函數(shù)、極限與連續(xù)(4)課件

1、第一章分析基礎(chǔ)分析基礎(chǔ) 函數(shù)函數(shù) 極限極限 研究對(duì)象 研究方法 研究橋梁函數(shù)、極限與連續(xù) 第一章 二、函數(shù)二、函數(shù) 一、集合一、集合第一節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 映射與函數(shù)元素 a 屬于集合 M , 記作元素 a 不屬于集合 M , 記作一、一、 集合集合1. 定義及表示法定義及表示法定義定義 1. 具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱(chēng)為集合集合.組成集合的事物稱(chēng)為元素元素.不含任何元素的集合稱(chēng)為空集空集 , 記作 . aM( 或aM) .aM注注: M 為數(shù)集 *M表示 M 中排除 0 的集 ;M表示 M 中排除 0 與負(fù)數(shù)的集 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 表示法表示法：(1

2、) 列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素 .例例: 有限集合12,nAaaa1niia自然數(shù)集N0,1, 2, nn(2) 描述法： Mx x 所具有的特征例例: 整數(shù)集合Z xNx或Nx 有理數(shù)集QpqZ,N ,pq p 與 q 互質(zhì)實(shí)數(shù)集合R x x 為有理數(shù)或無(wú)理數(shù)開(kāi)區(qū)間(,) a bxaxb閉區(qū)間, a bxaxb機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ()aaU( ,) ax,) a bxaxb(, a bxaxb無(wú)限區(qū)間,) ax ax(, bxxb(,) x Rx點(diǎn)的 鄰域鄰域a( ,) axaxa xxa0 xa其中, a 稱(chēng)為鄰域中心 , 稱(chēng)為鄰域半徑 .半開(kāi)區(qū)間去心 鄰域鄰域

3、左左 鄰域鄰域 :(, ),aa右右 鄰域鄰域 :( ,).a a機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 是 B 的子集子集 , 或稱(chēng) B 包含 A ,2. 集合之間的關(guān)系及運(yùn)算集合之間的關(guān)系及運(yùn)算定義定義2 .則稱(chēng) A.AB若AB,BA且則稱(chēng) A 與 B 相等相等,.AB例如 ,NZZQQR顯然有下列關(guān)系 :(1);AA;AA(2) ABBC且AC , ,A若xA,xB設(shè)有集合,A B記作記作必有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 AcABB定義定義 3 . 給定兩個(gè)集合 A, B, 并集 ABxxA交集 ABxxAxB且差集 A BxxAxB且定義下列運(yùn)算:ABBA余集()cABA BBA其中

4、直積( , ) ABx y,xAyB特例:R R記2R為平面上的全體點(diǎn)集AA BBABAB機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xB或定義域三、函數(shù)三、函數(shù)1. 函數(shù)的概念函數(shù)的概念 定義定義4. 設(shè)數(shù)集R,D 則稱(chēng)映射:RfD 為定義在D 上的函數(shù) , 記為( ),yf xxD f ( D ) 稱(chēng)為值域 函數(shù)圖形函數(shù)圖形:( ,) Cx yxD( ),yf xxy( , )Da babxy()Df D機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 自變量因變量xD f()( ),yf Dy yf x xD(對(duì)應(yīng)規(guī)則)(值域)(定義域)例如, 反正弦主值( )arcsinyf xx 1,1,D 22(),f

5、 D 定義域：定義域： 對(duì)應(yīng)規(guī)律對(duì)應(yīng)規(guī)律的表示方法: 解析法、圖象法、列表法使表達(dá)式及實(shí)際問(wèn)題都有意義的自變量集合.定義域值域xyoyx( )f xx又如, 絕對(duì)值函數(shù),0 xx ,0 xx定義域RD 值 域()0,)f D 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 已知函數(shù)2,01( )1,1 xxyf xxx求 12( )f及1( ),tf解解:1122( )2f21( )tf01t 11,t1t 2,t0t 時(shí)函數(shù)無(wú)定義并寫(xiě)出定義域及值域 .定義域 (0,)D 值 域 ()0,)f D 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性設(shè)函數(shù)( ),yf xxD且

6、有區(qū)間.ID(1) 有界性有界性,xD 0,M使( ),f xM稱(chēng) ( )f x,xI 0,M使( ),f xM稱(chēng) ( )f x說(shuō)明說(shuō)明: 還可定義有上界、有下界、無(wú)界 (2) 單調(diào)性單調(diào)性為有界函數(shù).在 I 上有界. ,xD使若對(duì)任意正數(shù) M , 均存在 ( ),f xM則稱(chēng) f ( x ) 無(wú)界無(wú)界.稱(chēng) 為有上界有上界稱(chēng) 為有下界有下界,( ),f xM,( ),Mf x當(dāng)12,x xI12xx時(shí),12()(),f xf x若稱(chēng) ( )f x為 I 上的12()(),f xf x若稱(chēng) ( )f x為 I 上的單調(diào)增函數(shù) ;單調(diào)減函數(shù) .xy1x2x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yox

7、x(3) 奇偶性奇偶性,xD 且有,xD 若()( ),fxf x則稱(chēng) f (x) 為偶函數(shù);若()( ),fxf x 則稱(chēng) f (x) 為奇函數(shù). 說(shuō)明說(shuō)明: 若( )f x在 x = 0 有定義 ,(0)0.f( )f x為奇函數(shù)奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)必有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (4) 周期性周期性,0,xDl 且,xlD ()( )f xlf x則稱(chēng)( )f x為周期函數(shù) ,xo2xy2若稱(chēng) l 為周期 ( 一般指最小正周期 ).周期為 注注: 周期函數(shù)不一定存在最小正周期 .例如, 常量函數(shù)( )f xC狄里克雷函數(shù)( )f x x 為有理數(shù)x 為無(wú)理數(shù)1,0,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下

8、頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)(1) 反函數(shù)的概念及性質(zhì)若函數(shù):()fDf D為單射, 則存在逆映射1:( )ff DD習(xí)慣上,( ),yf xxD的反函數(shù)記成1( ) ,()yfxxf D稱(chēng)此映射1f為 f 的反函數(shù) .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 其反函數(shù)(減)(減) .1) yf (x) 單調(diào)遞增1( ),yfx存在且也單調(diào)遞增 性質(zhì): 2) 函數(shù)( )yf x與其反函數(shù)1( )yfx的圖形關(guān)于直線(xiàn)yx對(duì)稱(chēng) .例如 ,(,)xyex 對(duì)數(shù)函數(shù)ln,( 0,)yxx互為反函數(shù) ,它們都單調(diào)遞增, 其圖形關(guān)于直線(xiàn)yx對(duì)稱(chēng) .( )yf x1( )yfxyx( ,

9、 )Q b a( , )P a bxyo機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 指數(shù)函數(shù)(2) 復(fù)合映射機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1Dfg手電筒DD2D2D引例. 復(fù)合映射 定義. xD g( )()ug xg D1uD f( )yf u則當(dāng)1()g DD由上述映射鏈可定義由 D 到 Y 的復(fù) ( ),yf g x( ),.fg xxD設(shè)有映射鏈記作1()Yf D合映射 ,時(shí),或)(1DfY )(ufy ( )f g x1DDx)(xgu gffg()g D機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注意: 構(gòu)成復(fù)合映射的條件 1()g DD不可少.以上定義也可推廣到多個(gè)映射的情形.(2) 復(fù)合

10、函數(shù) 1( ),yf uuD( ),ug xxD1( )g DD且則 ( ),yf g xxD設(shè)有函數(shù)鏈稱(chēng)為由, 確定的復(fù)合函數(shù) , 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 復(fù)合映射的特例 u 稱(chēng)為中間變量. 注意: 構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件 1()g DD不可少. 例如例如, 函數(shù)鏈 :arcsin,yu22 1,ux函數(shù)2arcsin2 1,yxxD32 1, 32,1但函數(shù)鏈2arcsin ,2yu ux不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù) .可定義復(fù)合機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 兩個(gè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù). 例如, ,0yuu可定義復(fù)合函數(shù):cot,2xy (2,(21),xkknZ, cot0222xx

11、kk時(shí)cot,(0, 1,2,)uvvkk,(,)2xvx 4. 初等函數(shù)初等函數(shù)(1) 基本初等函數(shù)冪函數(shù)、 指數(shù)函數(shù)、 對(duì)數(shù)函數(shù)、 三角函數(shù)、 反三角函數(shù)(2) 初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱(chēng)為非初等函數(shù) . 例如 ,2,yxy,0 xx ,0 xx并可用一個(gè)式子表示的函數(shù) ,經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成 ,稱(chēng)為初等函數(shù) .可表為故為初等函數(shù).又如 , 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù) .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 非初等函數(shù)舉例:符號(hào)函數(shù)sgnyx當(dāng) x 01,當(dāng) x = 00,當(dāng) x 01,xyo11取整函數(shù) yx當(dāng)1,nxnnZ,nxyo134212機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè)

12、 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 求y 的反函數(shù)及其定義域.解解:10 x 當(dāng)時(shí),2yx則,(0,1xyy 01x當(dāng)時(shí),lnyx則,(,0yxey 12x當(dāng)時(shí),12xye則21 ln,(2,2 yxye 反函數(shù)y ,(0,1xx,(,0 xex 21ln,(2, 2 xxe定義域?yàn)?,1(2, 2 e21 ,10ln, 012,12xxxxxex 2122e1yox1(0,1,(,0, (2, 2 ,e機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 集合及映射的概念定義域?qū)?yīng)規(guī)律3. 函數(shù)的特性有界性, 單調(diào)性,奇偶性, 周期性4. 初等函數(shù)的結(jié)構(gòu) 作業(yè) P13 4、5、6 (1),(3) 、8、 9 (1),(3)、 10 (1),(3)2. 函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 且備用題備用題(0)0f1( )( ),ca f xbfxx,ab證明( )f x證證: 令1,tx則1,xt1( )( )tafbf tct由1( )( )cxxaf xbf1( )( )xafbf xcx消去1( ),xf得22( )(0)caf xbxxbax()( ),fxf x 顯然(0)0,f又( )f x故0 x 時(shí)其中a, b, c 為常數(shù), 且為奇函數(shù) .為奇函數(shù) .1. 設(shè)機(jī)動(dòng) 目錄