高考數(shù)學(xué)均值不等式求值策略_第1頁
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1、均值不等式求最值策略 應(yīng)用平均值不等式求最值時，要把握平均值不等式成立的三個條件“一正二定三相等”。忽略了任何一個條件，就會導(dǎo)致解題失敗，若出現(xiàn)問題，又怎樣另辟蹊徑，尋求新方法來求最值呢？本文提出一些思路。1. 調(diào)整符號，化負為正，使之適合“一正”條件，過第一關(guān)例1. 已知，求函數(shù)的最值。解：因為所以故所以當且僅當，即或時，等號成立，但不合條件，舍去，故當時，2. 拆添配湊，變動為定，使之適合“二定”條件，過第二關(guān)利用均值不等式求最值，變形構(gòu)造出“定值”是難點，其方法如下：（1）變形法例2. 求函數(shù)的最小值。解：因為所以故當且僅當，即時，（2）配湊法例3. 已知，求函數(shù)的最小值。解：因為則有所

2、以當且僅當，即時，3. 分離常數(shù)（1）拆項法例4. 當時，求的最小值。解：因為所以所以當且僅當，即取等號另一解（舍去）所以（2）倒數(shù)法例5. 若，求函數(shù)的最大值。解：因為所以故（3）平方法例6. 已知，求函數(shù)的最大值。解：由于所以當且僅當時取等號，所以4. 化歸轉(zhuǎn)化，尋求相等，過第三關(guān)例7. 設(shè)，求的最小值。解：因為當且僅當，即時取等號所以點評：若與分別利用平均值不等式，再相乘求最值，問題出現(xiàn)在：前后取等條件不一致。例8. 已知，且，求的最小值。解：因為，且所以5. “三關(guān)”難過，前進受阻，應(yīng)另辟蹊徑（1）利用代數(shù)、三角換元例9. 若a，b為正實數(shù)，且，求的最小值。解：因為，且所以可設(shè)則當且僅當，即時取等號，這時，滿足，所以（2）引入?yún)?shù)，巧渡難關(guān)例10. 已知，且，求pxy的最小值。解：設(shè)，由已知有所以欲取等號，當且僅當時，有代入中，此時所以說明：請讀者用三角換元解此題，可令（3）利用函數(shù)

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