南大復(fù)變函數(shù)與積分變換課件(PPT版)44洛朗級(jí)數(shù)課件

1、1第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 4.4 洛朗級(jí)數(shù) 4.4 洛朗級(jí)數(shù)洛朗級(jí)數(shù)一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)”二、洛朗二、洛朗( (Laurent) )定理定理三、將函數(shù)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)的方法三、將函數(shù)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)的方法2第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 4.4 洛朗級(jí)數(shù) 一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)”1. 問(wèn)題分析問(wèn)題分析引例引例 根據(jù)前面的討論已知，根據(jù)前面的討論已知，函數(shù)函數(shù) 在在 點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)z 110 z展開(kāi)式為展開(kāi)式為. )1| (,1112 zzzz 事實(shí)上，該函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上僅有事實(shí)上，該函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上僅有 一個(gè)奇點(diǎn)，一個(gè)奇點(diǎn)，1 z

2、但正是這樣一個(gè)奇點(diǎn)，使得函數(shù)只能在但正是這樣一個(gè)奇點(diǎn)，使得函數(shù)只能在 內(nèi)展開(kāi)內(nèi)展開(kāi)1| z為為 z 的冪級(jí)數(shù)，的冪級(jí)數(shù)，而在而在 如此廣大的如此廣大的解析區(qū)域解析區(qū)域內(nèi)不能內(nèi)不能1| z展開(kāi)為展開(kāi)為 z 的冪級(jí)數(shù)。的冪級(jí)數(shù)。 有沒(méi)有其它辦法呢？有沒(méi)有其它辦法呢？一粒老鼠屎，壞了一鍋湯！一粒老鼠屎，壞了一鍋湯！3第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 4.4 洛朗級(jí)數(shù) 一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)”1. 問(wèn)題分析問(wèn)題分析設(shè)想設(shè)想 這樣一來(lái)，在整個(gè)復(fù)平面上就有這樣一來(lái)，在整個(gè)復(fù)平面上就有由由 ，,1|1 z1| z有有 從而可得從而可得zzz111111 .11132 zzz; )1|

3、(,1112 zzzz. )1| (,1111132 zzzzz4第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 4.4 洛朗級(jí)數(shù) 一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)”1. 問(wèn)題分析問(wèn)題分析啟示啟示 如果如果不限制不限制一定要展開(kāi)為只含正冪次項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)的話，一定要展開(kāi)為只含正冪次項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)的話，即如果引入負(fù)冪次項(xiàng)，那么就有可能將一個(gè)函數(shù)在整個(gè)即如果引入負(fù)冪次項(xiàng)，那么就有可能將一個(gè)函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上展開(kāi)復(fù)平面上展開(kāi)( (除了奇點(diǎn)所在的圓周上除了奇點(diǎn)所在的圓周上) )。 在引入了負(fù)冪次項(xiàng)以后，在引入了負(fù)冪次項(xiàng)以后，“冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)”的收斂特性如何呢？的收斂特性如何呢？ 下面將討論下列形式的級(jí)數(shù)下面將討論

4、下列形式的級(jí)數(shù):.)()(202010 zzazzaa101202)()( zzazza nnnzza)(05第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 4.4 洛朗級(jí)數(shù) 一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)”分析分析2. 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 的收斂特性的收斂特性 nnnzza)(0將其分為兩部分：將其分為兩部分：正冪次項(xiàng)部分正冪次項(xiàng)部分與與負(fù)冪次項(xiàng)部分負(fù)冪次項(xiàng)部分。;)()(202010 zzazzaa 00)(nnnzza(A) 10)(nnnzza.)()(202101 zzazza(B)(1) 對(duì)于對(duì)于 (A) 式，其收斂域的形式為式，其收斂域的形式為;|20Rzz (2) 對(duì)于對(duì)于 (B) 式，

5、其收斂域的形式為式，其收斂域的形式為;|10Rzz 根據(jù)上一節(jié)的討論可知：根據(jù)上一節(jié)的討論可知：6第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 4.4 洛朗級(jí)數(shù) 一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)”結(jié)論結(jié)論2. 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 的收斂特性的收斂特性 nnnzza)(0(1) 如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 收斂，收斂， nnnzza)(0.|201RzzR 則其收斂域則其收斂域“一定一定”為環(huán)域：為環(huán)域： 如果只含如果只含正正冪次項(xiàng)冪次項(xiàng)( (或者加上有限個(gè)或者加上有限個(gè)負(fù)負(fù)冪次項(xiàng)冪次項(xiàng)) )，特別地特別地則其收斂域?yàn)椋簞t其收斂域?yàn)椋篟zz |00.|00Rzz 或或 如果只含如果只含負(fù)負(fù)冪次項(xiàng)冪次項(xiàng)( (或者加上

6、有限個(gè)或者加上有限個(gè)正正冪次項(xiàng)冪次項(xiàng)) )，則其收斂域?yàn)椋簞t其收斂域?yàn)椋?|0 zzR 上述兩類收斂域被看作是一種上述兩類收斂域被看作是一種特殊的環(huán)域特殊的環(huán)域。7第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 4.4 洛朗級(jí)數(shù) 一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)”結(jié)論結(jié)論2. 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 的收斂特性的收斂特性 nnnzza)(0(1) 如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 收斂，收斂， nnnzza)(0.|201RzzR 則其收斂域則其收斂域“一定一定”為環(huán)域：為環(huán)域：而且具有與冪級(jí)數(shù)同樣的而且具有與冪級(jí)數(shù)同樣的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì)和和分析性質(zhì)分析性質(zhì)。(2) 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析解析

7、的的, nnnzza)(0 因此，下面將討論如何將一個(gè)函數(shù)在其解析環(huán)域內(nèi)展開(kāi)因此，下面將討論如何將一個(gè)函數(shù)在其解析環(huán)域內(nèi)展開(kāi)為上述形式的級(jí)數(shù)。為上述形式的級(jí)數(shù)。8第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 4.4 洛朗級(jí)數(shù) R2z0R1D二、洛朗二、洛朗( (Laurent) )定理定理設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在圓環(huán)域在圓環(huán)域定理定理)(zf,)()(0 nnnzzazfC 為在圓環(huán)域內(nèi)繞為在圓環(huán)域內(nèi)繞 的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線。的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線。0z解析解析,201|:RzzRD 內(nèi)內(nèi)在此圓環(huán)域中展開(kāi)為在此圓環(huán)域中展開(kāi)為則則 一定能一定能)(zf,d)()(2110 Cnnzfia , ),2,1,0( n其中，其中

8、，證明證明 ( (略略) ) C P94定理定理 4.7 ( (進(jìn)入證明進(jìn)入證明?)?)9第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 4.4 洛朗級(jí)數(shù) 注注 (1) 展開(kāi)式中的系數(shù)展開(kāi)式中的系數(shù) 可以用下面得方法直接給出?？梢杂孟旅娴梅椒ㄖ苯咏o出。na.d)()(2110 cnnzzzzfia 20110)()()(zzazzzfnn,10 nnazza,020 nai Cnzzzzfd)()(10二、洛朗二、洛朗( (Laurent) )定理定理R2 z0R1CD 1010101)()()()(nnnnnnzzazzazzazf10第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 4.4 洛朗級(jí)數(shù) 注注 (2) 洛朗級(jí)數(shù)中的正冪

9、次項(xiàng)和負(fù)冪次項(xiàng)分別稱為洛朗級(jí)數(shù)洛朗級(jí)數(shù)中的正冪次項(xiàng)和負(fù)冪次項(xiàng)分別稱為洛朗級(jí)數(shù)二、洛朗二、洛朗( (Laurent) )定理定理的的解析部分解析部分和和主要部分主要部分。(3) 一個(gè)在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開(kāi)為含有正負(fù)冪次項(xiàng)一個(gè)在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開(kāi)為含有正負(fù)冪次項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的。的級(jí)數(shù)是唯一的。(4) 系數(shù)系數(shù) Cnnzfia d)()(2110. )(!10)(zfnn ?(5) 若函數(shù)若函數(shù) 在圓環(huán)在圓環(huán) 內(nèi)解析，則內(nèi)解析，則 在在Rzz |00)(zf)(zf在此圓環(huán)內(nèi)的洛朗展開(kāi)式就是泰勒展開(kāi)式。在此圓環(huán)內(nèi)的洛朗展開(kāi)式就是泰勒展開(kāi)式。11第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 4.4 洛朗級(jí)數(shù)

10、三、將函數(shù)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)的方法三、將函數(shù)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)的方法1. 直接展開(kāi)法直接展開(kāi)法 根據(jù)洛朗定理，在根據(jù)洛朗定理，在指定指定的解析環(huán)上的解析環(huán)上.d)()(2110 Cnnzfia R2 z0R1CD直接計(jì)算展開(kāi)系數(shù)：直接計(jì)算展開(kāi)系數(shù)： 有點(diǎn)繁！有點(diǎn)煩！有點(diǎn)繁！有點(diǎn)煩！12第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 4.4 洛朗級(jí)數(shù) 三、將函數(shù)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)的方法三、將函數(shù)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)的方法 根據(jù)唯一性，利用一些已知的展開(kāi)式，通過(guò)有理運(yùn)算、根據(jù)唯一性，利用一些已知的展開(kāi)式，通過(guò)有理運(yùn)算、代換運(yùn)算、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積等方法展開(kāi)。代換運(yùn)算、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積等方法展開(kāi)。 兩個(gè)重要的已知展開(kāi)式兩個(gè)重要的已知展

11、開(kāi)式,! 3! 21!032e nnzzzznz.| z,111320zzzzznn .1| z2. 間接展開(kāi)法間接展開(kāi)法13第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 4.4 洛朗級(jí)數(shù) 三、將函數(shù)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)的方法三、將函數(shù)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)的方法都需要根據(jù)函數(shù)的奇點(diǎn)位置，將復(fù)平面都需要根據(jù)函數(shù)的奇點(diǎn)位置，將復(fù)平面( (或者題目指定或者題目指定無(wú)論是無(wú)論是直接展開(kāi)法直接展開(kāi)法還是還是間接展開(kāi)法間接展開(kāi)法，在求展開(kāi)式之前，在求展開(kāi)式之前，注意注意的展開(kāi)區(qū)域的展開(kāi)區(qū)域 ) )分為若干個(gè)解析環(huán)。分為若干個(gè)解析環(huán)。比如比如 設(shè)函數(shù)的奇點(diǎn)為設(shè)函數(shù)的奇點(diǎn)為,321zzz展開(kāi)點(diǎn)為展開(kāi)點(diǎn)為,0z則復(fù)平面則復(fù)平面被分為四個(gè)解析

12、環(huán)：被分為四個(gè)解析環(huán)：0z1z2z3zr1r2r314第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 4.4 洛朗級(jí)數(shù) 12函數(shù)函數(shù) 有兩個(gè)奇點(diǎn)：有兩個(gè)奇點(diǎn)：)(zf,2,1 zz以展開(kāi)點(diǎn)以展開(kāi)點(diǎn) 為中心，為中心，0 z將復(fù)平面分為三個(gè)解析環(huán)：將復(fù)平面分為三個(gè)解析環(huán)：解解 (1) 將復(fù)平面分為若干個(gè)將復(fù)平面分為若干個(gè)解析環(huán)解析環(huán);1|0 z;2|1 z.|2 z(2) 將函數(shù)進(jìn)行將函數(shù)進(jìn)行部分分式部分分式分解分解)2( )1(1)( zzzf.2111zz P97 例例4.13 15第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 4.4 洛朗級(jí)數(shù) 解解12 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，1|0 z(3) 將函數(shù)在每個(gè)將函數(shù)在每個(gè)解析環(huán)解析環(huán)內(nèi)分別展

13、開(kāi)內(nèi)分別展開(kāi)zzzf 2111)(21121z z 11.21101)( nnnz 0221nnnz 0nnz16第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 4.4 洛朗級(jí)數(shù) 解解12 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，2|1 z(3) 將函數(shù)在每個(gè)將函數(shù)在每個(gè)解析環(huán)解析環(huán)內(nèi)分別展開(kāi)內(nèi)分別展開(kāi)zzzf 2111)(21121z zz1111 011nnzz 0221nnnz.210101 nnnnnzz17第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 4.4 洛朗級(jí)數(shù) 解解12 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， |2z(3) 將函數(shù)在每個(gè)將函數(shù)在每個(gè)解析環(huán)解析環(huán)內(nèi)分別展開(kāi)內(nèi)分別展開(kāi)zzzf 2111)(zz2111 zz1111 011nnzz 021nnnzz.

14、1201 nnnz18第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 4.4 洛朗級(jí)數(shù) i i有兩個(gè)奇點(diǎn)：有兩個(gè)奇點(diǎn)：, iz 以展開(kāi)點(diǎn)以展開(kāi)點(diǎn) 為中心，為中心，iz 將復(fù)平面分為兩個(gè)解析環(huán)：將復(fù)平面分為兩個(gè)解析環(huán)：解解 (1) 將復(fù)平面分為若干個(gè)將復(fù)平面分為若干個(gè)解析環(huán)解析環(huán)注意：注意：不需要將函數(shù)進(jìn)行不需要將函數(shù)進(jìn)行部分分式部分分式分解。分解。,)( )(1)(izizzf 函數(shù)函數(shù);2|0 iz.|2 iz 0P98 例例4.15 19第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 4.4 洛朗級(jí)數(shù) 0)2()() 1(211nnnniiziiz121211 iiziiziizizzf2)(11)( 解解 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，2|0

15、 izi i(2) 將函數(shù)在每個(gè)將函數(shù)在每個(gè)解析環(huán)解析環(huán)內(nèi)分別展開(kāi)內(nèi)分別展開(kāi).)()2() 1(101 nnnnizi20第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 4.4 洛朗級(jí)數(shù) 02)()2()1()(1nnnniziiziziiziz 21111iizizzf2)(11)( 解解 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， |2izi i(2) 將函數(shù)在每個(gè)將函數(shù)在每個(gè)解析環(huán)解析環(huán)內(nèi)分別展開(kāi)內(nèi)分別展開(kāi).)()2(02 nnnizi21第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 4.4 洛朗級(jí)數(shù) 函數(shù)函數(shù) 有兩個(gè)奇點(diǎn)：有兩個(gè)奇點(diǎn)：)(zf,2,1 zz以展開(kāi)點(diǎn)以展開(kāi)點(diǎn) 為中心，為中心，1 z解解 (1) 將復(fù)平面分為若干個(gè)將復(fù)平面分為若干個(gè)解析環(huán)

16、解析環(huán)注意：注意：不需要將函數(shù)進(jìn)行不需要將函數(shù)進(jìn)行部分分式部分分式分解。分解。;1| 1|0 z.| 1|1 z 0將復(fù)平面分為兩個(gè)解析環(huán)：將復(fù)平面分為兩個(gè)解析環(huán)：1222第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 4.4 洛朗級(jí)數(shù) 解解 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，1| 1|0 z(2) 將函數(shù)在每個(gè)將函數(shù)在每個(gè)解析環(huán)解析環(huán)內(nèi)分別展開(kāi)內(nèi)分別展開(kāi)12zzzzf 21)1(11)(2.)1(11)1(111)(2 zzz 0201)1()1()(nnnnzzzf,)1()1(110 nnzz.)1(2)1(1012 nnzz23第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 4.4 洛朗級(jí)數(shù) 解解 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， | 1|1z(2) 將函數(shù)在每

17、個(gè)將函數(shù)在每個(gè)解析環(huán)解析環(huán)內(nèi)分別展開(kāi)內(nèi)分別展開(kāi)12zzzzf 21)1(11)(2.)1(11)1(111)(2 zzz 1211)1(1)1(1)(nnnnzzzf,)1(1)1(111 nnzz.)1(12)1(132 nnzz24第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 4.4 洛朗級(jí)數(shù) 解解)(e432313! 41! 31! 2111 zzzzzzz,! 41! 31! 223 zzzz在在 內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)。內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)。例例 把函數(shù)把函數(shù)zzzf13e)( | z |0.0 | z |.0 | z |解解)(e! 4! 3! 211143222zzzzzzz 在在 內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)。內(nèi)展開(kāi)

18、成洛朗級(jí)數(shù)。例例 把函數(shù)把函數(shù) | z |0zze21,! 41! 31! 211122 zzzz25第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 4.4 洛朗級(jí)數(shù) 輕松一下吧26第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 4.4 洛朗級(jí)數(shù) 附：附：洛朗定理的證明洛朗定理的證明由二連域的柯西積分公式有由二連域的柯西積分公式有 21,d)(21d)(21)(zfizfizf如圖，在圓環(huán)內(nèi)作兩個(gè)圓：如圖，在圓環(huán)內(nèi)作兩個(gè)圓：證明證明對(duì)對(duì) 內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn) z ，R2zr R z0R1G G1G G2C,| :,| :0201Rzzrzz ,21RRrR 其中，其中，Rzzr |0.21II 記為記為27第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 4

19、.4 洛朗級(jí)數(shù) 附：附：洛朗定理的證明洛朗定理的證明證明證明 2,d)(211zfiI,22內(nèi)內(nèi)在在上上在在z 0010)()()(21)(2122nnnzzdzfidzfi 對(duì)第一個(gè)積分對(duì)第一個(gè)積分. 100 zzz 和泰勒展開(kāi)式一樣，可以推得和泰勒展開(kāi)式一樣，可以推得R2zr R z0R1G G1G G2C28第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 4.4 洛朗級(jí)數(shù) 附：附：洛朗定理的證明洛朗定理的證明證明證明,)()(1)()(1111. 1,.d)(2110101010000001222 nnnnnnzzzzzzzzzzzzzzzzzfiI 因此因此的外部的外部在在點(diǎn)點(diǎn)上上在在由于由于對(duì)于第二個(gè)積分對(duì)于第二個(gè)積分29第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 4.4 洛朗級(jí)數(shù) 附：附：洛朗定理的證明洛朗定理的證明證明證明10,|.d)()()(21)(),()(d)()(21d)(21000010110102111 qzzrzzzqzzfzizRzRzzzfizfiINn