高數(shù)學 第一章 統(tǒng)計案例 1.1 回歸分析的基本思想及初步應用三課件 新人教A版選修12

1、1.1 回歸分析的基本思想回歸分析的基本思想 及其初步應用（三）及其初步應用（三）非線性回歸模型非線性回歸模型復習回顧復習回顧1、線性回歸模型：、線性回歸模型：y=bx+a+e (其中其中a和和b為模型的未知參數(shù)，為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機誤差稱為隨機誤差)。2、數(shù)據(jù)點和它在回歸直線上相應位置的差異、數(shù)據(jù)點和它在回歸直線上相應位置的差異 是隨機誤差的效應，稱是隨機誤差的效應，稱 為殘差。為殘差。)iiyy(iiieyy=3、對每名女大學生計算這個差異，然后分別將所得、對每名女大學生計算這個差異，然后分別將所得 的值平方后加起來，用數(shù)學符號表示為：的值平方后加起來，用數(shù)學符號表示為： 稱為殘差

2、平方和，稱為殘差平方和，它代表了隨機誤差的效應。它代表了隨機誤差的效應。21()niiiyy 4 、我們可以用相關(guān)指數(shù)我們可以用相關(guān)指數(shù)r2來刻畫回歸的效果，其計算公式是：來刻畫回歸的效果，其計算公式是：222112211()()1()()nniiiiinniiiiyyyyryyyy6.建立回歸模型的基本步驟建立回歸模型的基本步驟1)1)確定解釋變量確定解釋變量x x和預報變量和預報變量y; y; 2)2)畫出散點圖畫出散點圖; ; 3)3)確定回歸方程類型確定回歸方程類型; ; 4)4)求出回歸方程求出回歸方程; ; 5)5)利用相關(guān)指數(shù)或殘差進行分析利用相關(guān)指數(shù)或殘差進行分析. .5.回歸

3、分析的一般方法：回歸分析的一般方法：1）.利用散點圖觀察兩個變量是否線性相關(guān)利用散點圖觀察兩個變量是否線性相關(guān)2）.利用殘差來判斷模型擬合的效果利用殘差來判斷模型擬合的效果(殘差分析殘差分析)利用殘差圖來分析數(shù)據(jù)，對可疑數(shù)據(jù)利用殘差圖來分析數(shù)據(jù)，對可疑數(shù)據(jù)(殘差較大的數(shù)據(jù)殘差較大的數(shù)據(jù))進行進行重新調(diào)查，有錯誤就更正，然后重新利用回歸模型擬合，重新調(diào)查，有錯誤就更正，然后重新利用回歸模型擬合，如果沒有錯誤，則需要找其他原因。如果沒有錯誤，則需要找其他原因。練習練習；關(guān)于關(guān)于x與與y有如下數(shù)據(jù)：有如下數(shù)據(jù)： 有如下的兩個線性模型：有如下的兩個線性模型：（1） ；（；（2） 試比較哪一個擬合效果更

4、好。試比較哪一個擬合效果更好。x24568y30406050706.517.5yx717.yx例例2：一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度和溫度x有關(guān)。現(xiàn)收集了有關(guān)?，F(xiàn)收集了7組觀組觀測數(shù)據(jù)列于表中：測數(shù)據(jù)列于表中：（1 1）試建立產(chǎn)卵數(shù)）試建立產(chǎn)卵數(shù)y y與溫度與溫度x x之間的回歸方程；并預測溫度為之間的回歸方程；并預測溫度為 2828o oc c時產(chǎn)卵數(shù)目。時產(chǎn)卵數(shù)目。（2 2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？ 溫度溫度xoc21232527293235產(chǎn)卵數(shù)產(chǎn)卵數(shù)y/個個711212466115325問題

5、四：若兩個變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例問題四：若兩個變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例2）例例2：一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度和溫度x有關(guān)?，F(xiàn)收集了有關(guān)。現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)組觀測數(shù)據(jù)列于表中，據(jù)列于表中，試建立試建立y與與x之間的回歸方程之間的回歸方程 解解: :作散點圖作散點圖; ;從散點圖中可以看出產(chǎn)卵數(shù)和溫度之間的關(guān)系并不能用從散點圖中可以看出產(chǎn)卵數(shù)和溫度之間的關(guān)系并不能用 線性回歸模型來很好地近似。線性回歸模型來很好地近似。這些散點更像是集中在一條指數(shù)曲線或二次曲線的附近。這些散點更像是集中在一條指數(shù)曲線或二次曲線的附近。問題四：若兩個變量呈現(xiàn)非線

6、性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例問題四：若兩個變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例2）選變量選變量 解：選取氣溫為解釋變量解：選取氣溫為解釋變量x x，產(chǎn)卵數(shù)，產(chǎn)卵數(shù) 為預報變量為預報變量y y。畫散點圖畫散點圖假設線性回歸方程為假設線性回歸方程為 ：=bx+a選選 模模 型型分析和預測分析和預測當當x=28時，時，y =19.8728-463.73 93估計參數(shù)估計參數(shù)由計算器得：線性回歸方程為由計算器得：線性回歸方程為y=y=19.8719.87x x-463.73-463.73 相關(guān)指數(shù)相關(guān)指數(shù)r r2 2= =r r2 20.8640.8642 2=0.7464=0.7464所以，

7、一次函數(shù)模型中溫度解釋了所以，一次函數(shù)模型中溫度解釋了74.64%的產(chǎn)卵數(shù)變化。的產(chǎn)卵數(shù)變化。050100150200250300350036912151821242730333639當當x=28時，時，y =19.8728-463.73 93方法一：一元函數(shù)模型方法一：一元函數(shù)模型問題四：若兩個變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例問題四：若兩個變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例2）奇怪？奇怪？思考：思考：9366 ?模型不好？模型不好？問題四：若兩個變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例問題四：若兩個變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例2） y= c1 x2+c2 變

8、換變換 y= c1 t+c2 非線性關(guān)系非線性關(guān)系 線性關(guān)系線性關(guān)系問題問題選用選用y=c1x2+c2 ，還是，還是y=c1x2+cx+c2 ？問題問題3 產(chǎn)卵數(shù)產(chǎn)卵數(shù)氣溫氣溫問題問題2如何求如何求c1、c2？令 t=x2方法二，二元函數(shù)模型方法二，二元函數(shù)模型問題四：若兩個變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例問題四：若兩個變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例2）平方變換：令平方變換：令t=xt=x2 2，產(chǎn)卵數(shù)，產(chǎn)卵數(shù)y y和溫度和溫度x x之間二次函數(shù)模型之間二次函數(shù)模型y=bxy=bx2 2+a+a就轉(zhuǎn)化為產(chǎn)卵數(shù)就轉(zhuǎn)化為產(chǎn)卵數(shù)y y和溫度的平方和溫度的平方t t之間線性回歸模

9、型之間線性回歸模型y=y=bt+abt+a溫度溫度21232527293235溫度的平方溫度的平方t44152962572984110241225產(chǎn)卵數(shù)產(chǎn)卵數(shù)y/個個711212466115325作散點圖，并由計算器得：作散點圖，并由計算器得：y y和和t t之間的線性回歸方程為之間的線性回歸方程為y=y=0.3670.367t t-202.54-202.54，相關(guān)指數(shù)，相關(guān)指數(shù)r r2 2= =r r2 20.8960.8962 2=0.802=0.802將將t=xt=x2 2代入線性回歸方程得：代入線性回歸方程得： y=y=0.3670.367x x2 2 -202.54 -202.54當

10、當x x=28=28時時，y y=0.367=0.36728282 2- -202.5485202.5485，且，且r r2 2=0.802=0.802，所以，二次函數(shù)模型中溫度解所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了釋了80.2%80.2%的產(chǎn)卵數(shù)變化。的產(chǎn)卵數(shù)變化。t問題四：若兩個變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例問題四：若兩個變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例2）問題問題 變換變換 y=bx+a非線性關(guān)系非線性關(guān)系 線性關(guān)系線性關(guān)系21c xyce問題問題如何選取指數(shù)函數(shù)的底如何選取指數(shù)函數(shù)的底?產(chǎn)卵數(shù)產(chǎn)卵數(shù)氣溫氣溫兩邊取對數(shù)兩邊取對數(shù)問題四：若兩個變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解

11、決？（分析例問題四：若兩個變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例2）方法三：指數(shù)函數(shù)模型溫度溫度xoc21232527293235z=lgy0.851.041.321.381.822.062.51產(chǎn)卵數(shù)產(chǎn)卵數(shù)y/個個711212466115325xz當當x=28x=28o oc c 時，時，y 44 y 44 ，指數(shù)回歸，指數(shù)回歸模型中溫度解釋了模型中溫度解釋了98%98%的產(chǎn)卵數(shù)的變的產(chǎn)卵數(shù)的變化化由計算器得：由計算器得：z z關(guān)于關(guān)于x x的線性回歸方程的線性回歸方程為為z=0.272z=0.272x x-3.849 -3.849 ，相關(guān)指數(shù)相關(guān)指數(shù)r r2 2= =r r2 20.9

12、9250.99252 2=0.98=0.980.272x-3.849 ye 對數(shù)變換：在對數(shù)變換：在 中兩邊取自然對數(shù)得中兩邊取自然對數(shù)得令令 ，則，則 就轉(zhuǎn)換為就轉(zhuǎn)換為z z= =bx+abx+a44333434lnln()lnlnlnlnlnc xc xyc ececc xec xc43c xyc e34ln ,ln,zy ac bc43c xyc e問題四：若兩個變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例問題四：若兩個變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例2）函數(shù)模型函數(shù)模型相關(guān)指數(shù)相關(guān)指數(shù)r2線性回歸模型線性回歸模型0.7464二次函數(shù)模型二次函數(shù)模型0.802指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)

13、模型0.98（1）由上表顯而易見由上表顯而易見，指數(shù)函數(shù)模型最好！，指數(shù)函數(shù)模型最好！問題四：若兩個變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例問題四：若兩個變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例2）思考：最好的思考：最好的模型是哪個模型是哪個?-200-1000100200300400-40-30-20-10010203040 產(chǎn)卵數(shù)產(chǎn)卵數(shù)氣溫氣溫-50050100150200250300350400450-10-50510152025303540產(chǎn)卵數(shù)產(chǎn)卵數(shù)氣溫氣溫線性模型線性模型二次函數(shù)模型二次函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型(1)0.2723.849(2)2y,y0.367202.5

14、43.xex則回歸方程的殘差計算公式分別為：則回歸方程的殘差計算公式分別為：（2）另外由計算可得：）另外由計算可得：(1)(1)0.2723.849(2)(2)2,1,2,.,7;0.367202.543,1,2,.,7.xiiiiiiiieyyyeieyyyxix21232527293235y7112124661153250.557-0.1011.875-8.9509.230-13.38134.67547.69619.400-5.832-41.000-40.104-58.26577.968(1) e(2) e(1)(2)1550.538,15448.431.qq問題四：若兩個變量呈現(xiàn)非線性回

15、歸關(guān)系，如何解決？（分析例問題四：若兩個變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例2）故指數(shù)函數(shù)模型的擬合效果比二次函數(shù)的模擬效果好故指數(shù)函數(shù)模型的擬合效果比二次函數(shù)的模擬效果好.解解: : 令令 則則z=z=bx+a,(abx+a,(a=lnc=lnc1 1,b=c,b=c2 2),),列出變換后數(shù)據(jù)表并畫列出變換后數(shù)據(jù)表并畫 出出x x與與z z 的散點圖的散點圖 z =lnyz =lnyx和z之間的關(guān)系可以用線性回歸模型來擬合z = ax+b+ez = ax+b+e2 2c xc x1 1用用y = c e模y = c e模型型; ;1)x x2121232325252727292932

16、323535z z1.9461.946 2.3982.398 3.0453.045 3.1783.1784.194.194.7454.745 5.7845.784 注：應用統(tǒng)計方法解決實際問題需要注意的問題：注：應用統(tǒng)計方法解決實際問題需要注意的問題： 對于同樣的數(shù)據(jù)，有不同的統(tǒng)計方法進行分析，對于同樣的數(shù)據(jù)，有不同的統(tǒng)計方法進行分析， 我們要用最有效的方法分析數(shù)據(jù)。我們要用最有效的方法分析數(shù)據(jù)?？梢岳弥庇^（散點直觀（散點 圖和殘差圖）、相關(guān)指數(shù)圖和殘差圖）、相關(guān)指數(shù)來確定哪一個模型的擬合效果更好。如本例中現(xiàn)在有三個不同的回歸模型可供選擇來擬合紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)與溫度如本例中現(xiàn)在有三個不同的回歸

17、模型可供選擇來擬合紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)與溫度 數(shù)據(jù)，他們分別是：數(shù)據(jù)，他們分別是：.,212exyecyebaxyexcebxcz2ety 我們可以利用直觀（散點圖和殘差圖）、相關(guān)指數(shù)來確定哪一個模型的擬我們可以利用直觀（散點圖和殘差圖）、相關(guān)指數(shù)來確定哪一個模型的擬 合效果更好。合效果更好。小結(jié)：小結(jié)：1122( ,),(,),.,(,),nnx yxyxy1.對于給定的樣本點對于給定的樣本點 兩個含有未知參數(shù)的模型：兩個含有未知參數(shù)的模型：(1)(2)( , )( , ),yf x ayg x b和其中其中a和和b都是未知參數(shù)。都是未知參數(shù)。用殘差法對擬合效果比較的步驟為：用殘差法對擬合效果比較

18、的步驟為：（1）分別建立對應于兩個模型的回歸方程）分別建立對應于兩個模型的回歸方程 與與 其中其中 和和 分別是參數(shù)分別是參數(shù)a和和b的估計值；的估計值；（2）分別計算兩個回歸方程的殘差平方和）分別計算兩個回歸方程的殘差平方和（3）對兩個回歸方程的殘差平方和比大小，殘差平方和越）對兩個回歸方程的殘差平方和比大小，殘差平方和越 小的擬合效果越好，殘差平方和越大的擬合效果越差。小的擬合效果越好，殘差平方和越大的擬合效果越差。(1)( , )yf x a(2)( , ),yg x b ab注：當回歸方程不是形如注：當回歸方程不是形如y=bx+a時，我們稱之為非線性回歸方程時，我們稱之為非線性回歸方程

19、.2.在散點圖中，若樣本點沒有分布在某個帶狀區(qū)域內(nèi)，則兩個變量不呈現(xiàn)線在散點圖中，若樣本點沒有分布在某個帶狀區(qū)域內(nèi)，則兩個變量不呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，所以不能直接利用線性回歸方程來建立兩個變量之間的關(guān)系性相關(guān)關(guān)系，所以不能直接利用線性回歸方程來建立兩個變量之間的關(guān)系.所所以需要設非線性回歸方程，進而通過一系列轉(zhuǎn)化，將其轉(zhuǎn)化為線性回歸模型以需要設非線性回歸方程，進而通過一系列轉(zhuǎn)化，將其轉(zhuǎn)化為線性回歸模型區(qū)解決。區(qū)解決。用線性回歸模型解決非線性相關(guān)問題思路：用線性回歸模型解決非線性相關(guān)問題思路： （1）對數(shù)型非線性模型通過兩邊取對數(shù)可以轉(zhuǎn)化為線性模型。）對數(shù)型非線性模型通過兩邊取對數(shù)可以轉(zhuǎn)化為線性模型

20、。 （2）二次函數(shù)型非線性模型通過兩邊設元法可以轉(zhuǎn)化為線性模型。）二次函數(shù)型非線性模型通過兩邊設元法可以轉(zhuǎn)化為線性模型。小結(jié)：小結(jié)：進而利用線性回歸模型建立了進而利用線性回歸模型建立了y和和x之間的非線性回歸方程之間的非線性回歸方程.令令z=lny，則變換后樣本點應該分布在直線，則變換后樣本點應該分布在直線z=bx+a（a=lnc1，b=c2） 的周圍的周圍.如本例中，根據(jù)已有的函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)樣本點分布在某一條如本例中，根據(jù)已有的函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)樣本點分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線指數(shù)函數(shù)曲線 的周圍，其中的周圍，其中c1和和c2是待定參數(shù)是待定參數(shù).xcecy21例例1 在一段時間內(nèi)，某中商

21、品的價格在一段時間內(nèi)，某中商品的價格x元和需求量元和需求量y件之間件之間的一組數(shù)據(jù)為：的一組數(shù)據(jù)為：求出求出y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價格價格x1416182022需求量需求量y1210753解：解：18,7.4,xy555221111660,327,620,iiiiiiixyx y7.4 1.15 1828.1.a1.1528.1.yx 回歸直線方程為：51522155iiiiix yxybxx26205 18 7.41.15.16605 18 例例1 在一段時間內(nèi)，某中商品的價格在一段時間內(nèi)，某中商品的價格x元和需求量元和需求量y件之件之間的一組數(shù)據(jù)為：間的一組數(shù)據(jù)為：求出求出y對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。對的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。價