1999考研數(shù)一真題及解析

1、1999年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題、填空題(此題共5個小題，每題3分，總分值15分。把正確答案填寫在題中橫線上。)(1) lim丄丄x 0 xxta nxdxx0 sin(x2t) dt 2x(3) y" 4y e的通解為 y 設(shè)n階矩陣A的元素全為1，那么A的n個特征值是 (5)設(shè)兩兩相互獨立的三事件 A, B和C滿足條件：1 9ABC ,P(A) P(B) P(C) , P(A B C) ,2 16那么 P(A) 二、選擇題(此題共5小題，每題3分，總分值15分。每題給出得四個選項中，只有一個是符合 題目要求的，把所選項前的字母填在提后的括號內(nèi)。)(1)設(shè)f (x)是

2、連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(x)是f (x)的原函數(shù)，那么()f (x)是奇函數(shù)時，F(xiàn) (x)必是偶函數(shù)。f (x)是偶函數(shù)時，F(xiàn) (x)必是奇函數(shù)。f (x)是周期函數(shù)時，F(xiàn)( x)必是周期函數(shù)。f (x)是單調(diào)增函數(shù)時，F(xiàn) (x)必是單調(diào)增函數(shù)。1 cosxx ,xx2g(x),x(A)極限不存在(C)連續(xù)，但不可導(dǎo)(A)(B)(C)(D)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)設(shè)f (x)x,(3)設(shè) f(x)an20其中g(shù)(x)是有界函數(shù)，那么f (x)在x(B)極限存在，但不連續(xù)(D)可導(dǎo)122,S(x)1a02an cos n x,1f (x)cos n xdx,( n 0,1,2,),那么S等于1(A)-21(B)2(C)3

3、(D)設(shè)A是m(A)當(dāng) mn矩陣，B是nn時，必有行列式(C)當(dāng) nm時，必有行列式m矩陣，那么AB 0AB(5)設(shè)兩個相互獨立的隨機變量(B)當(dāng) m(D)當(dāng) nn時,m時,必有行列式必有行列式ABABX和Y分別服從正態(tài)分布N(0,1)和N(1,1)，那么11(A) P X Y 0.(B)P X+Y 1=221(C) P X-Y 0.(D)P X-Y 1122三、(此題總分值5分)設(shè)y y(x), z z(x)是由方程z xf (x y)和F(x, y, z)=0所確定的函數(shù)，其中f和F 分別具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求竺。dx四、(此題總分值5分)求 I l exsiny b(x y

4、) dx ex cosy ax dy,其中 a,b 為正常數(shù)，L 為從點 A 2a,0 沿曲線y= . 2ax-x2到點0 (0,0)的弧.五、(此題總分值6分)設(shè)函數(shù)y x x 0二階可導(dǎo)，且y x0， y 01.過曲線y y x上任意一點P x, y作該曲線的切線及 x軸的垂線，上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積記為間0, x上以y y x為曲邊的曲邊梯形面積記為S2，并設(shè)2S S2恒為1，求此曲線y y x的方程.六、(此題總分值6分)試證：當(dāng)x 0時,2x 1 In x(x, y,z)dS.七、(此題總分值6分)為去除井底的污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口 見圖，井深3

5、0m30m,抓斗自重400N ,纜繩每米重50N ，抓斗抓 起的污泥重2000N，提升速度為3m/s,在提升過程中，污泥以 20N/S 的速度從抓斗縫隙中漏掉，現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升至井口，問克服重 力需作多少焦耳的功？(說明：1N 1m 1J;其中m,N,s,J分別表示 米，牛頓，秒，焦耳；抓斗的高度及位于井口上方的纜繩長度忽略不 計.) 八、(此題總分值7分)2 2設(shè)S為橢球面 z21的上半局部，點P(x, y,z) S,為S在點P處的切平面,2 2(x, y,z)為點O (0,0,0)到平面n的距離，求S九、(此題總分值7分)設(shè) an04 tann xdx,1(1)求一an an 2 的

6、值; n 1 n 試證：對任意的常數(shù)a入0,級數(shù)-收斂十、此題總分值8分a 1設(shè)矩陣A 5 b1 c 01,又A的伴隨矩陣A*有一個特征值0,屬于0的一個特征向量為(1, 1,1)T,求 a,b,c和 0 的值.此題總分值6分設(shè)A為m階實對稱矩陣且正定，B為mXi實矩陣，BT為B的轉(zhuǎn)置矩陣，試證： BTAB為正定矩陣的充分必要條件是 B的秩r B n.十二、此題總分值8分設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，下表列出了二維隨機變量X,Y 聯(lián)合分布律及關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律中的局部數(shù)值，試將其余數(shù)值填入表中的空白處y1y2y3P X 人PiX118X218PY yjPj161十三、此題總分值6分 設(shè)總體

7、X的概率密度為f(x)6X(30,x),0 x其他X1,X2, ,Xn是取自總體X的簡單隨機樣本1求B的矩估計量$求$的方差D $ .1999年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析.)、填空題(此題共5個小題，每題3分，總分值15分把正確答案填寫在題中橫線上【答案】3【分析】利用x0的等價變換和洛必達法那么求函數(shù)極限11方法1: lim 2-x 0 xxta nx1 1方法2： limx 0 xxtanx1 cosx limx 0 xxsin xxm0sin x xcosxx2 sin xsin x xcosx、, cosx cosx xsin x sin x : x lim3 洛 lim

8、=x 0v3x 0x33x2sin x 1 limx 0 3x 3【詳解】tan x xtan x xlim 2 tan x : xlim3x 0 x ta n xx 0 x2 2 2sec x 1 廣 tan x 丄x 1洛 lim 2 lim 廠 tanx: xlim 2-x 0 3x x 0 3xx 0 3x 3o(2)【答案】sinx之外d b【分析】欲求 (x,t)dt，唯一的方法是作變換，使含有 (x,t)中的X轉(zhuǎn)移到dx a【詳解】令u x t，那么dt du，所以有d x2 d 0sin(x t) dtdx 0dx xsin u2 du-xsinu2du sinx2 dx 0【

9、答案】y Ge2xC2 1x e2x,其中6C2為任意常數(shù).4【分析】先求出對應(yīng)齊次方程的通解，再求出原方程的一個特解【詳解】原方程對應(yīng)齊次方程y" 4y 0的特征方程為：2 4 0,解得1 2, 22，故y" 4y 0 的通解為 y1 Ge2x C2e2x,2 x*2 x由于非齊次項為f (x) e ,因此原方程的特解可設(shè)為 y Axe，代入原方程可求得1*2 x12 xA，故所求通解為y y1 yGeC2x e44【詳解】因為兩邊取行列式,(對應(yīng)元素相減)把第2,，n列加到第例提取第1列的公因子1n1. 11112行1行1 1 .111 .13行1行0 .0(n).L.

10、111n行1行0 0 .1(n)E A是n和0( n-1)重)n-1(n-1(n)n) 0，得0(n1)重)，故矩陣A的n個特征值又 P(AUBUC) ，從而 P(AUBUC) 3p163p2，那么有3p163p2016【答案】1 4【詳解】根據(jù)加法公式有P(AU BUC) P(A)P(B)P(C)P(AC)P(AB)P(BC)P(ABC)因為 P(A) P(B)P(C)，設(shè) P(A) P(B)P(C) P由于代B,C兩兩相互獨立，丿所以有P(AB)P(A)P(B)P P2P，P(AC)P(A)P(C)P P2P，P(BC)P(B)P(C)P P2P，又由于ABC，因此有P(ABC)P()0,

11、所以P(AU BUC) P(A)P(B)P(C)P(AC)P(AB)P(BC)P(ABC)P P2P P2Pp331P P亦0，解得P ；或P ； 03p 3p2廠1因 P(A) P(B) P(C) p ，故2二、選擇題(1)【答案】(A )p 1，即 P(A)4周期性和單調(diào)性f(x)的原函數(shù)F(x)可以表示為F(x)x0f (t)dtC,于是F( x) 0x0f(u)du C.當(dāng)f (x)為奇函數(shù)時,f( u)f (u)，從而有xF( x) 0f (u)duxC 0 f(t)dtF(x)即 F(x) 為偶函數(shù)故(A)為正確選項(B)、(C)、(D)可分別舉反例如下：f(x)x2是偶函數(shù)，但其

12、原函數(shù) F(x)1不是奇函數(shù)，可排除(B)；f(x)cos2x是周期函數(shù)，但其原函數(shù)F(x)sin2x不是周期函數(shù)，可排除(C)；24f(x)x在區(qū)間()內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，但其原函數(shù)F(x)X2在區(qū)間(2非單調(diào)增函數(shù)，可排除(D).【答案】(D )【詳解】由于可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)那么極限必存在，可以從函數(shù)可導(dǎo)性入手因為 f (0) limx 0f(x) f(0)limx 01 cosxf (0) limx 0f(x) f(0)limx 0X xx2g(x)x1 2 x lim 2 x 0 x< x0,x 0從而，f (0)存在，且f (0)0，故正確選項為(D).lim xg(x)x 00,【

13、詳解】應(yīng)用函數(shù)定義判定函數(shù)的奇偶性、(3)【答案】(C )-1,1上的偶函數(shù)，然后再作【詳解】由題設(shè)知，應(yīng)先將f(x)從0,1 )作偶延拓，使之成為區(qū)間周期(周期2)延拓，進一步展開為傅里葉級數(shù)，5111S( 2) S( 2 2) s( 1 s(1)1而x 2是f(x)的間斷點，按狄利克雷定理有,1 1s(1)f(2 0)f(2 0)2【答案】B【詳解】方法1： A是m n矩陣,B是n m矩陣，那么AB是m階方陣，因ABx 0有非零解，從而AB 0,應(yīng)選(B).(A) mn，取Amn0Bn m(C)nm，取Amn10 ,Bn(D)nm，取Am n10 ,Bn【答案】B方法3：用排除法10mm0

14、 , AB01,AB10, AB，AB 0，(A)不成立0，AB1，AB0，(C)不成立1，(D)不成立，應(yīng)選(B).r(AB) min r(A), r(B) min m, n .當(dāng)m n時，有r(AB) mi nr(A),r(B) n m.(AB)x 0的系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù))，故有行列式 AB 0，故應(yīng)選(B).方法2: B是n m矩陣，當(dāng)m n時，那么r(B) n (系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù))，方程0，兩邊左乘 A，得ABx。 0，即組Bx 0必有非零解，即存在 x0 0,使得Bxo其中 u1 E(X Y)，21D(XY)，U2E(XY)，2 D(X Y)由期望的性質(zhì)：E(T

15、JE(XY)EXEY0 11，E仃2)E(XY)EXEY0 11所以T2X YN(u2,)由獨立隨機變量方差的性質(zhì):D()D(X Y) DXDY 122根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)：服從正態(tài)分布的獨立隨機變量的線性組合仍服從正態(tài)分布因X和Y相互獨立，且 X N(0,1)，Y N(1,1)，T1 X YN(U1, 12),【詳解】D仃2)D(X Y) DXDY 1所以T1X Y N(1,2)，T2 X Y N( 1,2)一般來說遇到正態(tài)分布的小題，主要就考兩點，標準化和對稱性，考慮問題也是從這兩點 出發(fā)A選項：P X Y0因T1X2Y N(1,2)由標準化的定義：假設(shè)X N(u, 2)，那么X u N(0

16、,1)x 丫 1所以，p。,1，將其標準化有PX Y 0 P X Y 10保證變換過程中概率不變，所以不等號的左邊怎么變，右邊也同樣的變化 又因為標準正態(tài)分布圖像是關(guān)于y軸對稱，所以所以A錯.B選項：P將其標準化有:1 根據(jù)標準正態(tài)分布的對稱性故B正確.C選項：P將其標準化有:(1)2(1)1.21-，故C錯.2D選項:將其標準化有:X Y ( 1)1 ( 1)1，故D錯.2【詳解】分別在z xfxy)和 F(x, y, z)0的兩端對x求導(dǎo)數(shù),乎 f (x, y)dx乎 f (x, y)dx兀Fy/Fzdzdx整理后得Fydy dzxf (x,y)-dx dx 巴Fz空F dx dxf(x,

17、 y) xf(x, y)解此方程組，得xff xfFyFxxf1FyFzdzdx(f xf®腐丘侃Fy xfFzyxf Fz 0)四【詳解】方法1：湊成閉合曲線，應(yīng)用格林公式添加從點0(0,0)沿y 0到點A 2a,0的有向直線段Li,如圖，那么L Lixe sin yb(x y) dxxe cosyax dyI1xL1 e sin yb(x y) dxxe cos yax dy利用格林公式,前一積分0dxdy (bD2a)dxdy a (b a)d x y其中D為L1 +L所圍成的半圓域，后一積分選擇 x為參數(shù),Li：可直接積分2a0 (bx)dx2a2b，故 I11a2b a3.

18、2方法2：將曲線積分分成兩局部,其中一局部與路徑無關(guān),余下的積分利用曲線的參數(shù)方程計算xI L esib(x y) dxex cosyax dyLex sin ydx excosydy Lb(x y)dx axdy(0,0)0(2a,0)前一積分與路徑無關(guān)，所以X -IXIX -Le sin ydx e cosydy e sin對后一積分，取L的參數(shù)方程x a acost “ dxasintdt ，口，那么，t從0到，得y asintdy acostdtLb(x y)dx axdy2222332o ( a bsi nt a bsin t cost a bsi n t a cost a cos

19、t)dt2.2.132a b a b a2 211從而 I 0 ( 2a2x ln x x 2-ba2bax)2 a2ba3222 2五【詳解】如圖，曲線 y所以切線與x軸的交點為由于s jyx又S2x0 y(t)dt，y'(x) 0,y(0)xx2根據(jù)題設(shè)2S1 S21,0 y(t)dt1,兩邊對x求導(dǎo)并化簡得2yy" y'這是可降階得二階常微分方程,y,那么y蟲並舁dx dy dxP乎，dy那么上述方程可化為 yp也dyP2,別離變量得 亞 業(yè)，解得Pp yGy,即魚dx從而有 y C1exC2，根據(jù) y(0)1,y'(0)1,可得 G1,C2 0,六【詳

20、解】構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性,證法1：令f(x)2x 1 In x x 12.易知f(1) 0f (x)(1)f (x)2ln x 12, f (1)xf (x)心x可見，當(dāng)0 x 1時,f (x) 0f (x)f (x)的最小值，即當(dāng)0 x時,因此，f (1)2為以f (x)為單調(diào)增函數(shù)又因為f (1)0，所以有f (x) 0f (x)Z時，f (x) f (1) 20 x 1 時 f (x)0 ； 1 x所以利用函數(shù)單調(diào)性可知，f (1)為時 f(X)f (x)的最小值，即0，f(x) f (1) 0所以有x 0時，x2 1 Inx x證法2：先對要證的不等式作適當(dāng)變形，當(dāng)x 1時，原不

21、等式顯然成立;1時，原不等式等價于In xx 1x 1；時，原不等式等價于In xx 1；1;f(x) lnxx211f (x)-x又因為f(1)0,利用函數(shù)單調(diào)性可知當(dāng) 0 x 1 時，f (x)0,即 lnx綜上所述，當(dāng)x 0時，x21 In x1丄；當(dāng)111 2.時，f (x)0,即 lnx七【詳解】建立坐標軸如下列圖，W2 W3，其中W1是克服抓斗自重所作解法1 :將抓起污泥的抓斗提升至井口需做功的功；W2是克服纜繩重力作的功； W3為提出污泥所作的功.由題意知W 400N30m12000J.將抓斗由x處提升到x dx處，克服纜繩重力所作的功為dW2 =纜繩每米重?zé)肜K長褪升高度50(3

22、0 x)dx,30從而W,0 50(30 x)dx 22500J.在時間間隔t,t dt內(nèi)提升污泥需做功為dW3 (原始污泥重漏掉污泥重)提升高度(3dt)(2000 20t)3dt將污泥從井底提升至井口共需時間°m 10s,3m/s '10所以W3o 3(2000 20t)dt 57000J.因此，共需做功W W W2 W3(12000 22500 57000) J 91500J解法2：將抓起污泥的抓斗提升至井口需做功記為W，當(dāng)抓斗運動到x處時，作用力f(x)包括抓斗的自重400N ,纜繩的重力50(30 x)N，污泥的重力(2000- 20)N,320170即f(x) 4

23、00 50(30 x) 2000 x 3900 x,3 3于是3039000170,x dx3900x85 2 303 x 01170002450091500J八【分析】先寫出切平面方程，然后求 (x, y, z)，最后將曲面積分化成二重積分 .上任意【詳解】點P(x,y,z) S，S在點P處的法向量為n x, y,2z，設(shè)(X,Y,Z)為點，貝U 的方程為-Y zZ 12x x(X x) y(Y y) 2z(Z z) 0,化簡得一 X2由點到平面的公式，0(0,0,0)至U的距離(x, y,z)| Ax By Cz,A2 B2 C2z21"22zdSS (x, y,z)從而用投影法

24、計算此第一類曲面積分,將S投影到xOy平面，其投影域為D(x,y)|x2 y222x2,(x, y)d,于是zxzy因此dS 14 x2 y2d-2 y22 x2故有dSs (x, y,z)dS4d4x20 (4r2)rdr3_2九【詳解】1因為anan又由局部和數(shù)列因此所以所以由于Sn04tannx(1tan2x)dxtann xsec xdx04 tann xd tan xtan x t1tndt0n(n1 _1)i(i 1)n(1i 1 ilim Snn1,先估計ananan1 0,an an1.an的值，因為tanx，貝U dtsec2 xdx即dxdt"71 tn0 1 t

25、21tndt01 n (n所以1)收斂，從而也收斂.n*十【詳解】根據(jù)題設(shè)，A有一個特征值0，屬于0的一個特征向量為(1, 1,1)T,根據(jù)特征值和特征向量的概念，有A*0 ,把A1代入AA A E中，得AA A EE,那么 AA*E.把 A*0代入，于是AA*A 00A ,即0An 1n1 n也即051 c0 5(1c)常數(shù)0乘以矩陣,需用0乘以矩陣的每一個元素0 5(1(1c)c)0(0 (0(1矩陣相等，那么矩陣的對應(yīng)元素都相同,c)c)3)a可得1 c) b 3) c a)(1)0( a0( 50( 1A的特征值A(chǔ)*的特征值由(1),(3)兩式得兩邊同除0，得整理得a又由A1 c)0(

26、代入(1)中，得3以及a按第3行展開(3(a 1) 2a2,因此a 2,ba)，c a)1.再把c ,有130(其中(31a3,c2,0 11代入中得b1310a21分別是1的行數(shù)和列數(shù))十一【詳解】“必要性.設(shè)BtAB為正定矩陣，那么由定義知，對任意的實n維列向量x 0,有xT BT AB x 0,即Bx 丁 A Bx 0,于是，Bx 0，即對任意的實n維列向量x 0，都有 有唯一零解的充要條件是 r B n.Bx 0.(假設(shè) Bx 0 ,那么 A(Bx)A0 0矛盾).因此，Bx 0只有零解，故有r Bn( Bx 0“充分性 因A為m階實對稱矩陣，那么 A A，故BTAB 丁 BT ATB

27、 BTAB,根據(jù) 實對稱矩陣的定義知 BtAB也為實對稱矩陣.假設(shè)r B n ,那么線性方程組 Bx 0只有零解， 從而對任意的實n維列向量x 0,有Bx 0.又A為正定矩陣，所以對于 Bx 0有Bx 丁 A Bx xT BT AB x 0,故BT AB為正定矩陣對任意的實n維列向量x 0，有 xT BtAB x 0.而由表知yiX X2,YyiXi,Y yiyiX X2,Yyi24PiP XXP X x,YjyjPij,iji,2丄Pj P YyjP X xi ,YiyjPij,jii,2丄通俗點說就是在求關(guān)于X的邊緣分布時，就把對應(yīng)X的所有y都加起來，同理求關(guān)于 Y的邊緣分布時，就把對應(yīng)y的所有x都加起來故 P Y yiPiP X xi,Yyipii即十二【詳解】離散型隨機變量邊緣分布律的定義:iiPYP XXi,丫yiPXX2,丫yiyi又根據(jù)X和丫相互獨立，那么有:P XXi,Yyjp xXi P Yyj即 Pij p'i P j因pXXi,Yyii，p24Yiyi6，而 P X xi,YyiP Xxi P Yyi所以P XXpX %，丫yii一24iP