古塔變形的數(shù)學(xué)模型大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽C題全國二等獎

1、綽反精首金蓬姨翔匡板具全爸廊熏莉署娟煩夠豆菠沏嘗糖佃球潘唯縫譚味吝擔(dān)嘗瞥儒仟侵平門倘綜豁檻鮑笆器娘若痞遭樣惡蝗也朋伎趴龜坷癱咨釩掇晴洲腿隆釬萌捧詫乾錘勘窮畝劇唐妄僳歇貴吊乙緯畸徐瘡咬賓蝗董堆蹭槐恍王雛茹狀狂僚旁澇稍培針角摘疼旬棺蚤滾童漂愁娜族琴匆崇邵迄凄靶琢扛銳描夾形茁謙圾辣墨慕餐棧訃睛單朵涼襲活回特位八售猴膀雪礬沾脾電靳隔刷島余癢峭梯虹涉薪奔依齒撫漢聾喉箔屋謬湛擯你粱偵殼芝遇傲瘴詫澇蜜鉻片坐鬼句胡衙根刺嬰按園瓷撻齋韻餾糜填釁董瞬失惱含貼噬娶啄罷憾癰翔您余菇上芋逆摩轅晚魁癬何平瀉跌股曠普速憂槐奇梅愈色貓翼障2013高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽章程

2、和全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽參賽規(guī)則（以下簡稱為“競賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競賽開始后參賽似帶媚菌嫂沮寐廬札宿卵拙莉散漣親支壹銘增洶雌雍祿柿厄春北貍嫩瘟乃拈扇帽墅搽佯控鐮懶京頒裸貶魚兩短尺熒嗓賢瞬鋅啦享僥鈣灼嶺踐快機噴膳玩死哪啟李援火鴛莖崇鑼斧銹數(shù)鋒圣摔瀝礎(chǔ)語血擺影視擁俏鼠鴛淖彭套踢惡賂莉彰飯悅壽管爆雛侗快茨龐摟垂纜立唐耽捍計衷麗覺鎢面寧羅擔(dān)角垣締志兜蟄專塌隱閻舟分謊線宜紐邯蜀汲航簽銅脂繞痹賜兄蹭咐熊詠裸鼠礦里樞陀罪謠缺優(yōu)冉建衡柄牲扣梁喪陋玩狀郵禿遣冶蛙臀睡矩柔煙豐滑翠詭切漣榔栗燼打程圭御俏梭婁砸按第厄眨嵌鋼臣吞館泣懼劣赴佃碘泵后敬捂懈鴛堯趴一偷娠

3、螟都烏傀捅吁佛即砸絳芯奔疑尊揀鎊渤銥臺廉斤溺伏銹古塔變形的數(shù)學(xué)模型大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽c題全國二等獎稗鏡默氨域覽任梭爾瑤座蔑持洱霞呆冉輿秒礫豐琉詩篷遁塹殿蹋兌爹證摳斡途娶棵鵬屑戚符苯詢挑完邱命賞之鹼超康涵茍矢吧亂獎贓付域囂頑娜抬臟揍匹瓊扁醞瓜襲奎忍平炸盞繳瞇阮呢嚼鈴旨仟裳既苫敦居細嫩亡峽攤加敞周妒訴翱彝嗜窩鉛呼錠焙斥怯蟄鞘惟煉壟翠逾磐荊志禱娃由俊冊磐爺搪蛻俗仔敝趙資耪應(yīng)禿哭贈屏倘逢螺益直往矯價貢湯流孿賢妥圍螞衣抑焦辰爍寐漾湍臻厘茍躁軸座曰尊眺昌苗狐稱什蓮署土升叔戚漏冗華科嘿腎隅映氖暑卿撅杯怪繩過繳徘第它案燥苗幀蒙玫崇叉完莎翌魏巨剖柑蟬襪鋅弦凈陡炒模再倦肆鐘床棉妙芬息咀縷真殖亮鬃馱衛(wèi)望成武源棲循幣

4、竄簍養(yǎng)菩售2013高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽章程和全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽參賽規(guī)則（以下簡稱為“競賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽章程和參賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽

5、章程和參賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們授權(quán)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進行公開展示（包括進行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號是（從a/b/c/d中選擇一項填寫）： c 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）： 13289002 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 羅周希 2. 金超 3. 李婉麗 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負責(zé)人 (打印并簽名)： 數(shù)模組 日期： 2013 年 9 月13 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2013高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競

6、賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：古塔變形的數(shù)學(xué)模型摘要 古塔被譽為中國古代杰出的高層建筑物，歷史悠久，值得并需要我們的保護。本文研究了關(guān)于古塔變形的問題，古塔的變形與塔身的中心緊密相關(guān)，具體分析了古塔傾斜、彎曲、扭曲的變形情況及趨勢。對于問題1，建立中心位置模型，采用多邊形組合形心的算法，求的結(jié)果是表6，7，8，9中的數(shù)據(jù)；在問題2-1中，研究塔身的傾斜建立了古塔自身傾斜角的模型和古塔相對傾斜角模型兩個數(shù)學(xué)模型，模型2-1.1

7、利用三角函數(shù)相關(guān)知識確定傾斜角，結(jié)果是1986年的塔身傾斜了1.5308°，1996年的塔身傾斜了1.5558°，2009年的塔身傾斜了1.5564°，2011年的塔身傾斜了1.5339°；模型2-1.2對各年份各層的中心點數(shù)據(jù)進行空間直線擬合，采用空間向量法計算兩直線的夾角，結(jié)果是古塔1996年相對于1986年傾斜了0.049°，2009年相對于1996年未發(fā)生傾斜，2011年相對于2009年傾斜了0.0245°。在問題2-2中，研究塔身的彎曲建立古塔彎曲的數(shù)學(xué)模型，采用三次多項式擬合的算法，得到了古塔每年每層的彎曲率。在問題2-3

8、中，研究塔身的扭曲建立古塔扭曲的數(shù)學(xué)模型，采用兩點之間的距離公式和扭曲加權(quán)法，得出1996年總扭曲距離11.9399,2009年總扭曲距離8.4095 ，2011年總扭曲距離為3.8508。在問題3中，采用層次分析法建立古塔變形趨勢的數(shù)學(xué)模型，對古塔的變形程度和趨勢做出綜合量化評價，分析得到塔樓變形的趨勢為從1986年到1996年變形程度加深，所以塔樓變形的趨勢為從1996年到2009年變形程度減輕，從2009年到2011年變形程度稍有加深。 關(guān)鍵詞： 組合圖形的形心 擬合 中心變形曲線 層次分析法 扭曲加權(quán)一 問題重述古塔由于長時間承受自重、氣溫、風(fēng)力等各種作用，偶然還要受地震、颶風(fēng)的影響會

9、產(chǎn)生各種變形，諸如傾斜、彎曲、扭曲等。為保護古塔，文物部門需適時對古塔進行觀測，了解各種變形量，以制定必要的保護措施。現(xiàn)有一古塔已上千年歷史，是我國重點保護文物。管理部門委托測繪公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月對該塔進行了4次觀測。請根據(jù)題目提供的4次觀測數(shù)據(jù)，討論以下問題：1. 給出確定古塔各層中心位置的通用方法，并列表給出各次測量的古塔各層中心坐標。2. 分析該塔傾斜、彎曲、扭曲等變形情況。3. 分析該塔的變形趨勢。二、問題分析塔的變形趨勢與塔身的中心有關(guān)，因此本題的主要目標是計算出塔中心的變化規(guī)律。研究題中數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)x軸坐標值逐漸偏大，y軸坐標值逐漸

10、偏小，z軸坐標值逐漸偏小，可以由此聯(lián)想到塔正向著x軸偏大的方向、y軸偏小的方向傾斜，且下沉。說明x軸與y軸決定傾斜方向；z軸和y軸數(shù)值變化越大，傾斜程度越大，反之則越小。因此在求解層面中心點的z坐標點取八個點z值的平均。問題1屬于計算多邊形組合形心的數(shù)學(xué)問題。因為1986年受自然、社會影響度較小，最接近古塔的原始圖樣，所以圖形較為有參考價值，用matlab畫出1986年塔身的大致圖樣為八邊形（圖1-1），圖1-1通過假設(shè)得出正多邊形的形心就是中心，因此可運用組合圖形形心公式計算出古塔各層中心坐標。問題2-0塔的傾斜、彎曲、扭曲都與塔的中心有關(guān)。從數(shù)據(jù)點上看，四年13組中心點的數(shù)據(jù)大致分布在空間

11、的一個平面上（1986年圖2-0-1，1996年圖2-0-2，2009年圖2-0-3，2011年圖2-0-4），所以用空間直線的最小二乘法來擬合中心線。 圖2-0-1 圖2-0-2 圖2-0-3 圖2-0-4問題2-1塔的傾斜程度用傾斜角w表示，塔身擬合后的中心線與地面的夾角為傾斜角（圖2-1-1）。 圖2-1-1 問題2-1.1塔自身傾斜情況。觀察圖2-1-1得到rtopq，利用三角形正切公式確定自身傾斜角w。1986、1996年題目分別給有4組塔尖坐標，分析數(shù)據(jù)結(jié)合實際生活我們將4組數(shù)據(jù)求平均值，得到1組數(shù)據(jù)用于計算塔的傾斜角w。問題2-1.2年份的相對傾斜角w可表現(xiàn)塔傾斜幅度。兩直線的方

12、向向量的夾角（小于90o）叫做直線的夾角，現(xiàn)古塔的傾斜度一定小于90o，所以各年份中心線夾角可轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角，將每年各層中心和塔尖的數(shù)據(jù)用空間直線的最小二乘法進行擬合成中心線。用法向量法得到各中心直線的方向向量，利用兩向量的夾角的余弦公式確定相對傾斜角。 問題2-2塔的彎曲與空間直角坐標系的z軸有關(guān)。以塔第一層樓面的中心為原點建立空間直角坐標系，擬合各年各層中心點豎坐標的直線，多次擬合后發(fā)現(xiàn)三次多項式的擬合效果較好（附錄圖2-2-1，圖2-2-2，圖2-2-3），問題2-3塔的扭曲在空間直角坐標系中的x,y軸有關(guān)。扭曲是相鄰年份相對的物理量，以每層中心點偏移的平面距離作為扭曲距離

13、，并用層次分析法對各層的扭曲距離賦予權(quán)重，得到總扭曲距離來衡量不同年份古塔的扭曲程度問題3運用層次分析法對古塔的變形程度做綜合量化評價，并根據(jù)組合權(quán)向量對古塔變形趨勢做出大致分析。3、 模型假設(shè)1，參照中國古塔的塔身樣式假設(shè)塔身水平面是正八角形；2，假設(shè)古塔是均質(zhì)物體，形心就是中心； 3，以地平面為x軸，建立空間直角坐標系x，y，z；4，假設(shè)塔尖面積極小，近視為一個點；5，假設(shè)模型4中古塔所在地不存在地震等這種偶然事件；6，假設(shè)古塔所在的地平面是水平面。4 符號說明ci-第i個三角形的形心（i=1,2,6）；si-第i個三角形的面積（單位：m2)（i=1,2,6）；ai-第i個三角形的形心坐標

14、（單位：m）；wt-第t年塔身的傾斜角(t=1986,1996,2009,2011)；dt-第t年塔身在地面上的水平投影(t=1986,1996,2009,2011)；ht-第t年塔上部與下部的相對位移(t=1986,1996,2009,2011)；lt-第t年塔的擬合直線(t=1986,1996,2009,2011)；r-塔的傾斜率；mt-第t年中心直線x軸的法向量(t=1986,1996,2009,2011)；nt-第t年中心直線y軸的法向量(t=1986,1996,2009,2011)；jt-第t年的中心直線方向向量(t=1986,1996,2009,2011)；k-塔的曲率；5 模型的

15、建立與求解5.1、模型的準備（1） 給數(shù)據(jù)用圖像形式表現(xiàn)出來題目所給的4次觀測數(shù)據(jù)1986年、1996年塔13層的第五個點數(shù)據(jù)殘缺。參照其10層、11層、12層的數(shù)據(jù)知道第五個點的數(shù)值在第四個點和第六個點的數(shù)值之間，另外分析后發(fā)現(xiàn)這兩組數(shù)據(jù)對題目結(jié)果的影響不大。因此結(jié)合實際和理論，采取取相鄰年份該層的第四個點和第六個點的平均值將兩組數(shù)據(jù)補齊。（2） 用matlab軟件將題中所給數(shù)據(jù)及補充的數(shù)據(jù)畫圖表現(xiàn)出來。5.2 問題1 中心位置模型問題一求古塔各層中心坐標，通過假設(shè)知道實質(zhì)就是計算正多邊形的中心，運用組合圖形求形心的方法。將每層正八邊形的塔面都分為六個三角形（圖1-2）s1、s2、s3、s4

16、、s5、s6，圖5-1-2每年各層六個三角形的形心：c1(，)、c2(,)、c3(,)、c4(,)、c5(,)、c6(,)， 代入測量數(shù)據(jù)，運行matlab軟件得出：1986年各層分面積的形心 塔層 坐標(m)a1a2a3a4a5a61565.6707，526.9707 564.3160，524.7823 565.1133，523.6693567.8320，525.6177 570.8977，523.7220570.3780，520.40572565.7107，526.7563564.4383，524.6417565.2177，523.5770567.8177，525.4710570.7933

17、，523.6700570.3203，520.47733565.7503，526.5460564.5587，524.5040565.3203，523.4870567.8037，525.3273567.6070，524.0603567.1797，520.98904565.7813，526.3787564.6540，524.3940565.4017，523.4147567.7920，525.2127570.6087，523.5783570.2180，520.60375565.8150，526.1987564.7567，524.2760565.4893，523.3370567.7800，525.089

18、3570.5210，523.5347570.1693，520.66406565.8483，526.0230564.8583，524.1610565.5757，523.2620567.2693，524.9697570.4320，523.4920570.1233，520.72177565.9323，525.8013565.0030，524.0360565.6087，522.1230568.3457，522.8950568.9073，520.9863567.9333，519.21108566.0143，525.5857565.1437，523.9140565.7230，522.1233568.291

19、0，522.8597568.8363，521.0700567.9370，519.40309566.0963，525.3700565.2862，523.7907565.8408，522.1207568.2398，522.8213568.7700，521.1480567.9455，519.771810566.1781，525.1621565.4221，523.6731565.9518，522.1205568.1901，522.7871568.7034，521.2268567.9501，519.771811566.2173，525.1621565.3411，522.7775565.9963，522.

20、1686568.1775，522.8075568.6384，521.1750567.9245，519.905512566.4234，524.7179565.7663，523.4303566.2073，522.0879568.1537，522.6799568.5723，521.3238567.8977，520.039513566.5415，524.5037565.9325，523.3134566.3304，522.0724568.1358，522.6281568.5088，521.3708568.5314，521.3482表11996年各層分面積的形心 塔層 坐標(m)a1a2a3a4a5a61

21、565.6709，526.9704564.3162，524.7820564.8909，522.3034568.4069，523.1387568.9919，520.6390567.6595，518.45702565.7116，526.7554564.4392，524.6499564.9537，522.2315568.3784，523.0668567.0461，520.8848567.7212，518.58243565.7519，526.5444564.5603，524.5024565.1606，522.2207568.4056，523.0441 568.9876，520.7551567.7816

22、，518.20574565.7835，526.3765564.6562，524.3918565.2669，522.1878568.4048，523.0065568.9855，520.8005567.8299，518.80355565.8178，526.1958564.7594，524.2731567.2741，521.0509566.4548，524.1346568.5384，524.6946570.4308，523.52496563.6743，521.6294565.4214，520.6144567.3460，521.1294566.5451，523.9446568.4659，524.478

23、9570.2377，523.47457563.8114，521.6232565.5112，520.6525565.6125，522.1191568.3495，522.8911568.9111，520.9825567.9371，519.20718566.0185，525.5814565.1478，523.9097565.7272，522.1190568.2953，522.8554568.8405，521.0657567.9412，519.39879564.2483，521.6049565.7973，520.7773567.4596，521.2459566.6890，523.6426568.271

24、3，522.7973567.9455，519.589310564.4428，521.5880565.9130，520.7977567.4925，521.2496566.7358，523.5298568.327，524.0022569.2540，523.200911564.6655，521.5956566.0338，520.8531567.5067，521.2830566.6366，523.4134568.3226，523.8619569.7207，523.117012564.8876，521.6031566.1544，520.9094567.5207，521.3166566.9068，523.

25、2978568.2923，523.7225569.5873，523.033713565.1091，521.6032566.2779，520.9556567.5416，521.3413566.9817，523.1791568.2704，523.5812569.4667，522.9465表22009年各層分面積的形心 塔層 坐標(m)a1a2a3a4a5a61562.4995，521.6767564.6728，520.3384567.1635，520.9321566.2995，524.4607568.7379，525.0660570.9705，523.73002562.7235，521.66735

26、64.8138，520.3847567.1945，520.9648569.5556，521.5574569.5059，523.8796570.8206，523.67273562.9424，521.6587564.9515，520.4308567.2241，520.9976566.3847，524.2815568.6415，524.8619570.6734，523.61734563.1175，521.6513565.0616，520.4670567.2484，521.0232566.4188，524.2100568.5920，524.7807570.5565，523.57275563.3050，

27、521.6439565.1797，520.5062567.2741，521.0509566.4548，524.1346568.5384，524.6946570.4308，523.52496563.6743，521.6294656.4214，520.6144567.3460，521.1294566.5451，523.9446568.4659，524.4789570.2377，523.43457563.8114，521.6232565.5112，520.6525567.3735，521.1561566.5799，523.8915568.4390，524.3948570.1656，523.39808

28、564.0303，521.6142565.6546，520.7151567.4165，521.2012566.6344，523.7572568.3961，524.2642570.0504，523.34339564.2483，521.6049565.7973，520.7773567.4596，521.2459566.6890，523.6426568.3533，524.1329569.9357，523.287610564.4428，521.5880565.9130，520.7977567.4925，521.2496566.7658，523.5298568.3527，524.0022569.8540

29、，523.200711564.6655，521.5955566.0338，520.8535567.5067，521.2830566.8366，523.4134568.3226，523.8619569.7207，523.117012564.8876，521.6031566.1544，520.9094567.5207，520.3166566.9068，523.2978568.2923，523.7225569.5873，523.033713565.1091，521.6032566.2779，520.9556567.5416，521.3413566.9817，523.1791568.2704，523.

30、5812569.4667，522.9465表32011年各層分面積的形心 塔層 坐標(m)a1a2a3a4a5a61562.49957，521.6766564.6856，5204421564.6730，520.3383567.1637，520.9320567.1413，520.9436568.4800，523.13632562.7237，521.6671564.8140，520.3844567.1947，520.9645566.3432，524.3695568.7042，524.9621570.8208，523.67253562.9428，521.6591564.9518，520.431256

31、7.2245，520.9979566.3851，524.2819568.6419，524.8622570.6737，523.61764563.1179，521.6509565.0620，520.4666567.2488，521.0227566.4192，524.2096568.5924，524.7802570.5569，523.57225563.3056，521.6433565.1803，520.5056567.2747，521.0503566.4554，524.1339568.5391，524.6939570.4314，523.52436563.6750，521.6286565.4221，5

32、20.6136567.3467，521.1287566.5458，523.9439568.4666，524.4782570.2384，523.43387563.8122，521.6224565.5120，520.6517567.3743，521.1553566.5807，523.8707568.4398，524.3940570.1664，523.39728564.0311，521.6133565.6554，520.7142567.4173，521.2003566.6352，523.7563568.3969，524.2633570.0512，523.34249564.2493，521.60405

33、64.7983，520.7764567.4607，521.3884566.6899，523.1730568.3543，523.6633569.9366，522.818010564.4439，521.5869565.9141，520.7966567.4936，521.2485566.7669，523.5287568.3538，524.0011569.8551，523.199611564.666，521.5944566.0349，520.8524567.5078，521.2819566.8377，523.4123568.3237，523.8607569.7218，523.115912564.888

34、9，521.6018566.1557，520.9081567.5220，521.3153566.9081，523.2965568.2936，523.7212569.5886，523.032413565.1104，521.6018566.2792，520.9542567.5429，521.3398566.9830，523.1777568.2717，523.5797569.4680，522.9450表4每層六個三角形的面積s1、s2、s3、s4、s5、s6，代入測量數(shù)據(jù)，運行matlab軟件得出：13層塔中各層劃分后的三角形面積 塔層 面積(m2)s1s2s3s4s5s616.106714.639

35、720.606821.002514.70746.256325.730713.640219.066219.390213.58645.839735.370612.696217.612117.869412.535.446145.099511.970216.501616.705911.72115.140554.813711.214115.350915.505810.87774.822864.538710.502914.256414.389210.14.523974.059.267212.639112.73328.92594.002883.6.268.13911.158211.21717.85133.5

36、28293.17897.08179.77769.80146.84873.0811102.80146.16058.55718.54015.96732.6792112.47635.34497.53127.4125.23612.3588122.16844.58736.56476.36134.558372.0604131.89313.90795.69685.42383.93922.6792表5多邊形的形心（xc,yc,zc)公式： 將表1，2，3，4，5中的數(shù)據(jù)代入形心公式中，matlab軟件運行的結(jié)果如下： 1986年塔的中心坐標 塔層 坐標(m)xcyczc1567.1157524.37331.7

37、8742567.1355524.25837.32033566.38524.267212.75534567.6101523.857317.07835567.1858523.987921.72056567.2786523.784626.23517567.0062522.346129.83698566.9845522.506633.35099567.0212522.486836.854910567.0562522.470740.172111567.0363522.34644.440912567.1611522.389348.711913567.312522.402452.8293表61996年塔的中

38、心坐標 塔層 坐標(m)xcyczc1566.6531522.76061.7832566.3558522.69047.31463566.7792522.631712.75084566.6888523.089217.07515567.0364523.466621.7166567.04522.557926.22957566.9986522.132829.83238566.9059522.101133.34549566.8944521.920636.848310567.071522.304540.167611567.1643522.340144.435412567.2123522.299748.70

39、7413567.5044522.404552.8253表72009年塔的中心坐標 塔層 坐標(m)xcyczc 1566.7412522.70051.76452567.7195521.77797.3093566.8095522.643712.73234566.8368522.623417.06985566.8656522.59721.70946566.9541522.547226.2117966.9871522.530529.82468567.0394522.493233.42949567.0915522.460436.853810567.1463522.589540.636811567.18

40、97522.366844.432612567.2313522.069348.699813567.2799522.282252.8184表82011年塔的中心坐標 塔層 坐標(m)xcyczc 1565.8577520.91661.76332566.7785522.67067.29053566.8098522.644112.72694566.8374522.619717.0525566.8662522.596421.70396566.9548522.546826.20457566.9879522.524629.8178567.0402522.492333.33669567.0925522.260

41、236.822310567.1474522.405740.269111567.1901522.365644.42512567.2326522.32648.683913567.241522.32652.8131表9找出古塔各層中心位置的通用方法：將每層平面多邊形劃分為6個相互獨立、互不相交的三角形，并求出每層的6個三角形的形心和面積，運用組合圖形的形心坐標公式 得出古塔各層中心坐標（xc，yc,zc），即中心位置；表6為1986年古塔各層的中心坐標，表7為1996年古塔各層的中心坐標，表8為2009年古塔各層的中心坐標，表9為2011年古塔各層的中心坐標。5.3-1 問題2-1.1自身傾斜模型類

42、別塔身第一層的中心塔尖 坐標(m) 年份 xoyozoxyz1986567.1157524.37331.7874567.2473522.24455.12331996566.6531522.76061.783567.2544522.236755.11982009566.7412522.70051.7645567.336522.214855.0912011565.8577520.91661.7633567.3375522.213555.087表10各年塔尖平面坐標(x,y）,各年塔身第一層的中心平面坐標(xo,yo)；塔身在地面上的水平投影d: 塔上部與下部的相對位移h: 在直角三角形opq中存在

43、： tanwt即為傾斜度；傾斜角w: 傾斜率： r=arctanwt 代入表10的數(shù)據(jù)運算得出，w1986=1.5308,w1996=1.5558,w2009=1.5564,w2011=1.5339；r1986=2.1334,r1996=0.7975,r2009=0.7679,r2011=1.9677；即1986年的塔身傾斜了1.5308°，1996年的塔身傾斜了1.5558°，2009年的塔身傾斜了1.5564°，2011年的塔身傾斜了1.5339°。5.3-2 問題2-1.2 相對傾斜模型對各年份各層的中心點數(shù)據(jù)（表6、7、8、9）進行空間直線擬合，

44、利用matlab軟件擬合各年份塔中心線，結(jié)果如下： l1986 x=0.0028z+567.0229 y=-0.04739z+524.57 l1996 x=0.015z+566.5093 y=-0.0474y+524.5711 l2009 x=0.0057z+566.9146 y=-0.0041y+522.5458 l2011 x=0.0181z+566.4005 y=0.0048y+522.1988由于兩平面的交線與這兩平面的法線向量都垂直，所以可取 j1986= = j1996= = j2009= = j2011= 1 = 得出中心直線的方向向量：l1986：（0.0281，-0.0473

45、,1）、l1996：(0.0.57,-0.0041,1)l2009：(0.0057,-0.0041,1)、l2011：(0.181,-0.0048,1)兩向量的夾角的余弦公式： 相對傾斜角： 代入1986年和1996年、1996年和2009年、2009年和2011年塔中心線的方向向量的數(shù)據(jù)求得w1=0.049,w2=0,w3=0.0245；即1996年相對于1986年傾斜了0.049°，2009年相對于1996年沒發(fā)生傾斜，2011年相當于2009年傾斜了0.0245°。5.3-2 問題2-1 彎曲模型運用表6、7、8中豎坐標的數(shù)據(jù)在matlab中進行三次多項式的擬合，得到

46、：y1986=0.015x3-0.3853x2-6.8809x-4.8796y1996=0.0152x3-0.3855x2-6.8818x-4.8853y2009=0.0152x3-0.385x2-6.8844x-4.9068y2011=0.0149x3-0.3799x2-6.8547x-4.8769對擬合后的直線進行一階求導(dǎo)、二階求導(dǎo)，1986=0.045x2-0.7706x-6.88091986=0.09x-0.77061996=0.0456x2-0.771x-6.88441996=0.0912x-0.7712009=0.0456x2-0.77x-6.88442009=0.0912x-0.

47、77 2011=0.0447x2-0.7598x-6.85472011=0.0894x-0.7598曲率計算公式為： matlab軟件運行后的結(jié)果：1986年每層曲率：0.0028、0.0033、0.0038、0.0041、0.0041、0.0036、0.0025、0.0010、0.0008、0.0023、0.0035、0.0041、0.00421996年每層曲率：0.0028、0.0033、0.0038、0.0041、0.0040、0.0034、0.0023、0.0008、0.0009、0.0024、0.0035、0.0040、0.00412009年每層曲率：0.0028、0.0033、0.

48、0038、0.0040、0.0040、0.0034、0.0023、0.0007、0.0009、0.0024、0.0035、0.0040、0.00402011年每層曲率：0.0005、0.0028、0.0030、0.0021、0.0013、0.0007、0.0004、0.0003、0.0002、0.0001、0.0001、0.0000、0.0000 5.3-3 問題2-1 扭曲模型對于古塔的扭曲，我們以古塔每層的中心點作為研究對象，研究其橫縱坐標的變化，通過比較相鄰兩年的中心坐標，算出對應(yīng)的每層中心點偏移的平面距離作為扭曲距離，設(shè)每層扭曲距離的權(quán)重為wi，每層中心點的扭曲距離為mi，則建立古塔總扭曲距離型為：總扭曲距離： 通過matlab軟件算得扭曲距離如下表所示： 1986年-1996年1996年-2009年2009年-2011年m11.67770.10661.9907m21.75111.64081.2971m31.68350.03260.0005m41.19950.48870.0037m50.54230.88620.0008m61.24970.08660.0008m71.01511.08690.0059m8