(shù)值,若若)()(lim00 xfxfxx ,則則 為連續(xù)點為連續(xù)點;若不相等若不相等,則則0 x0 x點點 為間斷點為間斷點.最后根據(jù)間斷點的定義判定其類型最后根據(jù)間斷點的定義判定其類型.例例1.判定下列函數(shù)在指定點是否連續(xù)判定下列函數(shù)在指定點是否連續(xù)?并指出間斷點并指出間斷點的類型的類型0,0,20, 1)()2(1,11)()1(2 xxxxxxfxxxxf690,0,210,1cos)()4(0,)(

54、)3(21 xxxxxxfxexfx21111111( )111lim( )limlim121lim( ), lim( )1xxxxxxf xxf xxxf xf xx（）時，不存在，故在點處不連續(xù)。又均存在且相等，所以為第一類可去間斷點。解解:7000,20, 1)()2(xxxxxxf2)2(lim)(lim, 1) 1(lim)(lim2)0(00000 xxfxxffxxxxx，時，00lim( )lim( )( )0 xxf xf xf xx在處不連續(xù)。左、右極限均存在但不相等，第一類跳躍間斷點。7110000,(0)( )0( ),( )0limlimlimxxxxxff xxf xef xx 不存在，在處不連續(xù)。又不存在。所以為第二類間斷點或為無窮型間斷點。1(3)( )0 xf xex2cos1014( )0(0)1202xxxf xxfx （ ）時，722220002202sincos12lim( )limlim2()12 lim2xxxxxxf xxxxx 處連續(xù)。在0)()0()(lim0 xxffxfx問題問題(六六):無窮