第四章 傅里葉變換及應(yīng)用

1、復(fù)習(xí)分離變量法：復(fù)習(xí)分離變量法：2(),0, 0, 0,( , ,0)( , ), ( , ,0)( , ), 0, 0,(0, , )( , , ) 0,0,0,( ,0, )( , , ) 0,0,0.ttxxyytuc uux ay b tuxyxy u xyxyx ay bu ytuayty btux tuxbtx at 求解下列定解問題求解下列定解問題( , , )( ) ( ) ( )0u x y tx x y y t t解：設(shè)解：設(shè) 2( )( )( )( )( )( )ttxxyyc t tx xy y 2( )( ) 0,0,t tct tt( )( )0,0,xxx xxa

2、( )( )0,0.yyy yyb代入方程，得代入方程，得令令(0)( )0xx a代入邊界條件代入邊界條件( )( )0,0,(0)( )0.xxx xxaxx a得特征值問題得特征值問題求得特征值和對應(yīng)的特征函數(shù)為求得特征值和對應(yīng)的特征函數(shù)為2,( )sin,1,2, .mmmmm xx xamaa 類似地類似地, , 我們得到我們得到 (0)( )0yy b( )( )0,0,(0)( )0.yyy yybyy b其特征值和對應(yīng)的特征函數(shù)為其特征值和對應(yīng)的特征函數(shù)為2,( )sin,1,2, .nnnnn yy ybnbb 及特征值問題及特征值問題2222mnmnab22( )( )0,

3、mnmnmnttc tt( )cossinmnmnmnmnmnttcctdct記記代入關(guān)于代入關(guān)于t t的方程的方程上述方程通解為上述方程通解為( , , )( )( )( ),mnmnmnmnux y txx yy tt1111(, )(, )()()( )m nmnm nnmnmuxy tuxy txx yy tt 11(cossin)sinsinmnmnmnmnnmm xn yactbctab,.mnmnmnmnmnmnac a bbd a b于是得到于是得到利用疊加原理利用疊加原理, , 得到定解問題的形式解得到定解問題的形式解其中系數(shù)其中系數(shù) 下面下面, , 我們利用初始條件確定系數(shù)

4、我們利用初始條件確定系數(shù) 11( , ,0)( , )sinsinmnnmm xn yu x yx yaab11( , ,0)( , )sinsintmn mnnmm xn yu x yx ybcab由于三角函數(shù)系的正交性由于三角函數(shù)系的正交性, , 得得 0 0 0 04( , )sinsin,4( , )sinsin,abmnabmnmnm xn yax ydxdyababm xn ybx ydxdyabcab 第四章第四章 傅里葉變換及應(yīng)用傅里葉變換及應(yīng)用 傅里葉變換是積分變換的一種，傅里葉變換是積分變換的一種，它可用來求解無界區(qū)域上的定解問題。它可用來求解無界區(qū)域上的定解問題。 傅里葉

5、變換可以把線性偏微分方傅里葉變換可以把線性偏微分方程變?yōu)楹休^少變量的線性偏微分方程變?yōu)楹休^少變量的線性偏微分方程或常微分方程，從而使問題得到簡程或常微分方程，從而使問題得到簡化化 1ixfefx dx（ ） 1 22ixf xfed（ ） f如果 滿足上面的條件，我們可以定義傅立葉逆變換為:( )f x如果函數(shù) 在 上絕對可積，它的傅立葉變換定義如下：(,) 一一. . 傅立葉變換傅立葉變換反演公式反演公式注1： 在有些參考文獻(xiàn)中在有些參考文獻(xiàn)中, , 因子被分解因子被分解成成 , , 并且分別含在上述兩個(gè)式子并且分別含在上述兩個(gè)式子（1 1）和（）和（2 2）中）中. . 而在式而在式(

6、1)(1)中的函數(shù)中的函數(shù) 寫成寫成 ， 從而在式從而在式(2)(2)中函數(shù)中函數(shù) 寫寫成成 . . 這些本質(zhì)上同定義（這些本質(zhì)上同定義（1 1）（）（2 2）沒）沒有差別有差別. .121122j xejxej xej xe注2：在三維無界空間中在三維無界空間中, , 若若 是絕對可是絕對可積函數(shù)積函數(shù), , 則可定義三重傅里葉變換則可定義三重傅里葉變換 ()(,)( , ) 3xyzjxyzxyzffx y z edxdydz（ ）()31( , , )(,) 4(2 )xyzjxyzxyzxyzf x y zfeddd （ ）( , , )f x y z當(dāng)然，我們也可以定義傅立葉逆變當(dāng)然

7、，我們也可以定義傅立葉逆變換換傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換的性質(zhì): : 1） 線性性質(zhì)線性性質(zhì) 設(shè) f, g 是絕對可積函數(shù)， 是任 意復(fù)常數(shù)，則 , ( )( )ffgf ff g nnf fi f ff fif f（ ），（ ）2） 微分性質(zhì)微分性質(zhì) 設(shè) f , 絕對可積函數(shù)，則 f df xfif fd3）乘多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式 設(shè) f , x f 絕對可積，則 4）相似性質(zhì)相似性質(zhì) 設(shè) f (x) 絕對可積，則 10( ()( )()(),.|f f axf faaa 6） 卷積性質(zhì)卷積性質(zhì) 設(shè)f , g 是絕對可積函數(shù)， 令 fg xfxt g t dt ffgff f g 則則5）延遲性質(zhì)

8、延遲性質(zhì) 設(shè) f (x) 絕對可積，則 ( ()(),.iyf f xyef fyr 7 7）積分性質(zhì)）積分性質(zhì)1()( ),ffdf fi （ ）8 8）頻移性質(zhì)）頻移性質(zhì)00()(),ixf f x ef （ ） 2200,uuxr ttxu xxxr 例例1 1 用傅里葉變換法解熱傳導(dǎo)方程定解問題：解：作關(guān)于 x 的傅立葉變換, ,ixu x tutu x t edx x 方程可變?yōu)?20,|tdututdtut 設(shè)二二. . 傅里葉變換的應(yīng)用傅里葉變換的應(yīng)用 2,tute 可解得 由于221412 xttfeet 22412 xttfeet 即 22441122 , xxttutfef

9、fett 則從而方程的解 241( , )2stu x txs edst 1,( , )u x tfut 2 141*2xtffet 2 41*2xtet 2 141( )2xtfffet 22( , ),0,0uuf x txr ttxu xx例例 用積分變換法解方程：解： 作關(guān)于 的傅立葉變換。設(shè)xdxetxututxuxi, x 方程變?yōu)?20,|tdututftdtut ,f x tft 22()0,( , ).tttutefed 用常數(shù)變易法可解得 22412 xttfeet 而 224401212 (),( , ).()xtxttutfetffedt 則 1,( , )u x tf

10、ut 2214401212 ()( , )()xtxttffetffedt 2141*2xtffet 214012()( , )*()xttfff xedt 2 41*2xtet 24012 ()( , )*()xttf xedt 2()412xtedt 24012() ()( , )xttfdedt 傅立葉變換是一種把分析運(yùn)算化為代數(shù)傅立葉變換是一種把分析運(yùn)算化為代數(shù)運(yùn)算的有效方法運(yùn)算的有效方法, ,但但1.1.傅立葉變換要求原象函數(shù)在傅立葉變換要求原象函數(shù)在r r上絕對上絕對可積可積. .大部分函數(shù)不能作傅立葉變換大部分函數(shù)不能作傅立葉變換2.2.傅立葉變換要求函數(shù)在整個(gè)數(shù)軸上有傅立葉變換

11、要求函數(shù)在整個(gè)數(shù)軸上有定義定義, ,研究混合問題時(shí)失效研究混合問題時(shí)失效. . 積分變換法求解問題的步驟積分變換法求解問題的步驟對方程的兩邊做對方程的兩邊做 傅里葉變換將偏微分方程變傅里葉變換將偏微分方程變?yōu)槌Ｎ⒎址匠虨槌Ｎ⒎址匠虒Χń鈼l件做相應(yīng)的積分變換，導(dǎo)出新方程對定解條件做相應(yīng)的積分變換，導(dǎo)出新方程對應(yīng)的定解條件對應(yīng)的定解條件求常微分方程及定解條件的解求常微分方程及定解條件的解對解的變換式取相應(yīng)的逆變換，得到原定解對解的變換式取相應(yīng)的逆變換，得到原定解問題的解問題的解數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程+ +定解條件定解條件解解常微分方程常微分方程+ +定解條件定解條件解解積分變換逆變換如何使用積分

12、變換法求解定解問題：如何使用積分變換法求解定解問題：1)1) 選取恰當(dāng)?shù)姆e分變換，對某個(gè)（某些）自變量選取恰當(dāng)?shù)姆e分變換，對某個(gè)（某些）自變量作積分變換，得到象函數(shù)的含參變量的常微分方作積分變換，得到象函數(shù)的含參變量的常微分方程；程；2 2）對部分定解條件取相應(yīng)的積分變換）對部分定解條件取相應(yīng)的積分變換, , 導(dǎo)出象函導(dǎo)出象函數(shù)方程的定解條件；數(shù)方程的定解條件；3 3）解關(guān)于象函數(shù)的定解問題）解關(guān)于象函數(shù)的定解問題, , 求出象函數(shù)；求出象函數(shù)；4 4）將象函數(shù)取積分逆變換，即得原定解問題的解）將象函數(shù)取積分逆變換，即得原定解問題的解. . , 0傅立葉變換的取值范圍是傅立葉變換的取值范圍是

13、， 拉普拉斯變換的取值范圍是拉普拉斯變換的取值范圍是 。需要注意需要注意xxtxuxxutxxuatu),()0 ,(),()0 ,(0,22222),(d)0 ,(d),()0 ,(0),(d),(d2222tuuttuattu解：取變換符氏tabtaatusincos),( ,0)( )ua ( )( , )( )cossinuta ta ta ( )baj)(ef)f(xj)(d0f)f(x例3 用傅里葉變換求解波動方程的初值問題：,u x tut( )( ),x ( )( ).x ( )( , )( )cossinuta ta ta j2)(2)(jjjjtatatataeeaeeta

14、tatataeeaeejjjjj)(j)(21)()(21d )(d )(21)()(21),(00atxatxaatxatxtxud )(21)()(21atxatxaatxatxj)(ef)f(xj)(d0f)f(x例4 用用傅里葉變換求解波動方程的初值問題傅里葉變換求解波動方程的初值問題：200( , )(,0)|( )|( )ttxxtt tua uf x txtuxux 解：作關(guān)于 x 的傅立葉變換。設(shè),u x tut( )( ),x ( )( ).x ,f x tft于是原方程變?yōu)?222,d utautftdt 滿足初始條件0,|,tut 0,|tdutdt 222200,|,|

15、ttd utautftdtutdutdt 齊次方程的解齊次方程的解12( , )cossinutca tca t設(shè)非齊次方程的解為設(shè)非齊次方程的解為12( , )( )cos( )sinutc ta tc ta t1212( , )( )-sin( )sin( )cos( )cosutc t aa tc t aa tc ta tc ta t令令12( )cos( )sin0c ta tc ta t12( , )( )()sin( )cosutc taa tc t aa t12222212( , )( )sin( )cos( )cos( )sinutc t aa tc t aa tc t aa

16、tc t aa t 則則代入方程代入方程122222122212( )sin( )cos( )cos( )sin( )cos( )sin)( , )c t aa tc t aa tc t aa tc t aa tac ta tc ta tft 得得12( , )( )sin( )cosftc ta tc ta ta12( )cos( )sin0c ta tc ta t12( , )( )sin( , )( )=cosftc ta taftc ta ta 積分上述兩式積分上述兩式12( , )( )sin( , )( )=cosftc ta tdtaftc ta tdta得到非齊次方程的通解為0( , )cossin1( , )sin()tutca tda tfatda 由初始條件0sin( , )( )cos( )1( ,