2機械控制工程基礎第二章答案

1、習題什么是線性系統(tǒng)?其最重要的特性是什么?下列用微分方程表示的系統(tǒng)中，xo表示系統(tǒng)輸出，xi表示系統(tǒng)輸入，哪些是線性系統(tǒng)？(1)xo2xoxo2xo2xi(2)xo2xo2 txo 2xi(3) xo 2xo2xo2 xi (4)xo2xoxo2 txo2 xi解 : 凡是能用線性微分方程描述的系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的一個最重要特性就是它滿足疊加原理。該題中( 2)和( 3 )是線性系統(tǒng)。圖(題)中三同分別表示了三個機械系統(tǒng)。求出它們各自的微分方程，圖中xi 表示輸入位移， x 表示輸出位移，假設輸出端無負載效xixo應。圖(題解: (1) 對圖 (a) 所示系統(tǒng)，由牛頓定律有c1( xi

2、 xo) c2xo mxo即mxo( c1 c2)xoc1xi(2) 對圖 (b) 所示系統(tǒng)，引入一中間變量x, 并由牛頓定律有(xi x)k1 c(x xo)(1)c(x xo) k2xo(2)消除中間變量有c ( k1 k2) xo k1k2xo ck1xi(3) 對圖(c)所示系統(tǒng)，由牛頓定律有c ( x xo) ki( x xo) k2xoc xo ( ki k2) xo cxi kixi求出圖(題所示電系統(tǒng)的微分方程。圖(題)解：(1)對圖(a)所示系統(tǒng)，設i1為流過rl的電流，i為總電流，則有1uo r2i - idt c2ui uo riiui uo - (i ii)dt ci消

3、除中間變量，并化簡有ri c l_clr2uo (1 r2 c2)uo c2r2uo艮cilclr2ui ( ri c2) ui c2r1"(2) 對圖(b)所示系統(tǒng)，設i為電流，則有,i ui uo ri - idt cii . . _ uo idt r2i c2消除中間變量，并化簡有(rir2)uo(iciic2)uor2uic2ui求圖(題所示機械系統(tǒng)的微分方程。圖中m為輸入轉矩，cm為圓周阻尼， j 為轉動慣量。解：設系統(tǒng)輸入為m (即)，輸出(即)，分別對圓盤和質塊進行動力學分析，列寫動力學方程如下：m j cm rk(r x)k(r x) mx cx消除中間變量x , 即

4、可得到系統(tǒng)動力學方程xmj (4) ( mcm cj )( r2kmcm c kj ) k( c r2 cm)mm cm km輸出 y(t) 與輸入 x(t) 的關系為 y(t)= 2x(t)+x3 (t) 。( 1)求當工作點為xo =0, xo =1, xo=2 時相應的穩(wěn)態(tài)時輸出值；( 2)在這些工作點處作小偏差線性化模型，并以對工作的偏差來定義x和y,寫出新的線性化模型。解: (1) 將 xo=0, xo =1, xo =2分別代入 y(t)= 2x(t)+x3 (t) 中, 即當工 作 點 為 xo =0, xo =1, xo =2 時 相 應 的 穩(wěn) 態(tài) 輸 出 值 分 別 為yo

5、 0 , y0 2.5 ,yo 8 。(2) 根據(jù)非線性系統(tǒng)線性化的方法有，在工作點 ( xo, yo ) 附近 ,將非線性函數(shù)展開成泰勒級數(shù), 并略去高階項得32yoy2xo 0.5 xo ( 2 1.5 x )|x xo? x2y ( 21 .5 x 兒 x ? xx x o若令x x，y y 有 y(2 1.5x2) x當工作點為xo 0時，y 當工作點為xo 1時，y當工作點為xo 2時，y已知滑閥節(jié)流口流量方程式為 q(2 1.5x0) x 2x2、(2 1.5x0) x 3.5x2(2 1.5x0) x 8x2p cwxv式中.q為通過節(jié)流閥流口的流量；p為節(jié)流閥流口的前后油壓差；

6、xv為節(jié)流閥的位移量；c為疏量系數(shù)；w為節(jié)流口面積梯度；為油密度。試以q與p為變量（即將q作為p的函數(shù)）將節(jié)流閥流量方程線性化。解：利用小偏差線性化的概念，將函數(shù) q=f（xv，p）在預定工作點f（ x。，po）處按泰勒級數(shù)展開為q f（xvo,p。）（一f）|（xvo,p。）？ xv （4）|（xvo,p。）？ pxvp消除高階項，有q f(xvo,po)(-f)kxvo, po)? xv xv(：)|(xvo，p。)？ pq f(xv,p) f(xv°，p。)f(xvo,po)(-f)|(xvo,p。)?xvxv(jp)(xvo，po)? p f(xvo,po)(-)|(xvo,

7、 po)? xv (-p-)(xvo, po)? p xv若令 k(工)|(xvo,po)，k2 (上)|(xvo,po)， xvpq ki? xv k2? p將上式改寫為增量方程的形式q ki ?xv k2?p已知系統(tǒng)的動力學方程如下，試寫出它們的傳遞函數(shù)y(s)/r(s)。(1)y(t) 15y(t) 50y(t)500y(t)r(t) 2r(t)(2) 5y(t) 25y(t) 0.5 r(t)(3)y(t) 25y(t) 0.5 r(t)(4) y(t) 3y(t) 6y(t)4 y(t)dt 4 r(t)解：根據(jù)傳遞函數(shù)的定義，求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，只需將其動力學方程兩邊分別在零初始條件

8、下進行拉式變換，然后求 y(s)/r(s)。(1)32_ 2 _sy(s) 15sy(s) 50sy(s) 500y(s) s r(s) 2sr(s)2y(s)/ r(s)s 2ss2 15s2 50s 5002 5sy(s) 25sy(s) 0.5sr(s)y(s)/ r(s)0.5s5s2 25s(3)s2y(s) 25sy(s) 0.5r(s)y(s)/r(s)0.5s2 25s2sy(s) 3sy(s) 6y(s)14-y(s) 4y(s) sy(s)/ r(s)4ss3 3s2 6s 4如圖(題)為汽車或摩托車懸浮系統(tǒng)簡化的物理模型，試以位移x為輸入量，位移y為輸出量，求系統(tǒng)的傳遞函

9、數(shù) y(s)/x(s)試分析當反饋環(huán)節(jié)h(s)=1,前向通道傳遞函數(shù)g(s)分別為慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)時，輸入、輸出的閉環(huán)傳遞函數(shù)。解：由于慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)分別為ts 1,g(s) ts，g(s) k，而閉環(huán)傳遞函數(shù)為 sgb(s) "sus)，則(1)當反饋環(huán)節(jié)h(s)=1,前向通道傳遞函數(shù)g(s)為慣性環(huán)節(jié)時,kgb(s)ts 1 1旦tsts 1(2)當反饋環(huán)節(jié)h(s)=1,前向通道傳遞函數(shù)g(s)為微分環(huán)節(jié)時,tsg(s)1 g(s)?h(s) 1 ts(3)當反饋環(huán)節(jié)h(s)=1,前向通道傳遞函數(shù)g(s)為積分環(huán)節(jié)時,gb(s)境已證明圖(題)

10、與圖(題(a)所示系統(tǒng)是相似系統(tǒng)(即證明兩系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有相同形式)解：對題(a)系統(tǒng)，可列出相應的方程。1uo r2 二 idt c2ui uo rii(2)ui uo - (i ii)dt(3)ci對以上三式分別作laplce別換，并注意到初始條件為零，即i(0) 1(0) 0ii(0) i2(0) 0則,/、 i (s)1uo(s) r2i(s) - (r2 )i(s)c2sc2s<ui(s) uo(s) ri i i (s)(5)ui(s) uo(s)地3(6)icis cis(5)工，得u- ui(s) u o(s)-ri i i(s)cisciscisri i (s)(6)

11、 ri，得riui(s) uo(s)rlii(s) (8)cis cis(7) (8)，得 (- ri) ui(s) u o(s) -r1i (s)ciscis即ui(s) uo(s)- -cj1-i(s) rks)cis i ricisi rici則ui(s) uo(s)勺依)(9)i rici將(4)式中的u 0(s)代入(9)式ui(s) (r2 c1t)i(s)余1(r2ric2s 1 ricis)i再用(4)式與上式相比以消去i(s),即得電系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為uo(s)g(s)u(s)(r2/1(r2c2s1一)i(s)c2sr)i(s)(1 r1c1s)r2 c2s-1r1r2c2s

12、 (1r1c1s)而本題中，引入中間變量x,依動力學知識有, (xi-xo)k2 (xi xo)c2 (xo-x )c1(xi xo)c1 kxzk2 xi對上二式分別進行拉式變換有xo(s)sc2 xi(s)-xo(s)xo(s) x(s) sccisxo(s)k1 c1s消除x（s）有xo(s)k2 c2 sk2c2 一g(s) xi(s)k2 c2skic1sk2sc1kicisc21 aki比較兩系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有kic2r2ciri故這兩個系統(tǒng)為相似系統(tǒng)。齒輪系如圖（題）所不。圖中,z、z2、力和力分別為各齒z3z4i、2和 3輪齒數(shù)；j j2、和j 3表示各種傳動軸上的轉動慣量,為各

13、軸的角位移；m m是電動機輸出轉矩。試列寫折算到電動軸上的齒輪系的運動方程。求圖（題）所示兩系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。圖（題）解：（1）由圖（a）中系統(tǒng)，可得動力學方程為x(t) xo(t) k mxo(t) cxo(t)作laplce別換，得xi(s) xo(s) k ms2xo(s) csxo(s) 則有g(s) xo(s)/xi(s) k/(ms2 cs k)（2） 由圖（b）中系統(tǒng)，設i為電網(wǎng)絡的電流，可得方程為d c-di 1 ui ri l idt, dt c1uo idtc作 laplce 別換，得ui(s) ri(s)lsi(s)csi(s)消除中間變量有g(s) u0(s)/ui(s)

14、u o(s)1csi(s)1lcs2 rcs 1某直流調速系統(tǒng)如圖（題）所示， “為給定輸入量，電動機轉us速n為系統(tǒng)的輸出量，電動機的負載轉矩 tl為系統(tǒng)的擾動量。各環(huán)節(jié)的微分方程：比較環(huán)節(jié)比例調節(jié)器u n us-u fnuc kk un（kk為放大系數(shù)）晶閘管觸發(fā)整流裝置udkkuc（k s為整流增益）電動機電樞回路ud iard ldda edt（rd為電樞回路電阻，ld為電樞回路電感，ia為電樞電流）電樞反電勢e kdn （ kd為反電勢系數(shù)）電磁轉矩me kmia （ km為轉矩系數(shù)）負載平衡方程 me jgdn tl （ jg為轉動慣量，tl為負 dt載轉矩）測速電動機 ufn n

15、 （為轉速反饋系數(shù)）試根據(jù)所給出的微分方程，繪制各環(huán)節(jié)相應的傳遞函數(shù)方框圖和控制系數(shù)的傳遞函數(shù)方框圖，并由方框圖求取傳遞函數(shù)ms和us（s）n（s）otl（s）試繪制圖（題）所示機械系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖若系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖為圖(題)(1) 求以r(s)為輸入，當n(s) 0時，分別以c(s)、y(s)、b(s)、e(s)為輸出的閉環(huán)傳遞函數(shù)；(2) 求以n(s)為輸入，當r(s) 0時，分別以c(s)、y(s)、b(s)、e(s)為輸出的閉環(huán)傳遞函數(shù)；(3) 比較以上各傳遞函數(shù)的分母，從中可以得出什么結論？圖(題解：(1)求以r(s)為輸入，當n(s) 0時:若以c(s)為輸出，有,、c(s)g

16、i(s)g2(s)gc (s)r(s) 1 gi(s)g2(s)h(s)若以y(s)為輸出，有gy(s) y(s) (s)r(s) 1 gi(s)g2(s)h(s)若以b(s)為輸出，有gb(s)b(s) gi(s)g2(s)h(s)r(s) 1 gi(s)g2(s)h(s)若以e(s)為輸出，有ge(s)r(s) 1 gi(s)g2(s)h(s)求以n(s)為輸入，當r(s) 0時: 若以c(s)為輸出，有gc(s)c(s)g2r(s) 1 gi(s)g2(s)h(s)若以y(s)為輸出，有c , 、 y(s)g1(s)g2(s)h (s)gy(s)r(s) 1 g1(s)g2(s)h(s)

17、若以b(s)為輸出，有b g2hgb (s) _r(s)1 gi(s)g2(s)h(s)若以e(s)為輸出，有、e(s)g2(s)h(s)g e(s)r(s) 1 g1(s)g2(s)h(s)(3)從上可知：對于同一個閉環(huán)系統(tǒng)，當輸入的取法不同時，前向通道的傳遞出數(shù)不同，反饋回路的傳遞函數(shù)不同，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)也不同，但系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的分母保持不變， 這是因為這一分母反映了系統(tǒng)的固有特性，而與外界無關。已知某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖為圖(題)，其中，xi(s)為輸 入，xo(s)為輸出，n(s)為干擾，試問：g(s)為何值時，系統(tǒng)可以消除干擾的影響。圖(題)解：方法一：根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，令xi

18、(s) 0，n(s)為輸入，系統(tǒng)的輸出為xon(s) n(s)gib(s)g(s) k4g2b(s)其中一 k2 k3kik2k3ts2 s kik2k3kigibs ts 1k2_k3.1 kis ts 1g 2b (s)k3k2_k3_1 kis ts 1k 3sts2 s k1k2k3xon(s) n(s)g1b(s)g(s) k4g2b(s)k4 _k1k2k3 g(s) sk1k2一 2ts s k1k2k3xon(s) 0g(s) 5sk1k2方法二：令xi(s) 0，n(s)為輸入，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖可以表示成圖(題)所示圖（題）根據(jù)相加點前后移動的規(guī)則可以將其進一步簡化成圖

19、（題2 .16. c ）和圖（題.d）所下的形式。圖（題）圖（題）因此，系統(tǒng)在n（s）為輸入時的傳遞函數(shù)為kik2k3 g ksgn（s）k1k2一 2ts s k1k2k3同樣可得g（s） &s時，系統(tǒng)可消除干擾的影響。kik2系統(tǒng)結構如圖（題所示，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。gb(s)c(g1 g4)g2r(s) 1 gig2(1 g3)求出（題）所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)xo（s） /xi（s）。圖（題xo解：方法一：利用梅遜公式，可得gb(s)glg2g3g 4xi (s)1 glg2g3g4h 3 glg2g3h 2 g2g3h 1 g3g4h 4方法二：利用方框圖簡化規(guī)則，有圖(題)圖(題)八