期中復(fù)習(xí)2011通達(dá)重修課件

1、 期中復(fù)習(xí) 2011.4一、多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用一、多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用1、會求二元函數(shù)的極限、會求二元函數(shù)的極限00limyx22)()cos(12222yxeyxyx 例例2 2xyxyyx11lim00 求求)11(11lim00 xyxyxyyx111lim00 xyyx.21 例例1 1)()(21lim222220022yxeyxyxyx 0lim21222200 yxyxeyx2、能利用一元函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算多元函數(shù)的、能利用一元函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算多元函數(shù)的一階二階偏導(dǎo)，會求多元函數(shù)的全微分。一階二階偏導(dǎo)，會求多元函數(shù)的全微分。 例例1.（1）計(jì)算）計(jì)算z = x2y+y3的

2、全微分；的全微分； （2）計(jì)算）計(jì)算z = x2y+y3在點(diǎn)在點(diǎn)(2，1)處的全微分；處的全微分；解解 (1)223,2yxyzxyxz dyyxxydxdz)3(222 (2)7 , 4)1 ,2()1 ,2( yzxzdydxdz74 .)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 解解3、多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微、偏導(dǎo)、多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微、偏導(dǎo) 數(shù)連續(xù)的關(guān)系數(shù)連續(xù)的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)存在偏導(dǎo)存在4、會求多元復(fù)合函數(shù)、會求多元復(fù)合函數(shù)(特別抽象函數(shù)特別抽象函數(shù))的一階，二階的一階，二階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)例例1 1解解.)(),(2

3、yxzfyxxyfz ，求，求具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)設(shè)yff yxz121 )(11)(22221222121112yxfxfyfyyxfxfyfyxz 223221111fyxfyfxyf 221fyxfxyz 5、 隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（單個(gè)方程的情況）隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（單個(gè)方程的情況）解解22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)兩邊對兩邊對在在xzzyx04222 ,zxxzxzxzzx 24226會求空間曲線的切線、法平面及空間會求空間曲線的切線、法平面及空間曲面的曲面的切平面、法線切平面、法線 例例1 求曲線求曲

4、線 在在 處的切線處的切線與法平面方程與法平面方程. .)21,31,41(10Mt對應(yīng)的點(diǎn)對應(yīng)的點(diǎn) 1 , 1 , 1| ,123 ttttT點(diǎn)處曲線的切向量為點(diǎn)處曲線的切向量為0M解解: :2,3,4234tztytx 1 t切線方程切線方程,121131141 zyx法平面方程法平面方程, 0)21()31()41( zyx. 01213 zyx即即解解, 32),( xyezzyxFz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yFx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xFy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzeF令令切平面方程切平面方程法線方程法線方程, 0)0(0)2

5、(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx7.會計(jì)算可微函數(shù)在一點(diǎn)沿某個(gè)方向的方向?qū)?shù)與函會計(jì)算可微函數(shù)在一點(diǎn)沿某個(gè)方向的方向?qū)?shù)與函數(shù)在某一點(diǎn)的梯度數(shù)在某一點(diǎn)的梯度解解; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所所求求方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù) cos2cos lz.22 21cossin,21coscos 所所以以解解 令令, 632),(222 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF, 22 PPzzF故故 zyxFFFn , ,2, 6, 4 ,142264222 n方向余弦為方向余弦為,142cos ,143cos

6、.141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 PPzuyuxunu)coscoscos( .711 故故例例3 求函數(shù)求函數(shù)f(x，y，z)=x2+y2+z2在點(diǎn)在點(diǎn)M0(1，1，2)處的梯度處的梯度 解：解： grad f=2x，2y，2z，grad f (1，1，2)=2，2，4 8. 會求多元函數(shù)極值會求多元函數(shù)極值例例1 求函數(shù)求函數(shù)f (x，y)= x3y3+3x2+3y29x的極值的極值 解解 先解方程組先解方程組 .063),(,0963),(22yyyxfxxyxfyx求得駐點(diǎn)為求得駐點(diǎn)為( (1，

7、0),(),(1，2),(),(3，0),(),(3, ,2).). 在點(diǎn)（在點(diǎn)（1，0）處，）處，ACB2 = 126 0，又，又 A0fxx(x，y) = 6x+6，fxy(x，y)=0，fyy(x，y)=6y+6 所以函數(shù)在（所以函數(shù)在（1，0）處有極小值）處有極小值f（1，0）=5； 同理：同理：f（1, ,2）, ,f（-3,1）不是極值；不是極值； 函數(shù)在（函數(shù)在（3，2）處有極大值）處有極大值3131 9. 會用拉格朗日乘數(shù)法解決多元函數(shù)的條件極值問題。會用拉格朗日乘數(shù)法解決多元函數(shù)的條件極值問題。例例1 求表面積為求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積。而體積為最大的長方體的

8、體積。 解：解：設(shè)長方體的三棱長為設(shè)長方體的三棱長為x，y，z，則問題就是在，則問題就是在條件條件下下求求函函數(shù)數(shù))1( 0222),(2 axzyzxyzyx V = xyz (x0，y0，z0)的最大值。的最大值。 構(gòu)成輔助函數(shù)構(gòu)成輔助函數(shù)求其對求其對x，y，z的偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，得到的偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，得到 )2(0)(20)(20)(2 yxxyzxxzzyyz F(x，y，z)= xyz+(2xy+2yz+2xza2)， 再與（再與（1）聯(lián)立求解。）聯(lián)立求解。因因x，y，z都不為零，所以由（都不為零，所以由（2）可得）可得.,zxyxzyzyzxyx 由以上兩式解得由以上兩式解得

9、 x = y = z。將此代入（將此代入（1）式，便得）式，便得,66azyx 這是唯一可能的極值點(diǎn)。因?yàn)橛蓡栴}本身可知最這是唯一可能的極值點(diǎn)。因?yàn)橛蓡栴}本身可知最大值一定存在，所以最大值就在這個(gè)可能的極值點(diǎn)大值一定存在，所以最大值就在這個(gè)可能的極值點(diǎn)處取得。處取得。.3663aV 最大體積為最大體積為1、 會把二重積分化成直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)下的二會把二重積分化成直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)下的二次次 積分積分,會交換積分次序會交換積分次序二、重積分二、重積分例例1 交換以下積分的積分順序交換以下積分的積分順序 yydxyxfdyI),()1(101110(1)( , )yyIdyf x y dx 解解 x

10、xdyyxfdx2),(101yxxy xy 分分化化為為極極坐坐標(biāo)標(biāo)下下的的二二次次積積將將例例xyxDdxdyyxfD2:,)(22222 Ddxdyyxf)(22解解 22cos20)( rdrrfd2、 會適當(dāng)選取坐標(biāo)系來計(jì)算二重積分會適當(dāng)選取坐標(biāo)系來計(jì)算二重積分.D例例1解解圍成圍成由由其中其中計(jì)算計(jì)算2,1,.22 xxyxyDdyxD xxDdyyxdxdyx1222122 2112)(dxyxxx 213)(dxxx.49 . 21,1: xxyxD,2 將將下下列列積積分分化化為為極極坐坐標(biāo)標(biāo)形形式式 并并計(jì)計(jì)算算例例積積分分值值。2222(1),:2Dxy dxdyDxyx

11、 其其中中。2222(2)()arctan,:14 ,0DyxydxdyxDxyyx y 其其中中所所圍圍成成的的位位于于第第象象限限的的部部分分。22:2Dxyx 積積分分區(qū)區(qū)域域xyo2 Ddxdyyx22 22cos20 rdrrd 223cos38 d3238I 132238 2222(1),:2Dxy dxdyDxyx 其其中中解解。:02cos ,22Dr 。932 Ddxdyxyyx,arctan)()2(22 Ddxdyxyyxarctan)(22:D積積分分區(qū)區(qū)域域 的的圖圖形形為為rdrrd 21240 drrd 21340 。212815 22:14 ,0Dxyyxy 所

12、所圍圍成成的的位位于于第第象象限限的的部部分分。40 , 21: rDxyo123、 會把三重積分化成直角坐標(biāo)，柱坐標(biāo)、球面會把三重積分化成直角坐標(biāo)，柱坐標(biāo)、球面坐標(biāo)下的三次坐標(biāo)下的三次 積分積分,會用截面法、柱面坐標(biāo)、球面會用截面法、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)來計(jì)算三重積分。坐標(biāo)來計(jì)算三重積分。為為三三次次積積分分化化三三重重積積分分例例 dvzyxf),(1所圍。所圍。1,:22 zyxz xyDyxzyx ),( , 1:22 解解：1yxzO而而Dxy可用不等式組可用不等式組11,1122 xxyx于是于是 111112222),(),(yxxxdzzyxfdydxdvzyxf ,2 dxdy

13、dzz計(jì)計(jì)算算例例所所圍圍其其中中1,:22 zyxz 解解用截面法。用截面法。222zy:xDz zozDxyzo1zDz ,zxoyD 用用平平行行于于面面的的平平面面去去截截空空間間區(qū)區(qū)域域得得平平面面閉閉區(qū)區(qū)域域 zdv zDzddz 10 zDdzdz 10 102)(dzzz 103dzz 1044z 。4 1:22 zyx 解解法法二二用柱面坐標(biāo)。用柱面坐標(biāo)。xyzo1 zdvxyDyxzyx ),.(1:22 .20 ,101: rzr， 12010rzdzrdrd 。4 解解由由 zzryrx sincos,交線的投影為交線的投影為:xyDyxyxzyx ),.(43:222

14、2 3:22 yxDxy.20, 3043:22 rrzr， 23242030rrzdzrdrdI .413 ,)(4222 dxdydzzyx計(jì)計(jì)算算例例 dxdydzzyx)(222解解54 drrrdd2102020sin 1:222 zyx 4、會利用二重積分、三重積分計(jì)算空間曲面的面積與空、會利用二重積分、三重積分計(jì)算空間曲面的面積與空間立體的體積。間立體的體積。例例1平面平面x+2y+3z8=0被柱面被柱面割割下下部部分分的的面面積積12222 byax1(82 )3zxy解解 dddA31494911 xyDdA 31412,33zzxy 314 。ab 314Dxyyxoabo

15、zxy三、三、 曲線積分曲線積分1、 掌握兩類曲線積分的直接計(jì)算。掌握兩類曲線積分的直接計(jì)算。例例1. 設(shè)設(shè) C 是下列曲線是下列曲線0,222 yxyayx所圍區(qū)域的邊界所圍區(qū)域的邊界, 求求sICyxde22 2e)24(aa解解: 分段積分xIaxde0de40aaxaxd2e202xyOa4xy 0yar ddas cdsyxayxL22222,:)2(為為圓圓周周已已知知2222)2(aadsdsyxcc 解解例例2. 計(jì)算計(jì)算,22ydxxdyxL 其中其中L為為(1) 拋物線拋物線 ;,:2BOxyL到到從從 (2) 拋物線拋物線 ;,:2BOyxL到到從從 (3) 有向折線有向

16、折線 .:ABOAL解解: (1) 原式原式22xx xdx 1034(2) 原式原式y(tǒng)yy222 yy d5104 (3) 原式原式 dyxxdyxOA22 01 )0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xdxx)22 10(dyy )4 ydxxdyxAB 22 10yd1 1 yxO2、 掌握格林公式及其應(yīng)用。掌握格林公式及其應(yīng)用。.1|:|,|1逆時(shí)針方向逆時(shí)針方向計(jì)算計(jì)算例例 yxLyxydxxdyIL DLAdxdyydxdyxI42)11(逆逆時(shí)時(shí)針針方方向向的的有有向向弧弧。為為上上半半圓圓周周其其中中計(jì)計(jì)算算2,)cos()sin(xaxyLdymyedxmyye

17、ILxx 例例2myPxQ 解解利利用用格格林林公公式式：添添上上,OA DOAxxLxxmdxdydymyedxmyyedymyedxmyye)cos()sin()cos()sin(228)2(21maam 0)cos()sin( OAxxdymyedxmyye28ma 原原式式DyaLxoAO逆逆時(shí)時(shí)針針方方向向?yàn)闉橛?jì)計(jì)算算2)1()()(2222 yxLyxdyyxdxyxL例例3時(shí)時(shí)，易易驗(yàn)驗(yàn)證證當(dāng)當(dāng)解解)0 , 0(),( yx取適當(dāng)?shù)娜∵m當(dāng)?shù)膌：x2+y2=r2，使其位于圓，使其位于圓L內(nèi)，取逆時(shí)內(nèi)，取逆時(shí)針方向針方向,則則 lLdyyxdxyxryxdyyxdxyx)()(1)()(222 2212 Ddxdyr22222)(2yxyxyx yPxQ 3、 掌握曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會選擇適當(dāng)掌握曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會選擇適當(dāng)?shù)穆窂絹碛?jì)算曲線積分的路徑來計(jì)算曲線積分解解：直接化為定積分需先求直接化為定積分需先求OAB的方程，此法不好。的方程，此法不好。 ;,yyeyPxeP ;,2yyexQyxeQ CBOCLdyyedxxy 2010)2()1(202102|)(|2)1(yexy 例例1 設(shè)設(shè)L是以是以O(shè)（0，0）為起點(diǎn)，經(jīng)）為起點(diǎn)，經(jīng)A（0，1）