19-20版第3章3.1不等關(guān)系與不等式

1、第二草不等式193.1 不等關(guān)系與不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1 了解不等式的性質(zhì)（重點(diǎn)）2.能用不等式（組）表示實(shí)際問(wèn) 題中的不等關(guān)系（難點(diǎn)）.通過(guò)學(xué)習(xí)用不等式表示不等關(guān)系、 比較 兩數(shù)（式）的大小及不等式的性質(zhì)，培養(yǎng) 學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)©IS新知ZIZHLJVLJX I 丁匚新知初探二1. 不等符號(hào)與不等關(guān)系的表示（1）不等符號(hào)有v（2）不等關(guān)系用不等式來(lái)表示.2. 不等式中的文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于>>v>>思考：不等式a>b和a< b有怎樣的含義?提示不等式a>b應(yīng)讀作：“a大于或等

2、于b”，其含義是a>b或a= b, 等價(jià)于“a不小于b”，即若a>b或a= b中有一個(gè)正確，則a> b正確.不等式a< b應(yīng)讀作：“a小于或等于b”，其含義是a<b或a= b,等價(jià) 于“a不大于b”，即若a<b或a= b中有一個(gè)正確，則a< b正確.3. 比較兩實(shí)數(shù)a，b大小的依據(jù)依據(jù)：|'< 0,< It如果a-*=0*那么u=b瀝齬魏踽朋礬亦思考：x由a<b<0,得a > b，兩邊同乘|ab|,得|b|>|a|,故錯(cuò)誤；由知|b|>|a|, a<0, + 1與2x兩式都隨x的變化而變化,其大小

3、關(guān)系并不顯而易見(jiàn).你能想個(gè)辦法,比較x2 + 1與2x的大小，而且具有說(shuō)服力嗎？提示 作差：x2 + 12x= （x 1）2> 0,所以 x2+ 1 >2x.4. 不等式的性質(zhì)名稱式子表達(dá)性質(zhì)1（對(duì)稱性）a>b? b<a性質(zhì)2（傳遞性）a>b, b>c? a>c性質(zhì)3（可加性）a>b? a+ c>b+ c推論a+ b>c? a>c b性質(zhì)4（可乘性）a>b, c>0? ac>bca>b, c<0? ac<bc性質(zhì)5 （不等式同向可加性）a>b, c>d? a+ c>b+ d性

4、質(zhì)6 （不等式同向正數(shù)可乘性）a>b>0, c>d>0? ac>bd性質(zhì)7（乘方性）a>b>0? an>bn(n N , n1)性質(zhì)8（開(kāi)方性）a>b>0? 彊>弭(n N , n2)思考：關(guān)于不等式的性質(zhì)，下列結(jié)論中正確的有哪些?（1）a>b 且 c>d,則 a c>b d.（2）a>b,則 ac>bc.a ba>b>0,且 c>d>0 則c.4）a>b>0,貝U an>bn.（5）a>b,則J>c?.提示對(duì)于不等式的性質(zhì)，有可加性但沒(méi)有作差與

5、作商的性質(zhì)中例如5>3且4>1時(shí)，則5-4>3 1是錯(cuò)的,故錯(cuò).(2) 中當(dāng)cw0時(shí)，不成立.5 3(3) 中例如5>3且4>1,則5>1是錯(cuò)的，故錯(cuò).1 1(4) 中對(duì)nW0均不成立,例如a= 3, b= 2, n= 1,則3 >2顯然錯(cuò),故錯(cuò).1 1 1(5) 因?yàn)殒?gt;0,所以a 2>b2,故(5)正確.因此正確的結(jié)論有(5).壬初試身手1. 大橋頭豎立的“限重40噸”的警示牌，是指示司機(jī)要安全通過(guò)該橋，應(yīng)使車貨總重量T不超過(guò)40噸，用不等式表示為()A. T<40B. T>40C. TW40D . T>40C 限重就

6、是不超過(guò),可以直接建立不等式TW 40.2. 已知 a>b, c>d,且 cdM 0,則()A. ad>bcB. ac>bcC. a c>b dD. a + c>b + dD a, b, c, d的符號(hào)未確定,排除A、B兩項(xiàng)；同向不等式相減,結(jié)果未必是同向不等式,排除C項(xiàng)，故選D項(xiàng).3. 設(shè) m= 2a? + 2a + 1, n = (a+ 1)2，貝U m, n 的大小關(guān)系是.2 2 2m>n m n = 2a + 2a+ 1 (a+ 1) = a >0.1 1 _ 4. 若a<b<0,則下列不等式：a+ b<ab；|a|&g

7、t;|b|；a<b中，正確的不等式有個(gè).1 11由2<£<0，得 a<0, b<0,故 a+ b<0且 ab>0,所以 a+ b<ab,即正確； 1 1 1 *b<0,那么a>b,故錯(cuò)誤.合作探究提素春KigwwnrKWBOTgTgM-用不等式表示不等關(guān)系【例1】 用一段長(zhǎng)為30 m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)18 m,要求菜園的面積不小于110 m2,靠墻的一邊長(zhǎng)為x m.試用不等式表示其中的不 等關(guān)系.解由于矩形菜園靠墻的一邊長(zhǎng)為x m,而墻長(zhǎng)為18 m,所以0<xW 18,這時(shí)菜園的另一條邊長(zhǎng)為 聖尹=

8、15-| (m).因此菜園面積S= x -15 2 ,依題意有S> 110,即 x 15 2 > 110,0<x<18,故該題中的不等關(guān)系可用不等式表示為x 一門1x15 2 戶 110.we ff n ja1 此類問(wèn)題的難點(diǎn)是如何正確地找出題中的顯性不等關(guān)系和隱性不等關(guān)系.2. 當(dāng)問(wèn)題中同時(shí)滿足幾個(gè)不等關(guān)系，則應(yīng)用不等式組來(lái)表示它們之間的不等關(guān)系，另外若問(wèn)題有幾個(gè)變量，選用幾個(gè)字母分別表示這些變量即可.3. 用不等式(組)表示不等關(guān)系的步驟：(1) 審清題意，明確表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語(yǔ)：至多、至少、不多于、不少 于等.(2) 適當(dāng)?shù)脑O(shè)未知數(shù)表示變量.(3) 用不等號(hào)表

9、示關(guān)鍵詞語(yǔ)，并連接變量得不等式.働跟蹤訓(xùn)練1 某礦山車隊(duì)有4輛載重為10 t的甲型卡車和7輛載重為6 t的乙型卡車, 有9名駕駛員此車隊(duì)每天至少要運(yùn) 360 t礦石至冶煉廠已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次，寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不 等式解設(shè)每天派出甲型卡車x輛，乙型卡車y輛，則x+y<9，10X 6x+ 6X 8y>360, i0<x<4，x CN，x+ y< 9，5x + 4y> 30，即0< x< 4，xCN，養(yǎng)型2丿比較兩數(shù)（式）的大小1- 0<y< 7，y CN，1- 0< y< 7，

10、yCN.【例2】 已知a，b為正實(shí)數(shù)，試比較 爲(wèi)+聶與后伍的大小.思路探究：注意結(jié)構(gòu)特征，嘗試用作差法或者作商法比較大小.b a (a b)( a 一 b)( . a . b) 2 ( . a+ 一 b)a, b為正實(shí)數(shù)，. a+ . b>0，.'ab>0，(.a . b)2> 0,(a b) 2 ( ,；a+ b)ab> 0,當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)等號(hào)成立.喘+著也+扳當(dāng)且僅當(dāng)a= b 時(shí)取等號(hào)）法二:（作商法）(b) 3+(【a).ab ( . a+ . b)(ya+Jb)( a+ b ab)a+ b abab ( a+ b)二二ab壓性+回=1 +咅洱 1,當(dāng)

11、且僅當(dāng)a= b時(shí)取等號(hào).ab； ab；+ ；。，a+ 40,b a寸j+孑b（a+筋（當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)取等號(hào)）./ 2 2 2法三：（平方后作差）：晶+暑卜I+詈+窗，（誦+島 .作差法比較兩個(gè)數(shù)大小的步驟及變形方法（1）作差法比較的步驟：作差 -變形一定號(hào)一結(jié)論.（2）變形的方法：因式分解；配方；通分；對(duì)數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)； 分母或分子有理化；分類討論.2. 如果兩實(shí)數(shù)同號(hào)，亦可采用作商法來(lái)比較大小，即作商后看商是大于1, 等于1,還是小于1.越跟蹤訓(xùn)練 .已知x1，比較x3 1與2x2 2x的大小.十b+ 2倔,2(a+ b)( a b)aba>0, b>0,2(a+ b)(

12、 a b)故jb/a+/b（當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)取等號(hào)）.解(X3 1) (2x2 2x)2=(x 1)(x2+ x+ 1) 2x(x 1)2=(x 1)(x x+ 1)-=(x1) I3x 2 丿 + 4 一因?yàn)閤<1，所以x 1<0.2又 x 2+ 4>0,所以（x213x 2 + 4<0.所以 x3 1<2x2 2x.MM不等式性質(zhì)的應(yīng)用探究?jī)疹}fi昭豪逼1 小明同學(xué)做題時(shí)進(jìn)行如下變形:2vb<3,1 1 1<<'3<b<2,又 6<a<8,a- b你認(rèn)為正確嗎？為什么？提示不正確因?yàn)椴坏仁絻蛇呁艘砸粋€(gè)正數(shù)，

13、不等號(hào)的方向不變，但同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變，在本題中只知道一6<a<8.不明確a值的正1 1 1負(fù)故不能將3<b<2與6<a<8兩邊分別相乘，只有兩邊都是正數(shù)的同向不等式 才能分別相乘.2. 由6<a<8, 4<b<2,兩邊分別相減得2<a b<6,你認(rèn)為正確嗎？提示不正確.因?yàn)橥虿坏仁骄哂锌杉有耘c可乘性. 但不能相減或相除， 解題時(shí)要充分利用條件，運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)變形，而不可隨意“創(chuàng)造” 性質(zhì).3. 你知道下面的推理、變形錯(cuò)在哪兒?jiǎn)幔?#39;2<a b<4,/4<b a< 2.

14、又 2<a+ b<2,0<a<3, 3<b<0,-3<a+ b<3.這怎么與2<a+ b<2矛盾了呢?提示利用幾個(gè)不等式的范圍來(lái)確定某不等式的范圍要注意：同向不等式 兩邊可以相加（相乘），這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形.本題中將2<a b<4與2<a+ b<2 兩邊相加得0<a<3,又將4<b a< 2與2<a+ b<2兩邊相加得出3<b<0,又將該式與0<a<3兩邊相加得出3<a+ b<3,多次使用了這種轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致了 a+ b范圍的擴(kuò)大.a b 【

15、例3 已知c>a>b>0,求證：一>-七. c a c bc cc cc a c b思路探究：如何證明-<c?由-<7怎樣得到?a ba ba b證明I c>a>b>0, -'c a>0, c b>0.a>b>0?c>01 1_va b>?c ca<b，c a c ba bIc-a>0 ? a > bc b>0 a bIa>0b>0母題探究1. (變條件，變結(jié)論)將例題中的條件C>a>b>0”變?yōu)椤?a>b>0, c<0”證明

16、：c ca>b.1證明因?yàn)閍>b>0,所以ab>0,喬>0.十冃1.1 曲11亠 c 作c c于是 aXab>bXab，即 1>孑由 c<0,得a>&2. (變條件，變結(jié)論)將例題中的條件c>a>b>0”變?yōu)椤耙阎?<av8,2vb<3”a如何求出2a+ b, a b及£的取值范圍.解 因?yàn)橐?<a<8, 2<b<3,所以一12<2a<16,1 1 1 所以10<2a+ b<19.又因?yàn)?< b< 2,所以9<a b<6.

17、又3<b<2,(1) 當(dāng) 0W a<8 時(shí)，0W¥<4；(2) 當(dāng)6<a<0 時(shí)，3<b<0.由(1)(2)得一3<a<4.we ft n ja1. 利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項(xiàng)(1) 利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式解決此類問(wèn)題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng) 用.(2) 應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.2. 利用不等式性質(zhì)求代數(shù)式的范圍要注意的問(wèn)題(1) 恰當(dāng)設(shè)計(jì)解題步驟，合理利用不等

18、式的性質(zhì).(2) 運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)要切實(shí)注意不等式性質(zhì)的前提條件，切不可用似乎 是很顯然的理由，代替不等式的性質(zhì)，如由a>b及c>d，推不出ac>bd；由a>b， 推不出a2>b2等.(3) 準(zhǔn)確使用不等式的性質(zhì)，不能出現(xiàn)同向不等式相減、相除的錯(cuò)誤.廠課堂小結(jié)1. 比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要求出它們的差就可以了.a b>0? a>b； a b= 0? a= b； a bv0? avb.2. 作差法比較大小的一般步驟第一步：作差；第二步：變形，常采用配方、因式分解等恒等變形手段，將“差”化成“和” 或“積”；第三步：定號(hào)，就是確定是大于 0,等于0,還是小于0(不確定的要分情況 討論)；最后得結(jié)論.概括為“三步一結(jié)論”，這里的“定號(hào)”是目的，“變形”是關(guān)鍵.3 .不等式的性質(zhì)是不等式變形的依據(jù)，每一步變形都要嚴(yán)格依照性質(zhì)進(jìn)行， 并注意不等式推導(dǎo)所需條件是否具備.當(dāng)堂達(dá)標(biāo)1.判斷正誤(1)不等式x> 2的含義是指x不小于2.()若a<b或a= b之中有一個(gè)正確，則 a< b正確.()若a>b,則ac>bc 定成立.()(4)若 a+ c&g