2022版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章立體幾何第3節(jié)直線平面平行的判定與性質(zhì)學(xué)案含解析新人教A版

1、高考復(fù)習(xí)資料第三節(jié)直線、平面平行的判定與性質(zhì)一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1直線與平面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件aa，b，abaa，a，b結(jié)論abaab(1)證明線面平行常用的方法是證明這條線與平面內(nèi)的某條直線平行但一定要說明一條直線在平面外，一條直線在平面內(nèi)(2)輔助線(面)是解(證)線面平行的關(guān)鍵為了能利用線面平行的判定定理及性質(zhì)定理，往往需要作輔助線(面)2兩個(gè)平面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件a，b，abp，a，b，a，b，a結(jié)論aba判定定理的推論：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行3常用結(jié)論

2、 (1)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面(2)夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長度相等(3)經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行(4)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例(5)同一條直線與兩個(gè)平行平面所成角相等(6)如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行二、基本技能·思想·活動(dòng)體驗(yàn)1判斷下列說法的正誤，對(duì)的打“”，錯(cuò)的打“×”(1)若直線a與平面內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a(×)(2)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行()(3)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這

3、條直線平行于這個(gè)平面(×)(4)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面()2平面平面的一個(gè)充分條件是()a存在一條直線a，a，ab存在一條直線a，a，ac存在兩條平行直線a，b，a，b，a，bd存在兩條異面直線a，b，a，b，a，bd題目解析：a錯(cuò)誤，a可能在經(jīng)過b的平面內(nèi)；b錯(cuò)誤，a與內(nèi)的直線平行或異面；c錯(cuò)誤，兩個(gè)平面可能相交3在正方體abcd-a1b1c1d1中，e，f，g分別是a1b1，cd，b1c1的中點(diǎn)，下列命題正確的是()aae與cg是異面直線b四邊形aec1f是正方形cae平面bc1fd以上都不對(duì)d題目解析：若l，al，a，a，則a，a，故排除a

4、；若l，a，al，則a，故排除b；若l，a，al，b，bl，則a，b，故排除c.故選d.4如圖，在長方體abcd-a1b1c1d1中，e為dd1的中點(diǎn)，則bd1與平面aec的位置關(guān)系為_平行題目解析：連接bd，設(shè)bdaco，連接eo(圖略)在bdd1中，o為bd的中點(diǎn)，e為dd1的中點(diǎn)，所以eo為bdd1的中位線，則bd1eo，而bd1平面ace，eo平面ace，所以bd1平面ace.考點(diǎn)1直線、平面平行的基本問題基礎(chǔ)性1過三棱柱abc-a1b1c1的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面abb1a1平行的直線共有()a4條 b6條 c8條 d12條b題目解析：作出如圖的圖形，e，f，g，h是相應(yīng)

5、棱的中點(diǎn)，故符合條件的直線只能出現(xiàn)在平面efgh中由此四點(diǎn)可以組成的直線有ef，gh，fg，eh，ge，hf，共有6條2(多選題)如圖，在下列四個(gè)正方體中，a，b為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，m，n，q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線ab與平面mnq平行的是()bcd題目解析：a項(xiàng)，作如圖所示的輔助線，其中d為bc的中點(diǎn)，則qdab.因?yàn)閝d平面mnqq，所以qd與平面mnq相交，所以直線ab與平面mnq相交b項(xiàng)，作如圖所示的輔助線，則abcd，cdmq，所以abmq.又ab平面mnq，mq平面mnq，所以ab平面mnq.c項(xiàng)，作如圖所示的輔助線，則abcd，cdmq，所以abmq.又ab平面m

6、nq，mq平面mnq，所以ab平面mnq.d項(xiàng)，作如圖所示的輔助線，則abcd，cdnq，所以abnq.又ab平面mnq，nq平面mnq，所以ab平面mnq.故選bcd.3(多選題)在正方體abcd-a1b1c1d1中，m，n，q分別是棱d1c1，a1d1，bc的中點(diǎn)，點(diǎn)p在bd1上且bpbd1，則下列說法正確的是()amn平面apcbc1q平面apcca，p，m三點(diǎn)共線d平面mnq平面apcbc題目解析：如圖，對(duì)于a，連接mn，ac，則mnac，連接am，cn.易得am，cn交于點(diǎn)p，即mn平面apc，所以a選項(xiàng)錯(cuò)誤對(duì)于b，由a知m，n在平面apc內(nèi)，由題易知anc1q，且an平面apc，c

7、1q平面apc.所以b選項(xiàng)正確對(duì)于c，由a知，a，p，m三點(diǎn)共線，所以c選項(xiàng)正確對(duì)于d，由a知mn平面apc，又mn平面mnq，所以d選項(xiàng)錯(cuò)誤直線、平面平行的判定方法(1)關(guān)注是否符合判定定理與性質(zhì)定理，并注意定理中易忽視的條件(2)結(jié)合題意構(gòu)造圖形，結(jié)合圖形做出判斷(3)利用實(shí)物進(jìn)行空間想象，比較判斷(4)熟記一些常見結(jié)論，如垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行等考點(diǎn)2直線、平面平行的判定與性質(zhì)綜合性如圖，在幾何體e­abcd中，四邊形abcd是矩形，ab平面bec，beec，abbeec2，g，f分別是線段be，dc的中點(diǎn)求證：gf平面ade.證明：(方法一：線線平行，則線面平行)如圖

8、，取ae的中點(diǎn)h，連接hg，hd.因?yàn)間是be的中點(diǎn)，所以ghab，且ghab.又f是cd的中點(diǎn)，所以dfcd.由四邊形abcd是矩形得abcd，abcd，所以ghdf，且ghdf，從而四邊形hgfd是平行四邊形，所以gfdh.又dh平面ade，gf平面ade，所以gf平面ade.(方法二：面面平行，則線面平行)如圖，取ab的中點(diǎn)m，連接mg，mf.因?yàn)間是be的中點(diǎn)，所以gmae.又ae平面ade，gm平面ade，所以gm平面ade.在矩形abcd中，由m，f分別是ab，cd的中點(diǎn)得mfad.又ad平面ade，mf平面ade.所以mf平面ade.又因?yàn)間mmfm，gm平面gmf，mf平面gm

9、f，所以平面gmf平面ade.因?yàn)間f平面gmf，所以gf平面ade.解決線面平行問題的關(guān)鍵點(diǎn)(1)利用判定定理判定直線與平面平行，關(guān)鍵是找出平面內(nèi)與已知直線平行的直線可先直觀判斷平面內(nèi)是否已有，若沒有，則需作出該直線，?？紤]作三角形的中位線、平行四邊形的對(duì)邊或過已知直線作一平面找其交線(2)線面平行的性質(zhì)定理是空間圖形中產(chǎn)生線線平行的主要途徑，常用于作截面1(多選題)(2020·濟(jì)寧期末)已知m，n為兩條不重合的直線，為兩個(gè)不重合的平面，則下列說法正確的是()a若m，n且，則mnb若mn，m，n，則c若mn，n，m，則md若mn，n，則mbc題目解析：若m，n且，則可能mn，m，n

10、異面，或m，n相交，a錯(cuò)誤；若mn，m，則n，又n，故，b正確；若mn，n，則m或m，又，m，故m，c正確；若mn，n，則m，又，則m或m，d錯(cuò)誤故選bc.2一個(gè)長方體被一個(gè)平面所截得的幾何體如圖所示，四邊形efgh為截面，則四邊形efgh的形狀為_平行四邊形題目解析：因?yàn)槠矫鎍bfe平面cdhg，又平面efgh平面abfeef，平面efgh平面cdhghg，所以efhg.同理ehfg，所以四邊形efgh是平行四邊形3如圖，已知點(diǎn)p是平行四邊形abcd所在平面外的一點(diǎn)，e，f分別是pa，bd上的點(diǎn)，且peeabffd.求證：ef平面pbc.證明：(方法一)連接af，并延長交bc于點(diǎn)g，連接pg

11、.因?yàn)閎cad，所以.又因?yàn)?，所以，所以efpg.又因?yàn)閜g平面pbc，ef平面pbc，所以ef平面pbc.(方法二)過點(diǎn)f作fmad，交ab于點(diǎn)m，連接em.因?yàn)閒mad，adbc，所以fmbc.又因?yàn)閒m平面pbc，bc平面pbc，所以fm平面pbc.由fmad得.又因?yàn)椋?，所以empb.因?yàn)閜b平面pbc，em平面pbc，所以em平面pbc.因?yàn)閑mfmm，em，fm平面efm，所以平面efm平面pbc，因?yàn)閑f平面efm，所以ef平面pbc.考點(diǎn)3面面平行的判定與性質(zhì)及平行的綜合問題應(yīng)用性考向1面面平行的判定與性質(zhì)如圖，在三棱柱abc-a1b1c1中，e，f，g，h分別是ab，ac

12、，a1b1，a1c1的中點(diǎn)求證：(1)b，c，h，g四點(diǎn)共面；(2)平面efa1平面bchg.證明：(1)因?yàn)間，h分別是a1b1，a1c1的中點(diǎn)，所以gh是a1b1c1的中位線，所以ghb1c1.又因?yàn)閎1c1bc，所以ghbc，所以b，c，h，g四點(diǎn)共面(2)因?yàn)閑，f分別是ab，ac的中點(diǎn)，所以efbc.因?yàn)閑f平面bchg，bc平面bchg，所以ef平面bchg.又g，e分別為a1b1，ab的中點(diǎn)，a1b1ab且a1b1ab，所以a1gbe且a1gbe，所以四邊形a1ebg是平行四邊形，所以a1egb.又因?yàn)閍1e平面bchg，gb平面bchg，所以a1e平面bchg.又因?yàn)閍1eef

13、e，a1e，ef平面efa1，所以平面efa1平面bchg.1在本例中，若將條件“e，f，g，h分別是ab，ac，a1b1，a1c1的中點(diǎn)”變?yōu)椤癲1，d分別為b1c1，bc的中點(diǎn)”，求證：平面a1bd1平面ac1d.證明：如圖，連接a1c，與ac1交于點(diǎn)m.因?yàn)樗倪呅蝍1acc1是平行四邊形，所以m是a1c的中點(diǎn)，連接md.因?yàn)閐為bc的中點(diǎn)，所以a1bdm.因?yàn)閍1b平面a1bd1，dm平面a1bd1，所以dm平面a1bd1.由三棱柱的性質(zhì)知，d1c1bd且d1c1bd，所以四邊形bdc1d1為平行四邊形，所以dc1bd1.又dc1平面a1bd1，bd1平面a1bd1，所以dc1平面a1b

14、d1.又dc1dmd，dc1，dm平面ac1d，所以平面a1bd1平面ac1d.2在本例中，若將條件“e，f，g，h分別是ab，ac，a1b1，a1c1的中點(diǎn)”變?yōu)椤包c(diǎn)d，d1分別是ac，a1c1上的點(diǎn)，且平面bc1d平面ab1d1”，試求的值解：連接a1b，交ab1于點(diǎn)o，連接od1.因?yàn)槠矫鎎c1d平面ab1d1，且平面a1bc1平面bc1dbc1，平面a1bc1平面ab1d1d1o，所以bc1d1o，則1.同理ad1dc1.又add1c1，所以四邊形adc1d1是平行四邊形，所以add1c1.又aca1c1，所以，所以1，即1.判定面面平行的方法(1)利用定義，即兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)(不常

15、用)(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)(3)利用垂直于同一條直線兩平面平行(4)利用平面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行考向2平行關(guān)系的綜合問題如圖，在正方體abcd-a1b1c1d1中，e是棱dd1的中點(diǎn)在棱c1d1上是否存在一點(diǎn)f，使b1f平面a1be？證明你的結(jié)論解：在棱c1d1上存在一點(diǎn)f，使b1f平面a1be.證明如下：如圖所示，分別取c1d1和cd的中點(diǎn)f，g，連接b1f，eg，bg，cd1，fg.因?yàn)閍1d1b1c1bc，且a1d1bc，所以四邊形a1bcd1是平行四邊形，所以d1ca1b.又e，g分別為d1d，cd的中點(diǎn)，所以egd1c，從而

16、ega1b.這說明a1，b，g，e四點(diǎn)共面所以bg平面a1be.因?yàn)樗倪呅蝐1cdd1與b1bcc1皆為正方形，f，g分別為c1d1和cd的中點(diǎn)，所以fgc1cb1b，且fgc1cb1b，所以四邊形b1bgf是平行四邊形，所以b1fbg，而b1f平面a1be，bg平面a1be，故b1f平面a1be.解決面面平行問題的關(guān)鍵點(diǎn)(1)在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，絕不可過于“模式化”(2)解答探索性問題的基本策略是先假設(shè)，再嚴(yán)格證明，先猜想再證明是學(xué)習(xí)和研究的重

17、要思想方法1設(shè)，為三個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“m，n，且_，則mn”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題，n；m，n；n，m.可以填入的條件有()abcdc題目解析：由面面平行的性質(zhì)定理可知，正確；當(dāng)n，m時(shí)，n和m在同一平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)，所以平行，正確2在四面體abcd中，m，n分別是acd，bcd的重心，則四面體的四個(gè)面中與mn平行的是_平面abc，平面abd題目解析：如圖，連接am并延長交cd于點(diǎn)e，連接bn并延長交cd于點(diǎn)f.由重心的性質(zhì)可知，e，f重合為一點(diǎn)且該點(diǎn)為cd的中點(diǎn)e.由，得mnab，因此，mn平面abc，且mn平面abd.3如圖，在

18、正方體abcd-a1b1c1d1中，s是b1d1的中點(diǎn)，e，f，g分別是bc，cd，sc的中點(diǎn)，求證：(1)eg平面bdd1b1；(2)平面efg平面bdd1b1.證明：(1)如圖，連接sb，因?yàn)閑，g分別是bc，sc的中點(diǎn)，所以egsb.又因?yàn)閟b平面bdd1b1，eg平面bdd1b1，所以直線eg平面bdd1b1.(2)如圖，連接sd，因?yàn)閒，g分別是cd，sc的中點(diǎn)，所以fgsd.又因?yàn)閟d平面bdd1b1，fg平面bdd1b1，所以fg平面bdd1b1.又eg平面bdd1b1，eg平面efg，fg平面efg，egfgg，所以平面efg平面bdd1b1.如圖，四邊形abcd是邊長為3的正

19、方形，de平面abcd，af平面abcd，de3af3.證明：平面abf平面dce.四字程序讀想算思平面abf平面dce，de平面abcd，af平面abcd，de3af3面面平行的證明方法；線面面面，線線面面構(gòu)造平行關(guān)系證明平行的有關(guān)定理：1面面平行的判定定理；2面面平行判定定理的推論思路參考：應(yīng)用面面平行的判定定理證明證明：因?yàn)閐e平面abcd，af平面abcd，所以deaf.因?yàn)閍f平面dce，de平面dce，所以af平面dce.因?yàn)樗倪呅蝍bcd是正方形，所以abcd.因?yàn)閍b平面dce，所以ab平面dce.因?yàn)閍bafa，ab平面abf，af平面abf，所以平面abf平面dce.思路參考：利用兩個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行證明證明：因?yàn)閐e平面abcd，af平面abcd，所以deaf.因?yàn)樗倪呅蝍bcd為正方形，所以abcd.又afaba，af，ab平面abf，decdd，de，dc平面dce，所以平面abf平面dce.思路參考：利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行證明證明：因?yàn)閐e平面abcd，所以dead，在正方形abcd中，adcd，又decdd，所以ad平面dce.同理ad平面abf，所以平面abf平面dce.1本題考查空間中面與面平行的證明方法，基本的解題策略是借助于“平行”的有關(guān)定理來證明，對(duì)于此類題目要注意對(duì)定理的熟練應(yīng)用2基于課