空間曲面和空間曲線(4)課件

1、7 7. .4 4. .4 4 錐錐面面LCM1 1錐錐面面的的定定義義 已知一條定曲線 C 及不在 C 上的一定點 M，動直線 L 過點 M 沿 C 移動所形成的曲面稱為錐面錐面。動直線 L稱為錐面的母線母線，點 M 稱為錐面的頂點頂點。曲線 C 稱為錐面的準線準線。2 2. .錐錐面面的的的的方方程程設錐面的準線C的方程為. 0),(, 0),(21zyxFzyxF其頂點為),(zyxM，則通過頂點),(zyxM和準線 C上的點1M),(ZYX的母線方程為 zZzzyYyyxXxx，其中點),(zyxM是母線上的任意一點。當點),(1ZYXM在曲線 C 上移動時，點),(zyxM就是錐面上

2、的點。因為),(1ZYXM是準線上的點，所以滿足方程. 0),(, 0),(21ZYXFZYXF將它與母線方程聯(lián)立，消去ZYX和 ,即得錐面的方程。1MMMxyzo解：過頂點)0 , 0 , 0(o和準線上的 點),(1ZYXM的母線方程為ZzYyXx，即xzZX ，yzZY ，若錐面方程是關于x、y、z的二次式，則稱之為二次二次錐面錐面。xyzocz 1M例 1求頂點為坐標原點， 準線是橢圓czbyax12222 的錐面方程。 其中),(zyxM是母線上的任意一點。 點),(1ZYXM在準線上， cZbYaX12222，把xzZX ，yzZY 代入，得 cZbyzZaxzZ1)()(2222

3、，化簡得 0222222czbyax，這是一個zyx,的二次齊次方程。0022222222222czayxczbyaxba橢圓錐面橢圓錐面圓錐面圓錐面 即為所求錐面（稱為橢橢圓圓錐錐面面）的方程。例 2求頂點為)2 , 1 , 3(M，準線為 01222zyxzyx 的錐面方程。解：設),(ZYXM是準線上的任一點，則MM點與頂點 構(gòu)成的直線應在L所求錐面上，而直線的方程為L221133ZzYyXx),1(t變換方程的形式為txX) 3(3，tyY) 1(1，tzZ)2(2， 將點),(ZYX代入準線方程得 1)2(2) 1(1)3(3222tztytx， 0)2(2) 1(1)3(3tzty

4、tx， 由得22zyxt，代入：, 12) 1(222) 1(212)3(23222zyxzzyxyzyxx,)2()422()()33(2222zyxzyxzyxzyx化簡得錐面方程：044442106753222zyxyzxzxyzyx。 由方程知：,1,1,1222222czbyax 即 ,czbyax7 7. .4 4. .5 5幾幾個個常常見見的的二二次次曲曲面面1 1. .橢橢球球面面方程1222222czbyax)0. 0, , 0(cba所確定的曲面稱為橢球面橢球面。xyozabc 這說明橢球面介于六個平面ax ，by ，cz 所構(gòu)成的長方體之內(nèi)， , ,cba叫做橢球面的半半

5、軸軸。 下面用平平行行截截痕痕法法（即用平行于坐標面的不同平面去截曲面）來研究橢球面的形狀。xyozabc（1）橢球面被三個坐標面 0 0, , 0zyx所截得的曲線 分別為橢圓： 012222xczby， 012222yczax， 012222zbyax。（2）用平行于xoy面的平面hz （ch ） 截橢球面，截得的曲線為 hzczbyax1222222 ，即 hzchbyax2222221，當ch 時，0122ch，上面方程可寫成 hzchbychax11122222222，xyozabc 它表示平面hz 上的一個橢圓，長、短半軸分別為22hcca和22hccb。當h逐漸增大時，所截得的橢

6、圓逐漸縮小；當ch 時，所截得的橢圓變成點（0，0，c） 。 同樣，可以用平行于其他坐標面的平面截此橢球面，并進行類似的討論，這樣，就可以畫出橢球面的圖形。xyozabc 由方程 1222222czbyax 或1222222czbyax 或1222222czbyax 所確定的曲面叫做單單葉葉雙雙曲曲面面。xyzo1222222czbyax1122222222222czayxczbyaxba單葉雙曲面單葉雙曲面旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面2.2.單葉雙曲面單葉雙曲面這里只研究單葉雙曲面1222222czbyax的形狀。 用平行于xoy面的平面hz 去截它，截線總是一個橢圓： hzchbyax22

7、22221xyzo 它的頂點分別在xoz和yoz平面上，但是曲面分別在這兩個平面上的截線卻是雙曲線：012222yczax 和 012222xczby， 由方程 1222222czbyax 或 1222222czbyax 或 1222222czbyax 所確定的曲面稱為雙雙葉葉雙雙曲曲面面。 于是，單葉雙曲面可以看作是由一個橢圓的變動產(chǎn)生的，這個橢圓的兩對頂點分別在上述兩條雙曲線上運動，橢圓所在平面垂直于z軸。 單葉雙曲面對稱于每個坐標軸，每個坐標平面和原點。 3雙雙葉葉雙雙曲曲面面xyzo1222222czbyaxxyzo1222222czbyax（2）用平行于xoz面的平面hy 去截它，當

8、bh 時 ， 截線總是一個橢圓： hybhczax1222222 它的兩對頂點分別 在xoy和yoz平面上，下面只研究雙葉雙曲面1222222czbyax的形狀。（1）若0y，則得12222czax，故這個曲面和xoz 平 面不相交。 雙葉雙曲面對稱于每個坐標軸，每個坐標平面和原點。 于是，雙葉雙曲面也可以看作是由一個橢圓的變動產(chǎn)生的，這個橢圓的兩對頂點分別在上述兩條雙曲線上運動，橢圓所在平面垂直于y軸。 但是曲面分別在這兩個坐標平面上的截線卻是雙曲線： 012222yczax 和 012222xczbyxyzo1222222czbyax 由方程2222byaxz 或2222czaxy 或22

9、22czbyx確定的曲面稱為橢圓拋物面。xyzo下面只研究方程2222byaxz的形狀。4橢圓拋物面橢圓拋物面（3）它與yoz平面和xoz平面的截線為 拋物線： 022xbyz 和 022yaxz（1）橢圓拋物面經(jīng)過原點，且在xoy面上方。（2）曲面上的點關于oz軸、yoz和xoz平面對稱。xyzo（4）用平行于xoy平面的平面)0( hhz 去截曲面，截線方程為 hzhbyax2222，它是一個逐漸增大的橢圓。由方程2222byaxz 或2222czaxy 或2222czbyx 確定的曲面稱為雙雙曲曲拋拋物物面面。 橢圓拋物面可以看作是由一個橢圓的變動產(chǎn)生的，這個橢圓的兩對頂點分別在上述兩條

10、拋物線上運動，橢圓所在平面垂直于 Z 軸。 5雙雙曲曲拋拋物物面面（馬馬鞍鞍面面）xyzo 對方程2222byaxz的形狀的討論，請看教材95P。 當1 ba時，方程22yxz通過將x軸、y軸在xoy面上作45的轉(zhuǎn)軸后變形為 xyz 。例 1指出下列方程表示什么曲面？ （1）1644222zyx （2）81422 zy （3）zyx9422 （4）0922zyx （5）0149222zyx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面雙曲柱面雙曲柱面橢圓拋物面橢圓拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面單葉雙曲面單葉雙曲面 （6）04222zyx （7）0125922yx （8）yx 2 （9）1443222zyx （10）0222

11、zyx 圓錐面圓錐面橢圓柱面橢圓柱面 拋物柱面拋物柱面旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面 雙曲拋物面雙曲拋物面例 2求與oxy平面成45角，且過點) 0 , 0 , 1 (的直線的軌跡。解：設),(zyxM為動直線上任一點， 則動直線的方向向量為 , , 1zyxa， 取z軸上的單位向量1 , 0 , 0k。由題意可知a與z軸的夾角為45， 21),cos(sinka，而222) 1( ),cos(zyxzkakaka， 故得21) 1(222zyxz，化簡得0) 1(222zyx（旋轉(zhuǎn)錐面） 。7 7. .4 4. .6 6 曲曲面面的的參參數(shù)數(shù)方方程程 若曲面上點的坐標),(zyx能表示成兩個參數(shù)vu,的函數(shù)： ),(),(),(vuzzvuyyvuxx，則此方程組稱為曲面的 參數(shù)方程。 若能從方程組中消去參數(shù)vu,，則得曲面的 隱式方程：0),(zyxF。 例如，圓柱面222ayx的參數(shù)方程為 ) ,20( .,sin,c