2021-2022學(xué)年北京市高考第二章第二節(jié)　函數(shù)的單調(diào)性與最值 同步練習(xí)數(shù)學(xué)試卷（人教A版）

1、試卷資料匯總第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值學(xué)習(xí)要求:1.借助函數(shù)圖象,會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值.2.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值的作用和實際意義.1.函數(shù)的單調(diào)性(1)增函數(shù)與減函數(shù)的定義:增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為i,且di,如果對任意x1,x2d當(dāng)x1<x2時,都有 f(x1)< f(x2) ,那么就稱y=f(x)在區(qū)間d上是增函數(shù)當(dāng)x1< x2時,都有 f(x1)> f(x2) ,那么就稱y=f(x)在區(qū)間d上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是 上升的 自左向右看圖象是 下降的 (2)單調(diào)區(qū)間的定義:若函數(shù)y=f(x)在區(qū)

2、間d上 單調(diào)遞增或單調(diào)遞減 ,則稱函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間d叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間. 提醒(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或討論函數(shù)的單調(diào)性必須先求函數(shù)的定義域.(2)一個函數(shù)的同一種單調(diào)區(qū)間用“和”或“,”連接,不能用“”連接.(3)“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為m”與“函數(shù)在區(qū)間n上單調(diào)”是兩個不同的概念,顯然nm.2.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為i,如果存在實數(shù)m滿足條件(1)對于任意的xi,都有 f(x)m ;(2)存在x0i,使得 f(x0)=m (1)對于任意的xi,都有 f(x)m ;(2)存在x0i,使得 f(x0)=m 結(jié)論m為函數(shù)y=f(x

3、)的最大值m為函數(shù)y=f(x)的最小值知識拓展1.單調(diào)性定義的等價形式設(shè)任意的x1,x2a,b,x1x2.(1)若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)>0或 f(x1)-f(x2)x1-x2>0,則f(x)在閉區(qū)間a,b上是增函數(shù).(2)若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)<0或 f(x1)-f(x2)x1-x2<0,則f(x)在閉區(qū)間a,b上是減函數(shù).2.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)y=f(u),u=(x),在函數(shù)y=f(x)的定義域上,如果y=f(u)與u=(x)的單調(diào)性相同,那么y=f(x)單調(diào)遞增;如果y=f(u)與u=(x)的單調(diào)性相反,那么y=f(x)單調(diào)遞減

4、.3.函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論(1)若f(x),g(x)均為區(qū)間a上的增(減)函數(shù),則f(x)+g(x)也是區(qū)間a上的增(減)函數(shù).(2)若k>0,則kf(x)與f(x)的單調(diào)性相同;若k<0,則kf(x)與f(x)的單調(diào)性相反.(3)函數(shù)y=f(x)(f(x)>0)與y=-f(x),y=1f(x)在公共定義域內(nèi)的單調(diào)性相反.(4)函數(shù)y=x+ax(a>0)的增區(qū)間為(-,-a和a,+),減區(qū)間為(-a,0)和(0,a).1.判斷正誤(正確的打“”,錯誤的打“”).(1)若定義在r上的函數(shù)f(x)滿足f(-1)<f(3),則函數(shù)f(x)在r上為增函數(shù).()(2)若函數(shù)

5、y=f(x)在1,+)上是增函數(shù),則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是1,+).()(3)函數(shù)y=1x的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,0)(0,+).()(4)所有的單調(diào)函數(shù)都有最值.()(5)閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù),其最值一定在區(qū)間端點處取到.()2.(新教材人教a版必修第一冊p79t3改編)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞減的是()a.y=1x-xb.y=x2-xc.y=ln x-xd.y=ex3.(新教材人教a版必修第一冊p85t1改編)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)g(x)=log12f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()a.(-,-3,0,3b.-3,0,3,+)c.(-,-5),0,1)d.(-1,

6、0,(5,+)4.(新教材人教a版必修第一冊p81例5改編)函數(shù)y=2x-1在區(qū)間2,3上的最大值是. 5.函數(shù)f(x)=1x2-2x-3的單調(diào)增區(qū)間為. 確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)角度一確定不含參函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)典例1(1)(2020湖北荊州高三期末)設(shè)maxa,b=a,ab,b,a<b,則函數(shù)f(x)=maxx2-x,1-x2的單調(diào)遞增區(qū)間為() a.-1,0,12,+b.(-,-1,0,12c.-,-12,0,1d.-12,0,1,+)(2)(2020黑龍江大慶高三模擬)函數(shù)f(x)=x2+x-6的單調(diào)增區(qū)間是()a.(-,-3)b.2,+)c.0,2) d.

7、-3,2角度二確定含參函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)典例2(1)試討論函數(shù)f(x)=axx-1(a0)在(-1,1)上的單調(diào)性.(2)已知f(x)=xx-a(ar,xa).若a=-2,試證明f(x)在(-,-2)上單調(diào)遞增;若a>0,且f(x)在(1,+)上單調(diào)遞減,求a的取值范圍.判斷并證明函數(shù)f(x)=ax2+1x(其中1<a<3)在x1,2上的單調(diào)性.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用角度一利用單調(diào)性比較大小典例3(2020河南鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)=ex-e-x,x>0,-x2,x0,若a=50.01,b=32log32,c=log30.9,則有()a.f(b)>f(a)>

8、f(c)b.f(c)>f(a)>f(b)c.f(a)>f(c)>f(b)d.f(a)>f(b)>f(c)角度二利用單調(diào)性解不等式典例4(2020山東聊城三模)已知函數(shù)f(x)=3e-x,x0,-4x+3,x>0,若f(a2-3)f(-2a),則實數(shù)a的取值范圍是()a.(-,1b.(-,-31,+)c.(-,13,+)d.-3,1角度三利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍典例5(2020廣西柳州實驗中學(xué)高三開學(xué)考試)已知函數(shù)f(x)=logax,0<x<1,(4a-1)x+2a,x1滿足對任意x1x2且x1,x2(0,+),都有 f(x1)-f

9、(x2)x1-x2<0成立,則實數(shù)a的取值范圍是()a.0,16b.0,16c.0,14d.(1,+)1.已知函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個單位長度后關(guān)于y軸對稱,當(dāng)x2>x1>1時,f(x2)-f(x1)(x2-x1)<0恒成立,設(shè)a=f-12,b=f(2),c=f(3),則a,b,c的大小關(guān)系為()a.c>a>bb.c>b>ac.a>c>bd.b>a>c2.如果函數(shù)f(x)=ax+1x+2a在區(qū)間(-2,+)上是增函數(shù),那么a的取值范圍是. 求函數(shù)的最值(值域)典例6(1)(2020安徽六安一中高三月考)若函

10、數(shù)f(x)=2x2+31+x2,則f(x)的值域為()a.(-,3b.(2,3)c.(2,3d.3,+)(2)已知函數(shù)f(x)=x+2x-3,x1,lg(x2+1),x<1,則ff(-3)=,f(x)的最小值是. 定義maxa,b,c為a,b,c中的最大值,設(shè)函數(shù)m=max2x,2x-3,6-x,則m的最小值是()a.2b.3c.4d.6答案解析1.判斷正誤(正確的打“”,錯誤的打“”).(1)若定義在r上的函數(shù)f(x)滿足f(-1)<f(3),則函數(shù)f(x)在r上為增函數(shù).()(2)若函數(shù)y=f(x)在1,+)上是增函數(shù),則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是1,+).()(3

11、)函數(shù)y=1x的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,0)(0,+).()(4)所有的單調(diào)函數(shù)都有最值.()(5)閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù),其最值一定在區(qū)間端點處取到.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(新教材人教a版必修第一冊p79t3改編)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞減的是()a.y=1x-xb.y=x2-xc.y=ln x-xd.y=ex答案a3.(新教材人教a版必修第一冊p85t1改編)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)g(x)=log12f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()a.(-,-3,0,3b.-3,0,3,+)c.(-,-5),0,1)d.(-1,0,(5,+)答案c4.(新教材人教a版必

12、修第一冊p81例5改編)函數(shù)y=2x-1在區(qū)間2,3上的最大值是. 答案25.函數(shù)f(x)=1x2-2x-3的單調(diào)增區(qū)間為. 答案(-,-1)確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)角度一確定不含參函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)典例1(1)(2020湖北荊州高三期末)設(shè)maxa,b=a,ab,b,a<b,則函數(shù)f(x)=maxx2-x,1-x2的單調(diào)遞增區(qū)間為() a.-1,0,12,+b.(-,-1,0,12c.-,-12,0,1d.-12,0,1,+)(2)(2020黑龍江大慶高三模擬)函數(shù)f(x)=x2+x-6的單調(diào)增區(qū)間是()a.(-,-3)b.2,+)c.0,2) d.-3,2答案(

13、1)d(2)b解析(1)由x2-x=1-x2得2x2-x-1=0,解得x=1或x=-12,當(dāng)x1或x-12時,f(x)=maxx2-x,1-x2=x2-x,此時函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為1,+);當(dāng)-12<x<1時, f(x)=maxx2-x,1-x2=1-x2,此時函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-12,0.綜上所述,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-12,0,1,+).(2)要使函數(shù)有意義,則x2+x-60,解得x2或x-3,易知y=x2+x-6在區(qū)間(-,-3上單調(diào)遞減,在區(qū)間2,+)上單調(diào)遞增,y=x在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)f(x)=x2+x-6的單調(diào)增區(qū)

14、間是2,+).角度二確定含參函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)典例2(1)試討論函數(shù)f(x)=axx-1(a0)在(-1,1)上的單調(diào)性.(2)已知f(x)=xx-a(ar,xa).若a=-2,試證明f(x)在(-,-2)上單調(diào)遞增;若a>0,且f(x)在(1,+)上單調(diào)遞減,求a的取值范圍.解析(1)f(x)=a·x-1+1x-1=a1+1x-1,任取x1,x2(-1,1),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=a1+1x1-1-a1+1x2-1=a(x2-x1)(x1-1)(x2-1),因為-1<x1<x2<1,所以x2-x1>0,x1-1<0,x2

15、-1<0,故當(dāng)a>0時,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減;當(dāng)a<0時,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增.(2)證明:任取x1,x2(-,-2),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=x1x1+2-x2x2+2=2(x1-x2)(x1+2)(x2+2).易知(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在(-,-2)上單調(diào)遞增.任取x1,x

16、2(1,+),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=x1x1-a-x2x2-a=a(x2-x1)(x1-a)(x2-a).因為a>0,x2-x1>0,所以要使f(x1)-f(x2)>0恒成立,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,所以a1.綜上所述,0<a1.名師點評1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,應(yīng)先求函數(shù)的定義域,在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間,單調(diào)區(qū)間不能用集合或不等式表示,且圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要用“和”或“,”連接.2.(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法:定義法;圖象法;利用已知函數(shù)的單調(diào)性;導(dǎo)數(shù)法.(2)函數(shù)y=f g(x)的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)y=f(t)和內(nèi)層函數(shù)

17、t=g(x)的單調(diào)性判斷,遵循“同增異減”的原則.判斷并證明函數(shù)f(x)=ax2+1x(其中1<a<3)在x1,2上的單調(diào)性.解析函數(shù)f(x)在1,2上單調(diào)遞增.證明如下:任取x1,x21,2,且x1<x2,則f(x2)-f(x1)=ax22+1x2-ax12-1x1=(x2-x1)a(x1+x2)-1x1x2,由1x1<x22,得x2-x1>0,2<x1+x2<4,1<x1x2<4,-1<-1x1x2<-14.因為1<a<3,所以2<a(x1+x2)<12,得a(x1+x2)-1x1x2>0,從而

18、f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),故當(dāng)a(1,3)時,f(x)在1,2上單調(diào)遞增.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用角度一利用單調(diào)性比較大小典例3(2020河南鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)=ex-e-x,x>0,-x2,x0,若a=50.01,b=32log32,c=log30.9,則有()a.f(b)>f(a)>f(c)b.f(c)>f(a)>f(b)c.f(a)>f(c)>f(b)d.f(a)>f(b)>f(c)答案d當(dāng)x>0時,f(x)=ex-e-x單調(diào)遞增,且f(0)=0;當(dāng)x0時,f(x)=-x2單調(diào)遞增,且f(

19、0)=0,所以函數(shù)f(x)在r上單調(diào)遞增,因為a=50.01>1,0<b=log322<1,c=log30.9<0,所以a>b>c,所以f(a)>f(b)>f(c).角度二利用單調(diào)性解不等式典例4(2020山東聊城三模)已知函數(shù)f(x)=3e-x,x0,-4x+3,x>0,若f(a2-3)f(-2a),則實數(shù)a的取值范圍是()a.(-,1b.(-,-31,+)c.(-,13,+)d.-3,1答案d當(dāng)x0時,f(x)=3e-x單調(diào)遞減;當(dāng)x>0時,f(x)=-4x+3單調(diào)遞減.又3e0=-4×0+3=3,所以函數(shù)y=f(x)在

20、r上連續(xù),則函數(shù)y=f(x)在r上單調(diào)遞減.作出函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示.由f(a2-3)f(-2a)可得a2-3-2a,即a2+2a-30,解得-3a1.故實數(shù)a的取值范圍是-3,1.角度三利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍典例5(2020廣西柳州實驗中學(xué)高三開學(xué)考試)已知函數(shù)f(x)=logax,0<x<1,(4a-1)x+2a,x1滿足對任意x1x2且x1,x2(0,+),都有 f(x1)-f(x2)x1-x2<0成立,則實數(shù)a的取值范圍是()a.0,16b.0,16c.0,14d.(1,+)答案b因為函數(shù)f(x)對任意x1x2且x1,x2(0,+),都有 f(x1

21、)-f(x2)x1-x2<0成立,所以函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,所以0<a<1,4a-1<0,loga1(4a-1)·1+2a,所以0<a16.名師點評1.(1)比較函數(shù)值的大小時,應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決;(2)求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時,往往利用函數(shù)的單調(diào)性脫去“f ”,使其轉(zhuǎn)化為求解具體的不等式.此時應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域.2.利用單調(diào)性求參數(shù)的值(取值范圍)的思路:根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組),或先得到其圖象的升降,再結(jié)合圖象求解.對于分段函數(shù),要注意銜接點的取值.1.已知函

22、數(shù)f(x)的圖象向左平移1個單位長度后關(guān)于y軸對稱,當(dāng)x2>x1>1時,f(x2)-f(x1)(x2-x1)<0恒成立,設(shè)a=f-12,b=f(2),c=f(3),則a,b,c的大小關(guān)系為()a.c>a>bb.c>b>ac.a>c>bd.b>a>c答案d由于函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個單位長度后得到的圖象關(guān)于y軸對稱,故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,所以a=f-12=f52.當(dāng)x2>x1>1時,f(x2)-f(x1)(x2-x1)<0恒成立等價于函數(shù)f(x)在(1,+)上單調(diào)遞減,所以b>a>c.2.如果函數(shù)f(x)=ax+1x+2a在區(qū)間(-2,+)上是增函數(shù),那么a的取值范圍是. 答案1,+)解析f(x)=ax+2a2-2a2+1x+2a=a-2a2-1x+2a,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,+)上是增函數(shù),2a2-1>0,-2a-2,即a2>12,