因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題

1、1.1 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題 例1 2012年蘇州市中考第29題如圖1，已知拋物線（b是實(shí)數(shù)且b2）與x軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B是左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為_，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_（用含b的代數(shù)式表示）；（2）請(qǐng)你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；（3）請(qǐng)你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由圖1思路點(diǎn)撥1第

2、（2）題中，等腰直角三角形PBC暗示了點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等2聯(lián)結(jié)OP，把四邊形PCOB重新分割為兩個(gè)等高的三角形，底邊可以用含b的式子表示3第（3）題要探究三個(gè)三角形兩兩相似，第一直覺這三個(gè)三角形是直角三角形，點(diǎn)Q最大的可能在經(jīng)過點(diǎn)A與x軸垂直的直線上滿分解答（1）B的坐標(biāo)為(b, 0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0, )（2）如圖2，過點(diǎn)P作PDx軸，PEy軸，垂足分別為D、E，那么PDBPEC因此PDPE設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, x)如圖3，聯(lián)結(jié)OP所以S四邊形PCOBSPCOSPBO2b解得所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為()圖2 圖3（3）由，得A(1, 0)，OA1如圖4，以O(shè)A、OC為鄰邊構(gòu)造矩形OAQC，那

3、么OQCQOA當(dāng)，即時(shí)，BQAQOA所以解得所以符合題意的點(diǎn)Q為()如圖5，以O(shè)C為直徑的圓與直線x1交于點(diǎn)Q，那么OQC90°。因此OCQQOA當(dāng)時(shí)，BQAQOA此時(shí)OQB90°所以C、Q、B三點(diǎn)共線因此，即解得此時(shí)Q(1,4)圖4 圖5考點(diǎn)伸展第（3）題的思路是，A、C、O三點(diǎn)是確定的，B是x軸正半軸上待定的點(diǎn)，而QOA與QOC是互余的，那么我們自然想到三個(gè)三角形都是直角三角形的情況這樣，先根據(jù)QOA與QOC相似把點(diǎn)Q的位置確定下來，再根據(jù)兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例確定點(diǎn)B的位置如圖中，圓與直線x1的另一個(gè)交點(diǎn)會(huì)不會(huì)是符合題意的點(diǎn)Q呢？如果符合題意的話，那么點(diǎn)B的位置距離點(diǎn)A很

4、近，這與OB4OC矛盾例2 2012年黃岡市中考模擬第25題如圖1，已知拋物線的方程C1： (m0)與x軸交于點(diǎn)B、C，與y軸交于點(diǎn)E，且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)（1）若拋物線C1過點(diǎn)M(2, 2)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求BCE的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H，使得BHEH最小，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；（4）在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B、C、F為頂點(diǎn)的三角形與BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“12黃岡25”，拖動(dòng)點(diǎn)C在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，觀察左圖，可以體驗(yàn)到，EC與BF保持平行，但是BFC在無限遠(yuǎn)

5、處也不等于45°觀察右圖，可以體驗(yàn)到，CBF保持45°，存在BFCBCE的時(shí)刻思路點(diǎn)撥1第（3）題是典型的“牛喝水”問題，當(dāng)H落在線段EC上時(shí)，BHEH最小2第（4）題的解題策略是：先分兩種情況畫直線BF，作CBFEBC45°，或者作BF/EC再用含m的式子表示點(diǎn)F的坐標(biāo)然后根據(jù)夾角相等，兩邊對(duì)應(yīng)成比例列關(guān)于m的方程滿分解答（1）將M(2, 2)代入，得解得m4（2）當(dāng)m4時(shí)，所以C(4, 0)，E(0, 2)所以SBCE（3）如圖2，拋物線的對(duì)稱軸是直線x1，當(dāng)H落在線段EC上時(shí)，BHEH最小設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為P，那么因此解得所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為（4）如圖3，過

6、點(diǎn)B作EC的平行線交拋物線于F，過點(diǎn)F作FFx軸于F由于BCEFBC，所以當(dāng)，即時(shí)，BCEFBC設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為，由，得解得xm2所以F(m2, 0)由，得所以由，得整理，得016此方程無解圖2 圖3 圖4如圖4，作CBF45°交拋物線于F，過點(diǎn)F作FFx軸于F，由于EBCCBF，所以，即時(shí)，BCEBFC在RtBFF中，由FFBF，得解得x2m所以F所以BF2m2，由，得解得綜合、，符合題意的m為考點(diǎn)伸展第（4）題也可以這樣求BF的長(zhǎng)：在求得點(diǎn)F、F的坐標(biāo)后，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求BF的長(zhǎng)例3 2011年上海市閘北區(qū)中考模擬第25題直線分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針

7、方向旋轉(zhuǎn)90°后得到COD，拋物線yax2bxc經(jīng)過A、C、D三點(diǎn)(1) 寫出點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；(2) 求經(jīng)過A、C、D三點(diǎn)的拋物線表達(dá)式，并求拋物線頂點(diǎn)G的坐標(biāo)；(3) 在直線BG上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)A、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與COD相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“11閘北25”， 拖動(dòng)點(diǎn)Q在直線BG上運(yùn)動(dòng)， 可以體驗(yàn)到，ABQ的兩條直角邊的比為13共有四種情況，點(diǎn)B上、下各有兩種思路點(diǎn)撥1圖形在旋轉(zhuǎn)過程中，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角2用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，用配方法求頂點(diǎn)坐標(biāo)3第（3）題判

8、斷ABQ90°是解題的前提4ABQ與COD相似，按照直角邊的比分兩種情況，每種情況又按照點(diǎn)Q與點(diǎn)B的位置關(guān)系分上下兩種情形，點(diǎn)Q共有4個(gè)滿分解答（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(1，0)（2）因?yàn)閽佄锞€yax2bxc經(jīng)過A(3，0)、C(0，3)、D(1，0) 三點(diǎn)，所以 解得 所以拋物線的解析式為yx22x3(x1)24，頂點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1，4)（3）如圖2，直線BG的解析式為y3x1，直線CD的解析式為y3x3，因此CD/BG因?yàn)閳D形在旋轉(zhuǎn)過程中，對(duì)應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，所以ABCD因此ABBG，即ABQ90°因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線BG上，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x

9、，3x1)，那么RtCOD的兩條直角邊的比為13，如果RtABQ與RtCOD相似，存在兩種情況：當(dāng)時(shí)，解得所以，當(dāng)時(shí)，解得所以， 圖2 圖3考點(diǎn)伸展第（3）題在解答過程中運(yùn)用了兩個(gè)高難度動(dòng)作：一是用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說明ABBG；二是我們換個(gè)思路解答第（3）題：如圖3，作GHy軸，QNy軸，垂足分別為H、N通過證明AOBBHG，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可以證明ABG90°在RtBGH中，當(dāng)時(shí)，在RtBQN中，當(dāng)Q在B上方時(shí)，；當(dāng)Q在B下方時(shí)，當(dāng)時(shí)，同理得到，例4 2011年上海市楊浦區(qū)中考模擬第24題RtABC在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖1所示，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象與BC邊交于點(diǎn)D（

10、4，m），與AB邊交于點(diǎn)E（2，n），BDE的面積為2（1）求m與n的數(shù)量關(guān)系；（2）當(dāng)tanA時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式和直線AB的表達(dá)式；（3）設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)F，點(diǎn)P在射線FD上，在（2）的條件下，如果AEO與EFP 相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)圖1思路點(diǎn)撥1探求m與n的數(shù)量關(guān)系，用m表示點(diǎn)B、D、E的坐標(biāo)，是解題的突破口2第（2）題留給第（3）題的隱含條件是FD/x軸3如果AEO與EFP 相似，因?yàn)閵A角相等，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，分兩種情況滿分解答（1）如圖1，因?yàn)辄c(diǎn)D（4，m）、E（2，n）在反比例函數(shù)的圖象上，所以 整理，得n2m（2）如圖2，過點(diǎn)E作EHBC，垂足為H在RtBEH中，tan

11、BEHtanA，EH2，所以BH1因此D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m1)已知BDE的面積為2，所以解得m1因此D(4，1)，E(2，2)，B(4，3)因?yàn)辄c(diǎn)D（4，1）在反比例函數(shù)的圖象上，所以k4因此反比例函數(shù)的解析式為設(shè)直線AB的解析式為ykxb，代入B(4，3)、E(2，2)，得 解得，因此直線AB的函數(shù)解析式為圖2 圖3 圖4（3）如圖3，因?yàn)橹本€與y軸交于點(diǎn)F（0，1），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，1），所以FD/ x軸，EFPEAO因此AEO與EFP 相似存在兩種情況：如圖3，當(dāng)時(shí)，解得FP1此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）如圖4，當(dāng)時(shí)，解得FP5此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，1）考點(diǎn)伸展本題

12、的題設(shè)部分有條件“RtABC在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖1所示”，如果沒有這個(gè)條件限制，保持其他條件不變，那么還有如圖5的情況：第（1）題的結(jié)論m與n的數(shù)量關(guān)系不變第（2）題反比例函數(shù)的解析式為，直線AB為第（3）題FD不再與x軸平行，AEO與EFP 也不可能相似圖5例5 2010年義烏市中考第24題如圖1，已知梯形OABC，拋物線分別過點(diǎn)O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接寫出拋物線的對(duì)稱軸、解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時(shí)向上平移，分別交拋物線于點(diǎn)O1、A1、C1、B1，得到如圖2的梯形O1A1B1C1設(shè)梯形O1A1B

13、1C1的面積為S，A1、 B1的坐標(biāo)分別為 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代數(shù)式表示x2x1，并求出當(dāng)S=36時(shí)點(diǎn)A1的坐標(biāo)；（3）在圖1中，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，3)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著線段BC運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以與點(diǎn)P相同的速度沿著線段DM運(yùn)動(dòng)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)M時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，是否存在某一時(shí)刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對(duì)稱軸圍成的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由 圖1 圖2思路點(diǎn)撥1第（2）題用含S的代數(shù)式表示x2x1，我們反其

14、道而行之，用x1，x2表示S再注意平移過程中梯形的高保持不變，即y2y13通過代數(shù)變形就可以了2第（3）題最大的障礙在于畫示意圖，在沒有計(jì)算結(jié)果的情況下，無法畫出準(zhǔn)確的位置關(guān)系，因此本題的策略是先假設(shè)，再說理計(jì)算，后驗(yàn)證3第（3）題的示意圖，不變的關(guān)系是：直線AB與x軸的夾角不變，直線AB與拋物線的對(duì)稱軸的夾角不變變化的直線PQ的斜率，因此假設(shè)直線PQ與AB的交點(diǎn)G在x軸的下方，或者假設(shè)交點(diǎn)G在x軸的上方滿分解答（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線，解析式為，頂點(diǎn)為M（1，）（2） 梯形O1A1B1C1的面積，由此得到由于，所以整理，得因此得到當(dāng)S=36時(shí)， 解得 此時(shí)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（6，3）（3）設(shè)直

15、線AB與PQ交于點(diǎn)G，直線AB與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，直線PQ與x軸交于點(diǎn)F，那么要探求相似的GAF與GQE，有一個(gè)公共角G在GEQ中，GEQ是直線AB與拋物線對(duì)稱軸的夾角，為定值在GAF中，GAF是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而且GEQGAF因此只存在GQEGAF的可能，GQEGAF這時(shí)GAFGQEPQD由于，所以解得 圖3 圖4考點(diǎn)伸展第（3）題是否存在點(diǎn)G在x軸上方的情況？如圖4，假如存在，說理過程相同，求得的t的值也是相同的事實(shí)上，圖3和圖4都是假設(shè)存在的示意圖，實(shí)際的圖形更接近圖3例6 2010年上海市寶山區(qū)中考模擬第24題如圖1，已知點(diǎn)A (-2，4) 和點(diǎn)B (1，0)都在

16、拋物線上（1）求m、n；（2）向右平移上述拋物線，記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，若四邊形A ABB為菱形，求平移后拋物線的表達(dá)式；（3）記平移后拋物線的對(duì)稱軸與直線AB 的交點(diǎn)為C，試在x軸上找一個(gè)點(diǎn)D，使得以點(diǎn)B、C、D為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似圖1 思路點(diǎn)撥1點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)在3個(gè)題目中處處用到，各具特色第（1）題用在待定系數(shù)法中；第（2）題用來計(jì)算平移的距離；第（3）題用來求點(diǎn)B 的坐標(biāo)、AC和BC的長(zhǎng)2拋物線左右平移，變化的是對(duì)稱軸，開口和形狀都不變3探求ABC與BCD相似，根據(jù)菱形的性質(zhì)，BACCBD，因此按照夾角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，分兩種情況討論滿分解答(1) 因?yàn)辄c(diǎn)A

17、 (-2，4) 和點(diǎn)B (1，0)都在拋物線上，所以 解得，(2)如圖2，由點(diǎn)A (-2，4) 和點(diǎn)B (1，0)，可得AB5因?yàn)樗倪呅蜛 ABB為菱形，所以A ABB AB5因?yàn)?，所以原拋物線的對(duì)稱軸x1向右平移5個(gè)單位后，對(duì)應(yīng)的直線為x4因此平移后的拋物線的解析式為圖2(3) 由點(diǎn)A (-2，4) 和點(diǎn)B (6，0)，可得A B如圖2，由AM/CN，可得，即解得所以根據(jù)菱形的性質(zhì)，在ABC與BCD中，BACCBD如圖3，當(dāng)時(shí)，解得此時(shí)OD3，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0）如圖4，當(dāng)時(shí)，解得此時(shí)OD，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0） 圖3 圖4考點(diǎn)伸展在本題情境下，我們還可以探求BCD與AB B相似，其實(shí)這是有

18、公共底角的兩個(gè)等腰三角形，容易想象，存在兩種情況我們也可以討論BCD與CB B相似，這兩個(gè)三角形有一組公共角B，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，分兩種情況計(jì)算例7 2009年臨沂市中考第26題如圖1，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三點(diǎn)（1）求此拋物線的解析式；（2）P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PMx軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與OAC相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的 點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線是有一點(diǎn)D，使得DCA的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo),圖1思路點(diǎn)撥1已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，用待定系數(shù)法求解析式時(shí)，設(shè)交點(diǎn)式比較簡(jiǎn)

19、便2數(shù)形結(jié)合，用解析式表示圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長(zhǎng)3按照兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，分兩種情況列方程4把DCA可以分割為共底的兩個(gè)三角形，高的和等于OA滿分解答 （1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(4，0)、B（1，0)兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為，代入點(diǎn)C的 坐標(biāo)（0，2），解得所以拋物線的解析式為（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，1x4，如果，那么解得不合題意如果，那么解得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，x4，解方程，得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為解方程，得不合題意如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，x1，解方程，得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為解方程，得此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，不合題意綜

20、上所述，符合條件的 點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）或或 圖2 圖3 圖4（3）如圖5，過點(diǎn)D作x軸的垂線交AC于E直線AC的解析式為設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為所以因此當(dāng)時(shí)，DCA的面積最大，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1） 圖5 圖6考點(diǎn)伸展第（3）題也可以這樣解：如圖6，過D點(diǎn)構(gòu)造矩形OAMN，那么DCA的面積等于直角梯形CAMN的面積減去CDN和ADM的面積設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為（m，n），那么由于，所以例8 2009年上海市閘北區(qū)中考模擬第25題如圖1，ABC中，AB5，AC3，cosAD為射線BA上的點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合），作DE/BC交射線CA于點(diǎn)E.(1) 若CEx，BDy，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；(2) 當(dāng)分別以線段BD，CE為直徑的兩圓相切時(shí)，求DE的長(zhǎng)度；(3) 當(dāng)點(diǎn)D在AB邊上時(shí)，BC邊上是否存在點(diǎn)F，使ABC與DEF相似？若存在，請(qǐng)求出線段BF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由 圖1 備用圖 備用圖動(dòng)感體驗(yàn) 請(qǐng)打開幾何畫板文件名“09閘北25”，拖動(dòng)點(diǎn)D可以在射線BA上運(yùn)動(dòng)雙擊按鈕“第（2）題”，拖動(dòng)點(diǎn)D可以體驗(yàn)到兩圓可以外切一次，內(nèi)切兩次雙擊按鈕“第（3）題”，再