空間直線及其方程(26)課件

1、第五節(jié)第五節(jié) 空間直線及其方程空間直線及其方程一、空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程三、兩直線的夾角三、兩直線的夾角四、直線與平面的夾角四、直線與平面的夾角五、小結(jié)五、小結(jié)xyzo1 2 定義定義空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空間直線的一般方程空間直線的一般方程L一、空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程xyzo方向向量的定義：方向向量的定義： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一條

2、已知直線，這個(gè)向量稱一條已知直線，這個(gè)向量稱為這條直線的為這條直線的方向向量方向向量sL),(0000zyxM0M M ,LM ),(zyxMsMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM 二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程pzznyymxx000 直線的對(duì)稱式方程直線的對(duì)稱式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直線的一組直線的一組方向數(shù)方向數(shù)方向向量的余弦稱為方向向量的余弦稱為直線的直線的方向余弦方向余弦.直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程例例1 1 用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線.043201 zy

3、xzyx解解在直線上任取一點(diǎn)在直線上任取一點(diǎn)),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)),2, 0 , 1( 因所求直線與兩平面的法向量都垂直因所求直線與兩平面的法向量都垂直取取21nns ,3, 1, 4 對(duì)稱式方程對(duì)稱式方程,321041 zyx參數(shù)方程參數(shù)方程.3241 tztytx解解因因?yàn)闉橹敝本€線和和y軸軸垂垂直直相相交交, 所以交點(diǎn)為所以交點(diǎn)為),0, 3, 0( B取取BAs ,4, 0, 2 所求直線方程所求直線方程.440322 zyx定義定義直線直線:1L,111111pzznyymxx 直線直線:2L,222222

4、pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 兩直線的方向向量的夾角稱之兩直線的方向向量的夾角稱之.（銳角）（銳角）兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式三、兩直線的夾角三、兩直線的夾角兩直線的位置關(guān)系：兩直線的位置關(guān)系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直線直線:1L直線直線:2L,0, 4, 11 s,1 , 0 , 02 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即例例 3 3 求求過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn))5, 2, 3( 且且與與兩兩平平面面34 zx和和152 zyx的的交交

5、線線平平行行的的直直線線方方程程.解解設(shè)所求直線的方向向量為設(shè)所求直線的方向向量為,pnms 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,1ns ,2ns 取取21nns ,1, 3, 4 .153243 zyx所求直線的方程所求直線的方程例例 4 4 求求過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn))3 , 1 , 2(M且且與與直直線線12131 zyx垂垂直直相相交交的的直直線線方方程程.解解先作一過(guò)點(diǎn)先作一過(guò)點(diǎn)M且與已知直線垂直的平面且與已知直線垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直線與該平面的交點(diǎn)再求已知直線與該平面的交點(diǎn)N,令令tzyx 12131. 1213 tztytx代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t交點(diǎn)交點(diǎn))

6、73,713,72( N取所求直線的方向向量為取所求直線的方向向量為MNMN373, 1713, 272 ,724,76,712 所求直線方程為所求直線方程為.431122 zyx定義定義直線和它在平面上的投影直線的夾直線和它在平面上的投影直線的夾角角 稱為直線與平面的夾角稱為直線與平面的夾角 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx,pnms ,CBAn 2),(ns 2),(ns四、直線與平面的夾角四、直線與平面的夾角 0.2 222222|sinpnmCBACpBnAm 直線與平面的夾角公式直線與平面的夾角公式直線與平面的直線與平面的位置關(guān)系：位置關(guān)系： L)1(.pCn

7、BmA L)2(/. 0 CpBnAm .cos 2 cossin2 例例 5 5 設(shè)直線設(shè)直線:L21121 zyx，平面，平面: 32 zyx，求直線與平面的夾角，求直線與平面的夾角.解解,2, 1, 1 n,2, 1, 2 s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 為所求夾角為所求夾角例例6 6解解.401284, 0405:角的平面方程角的平面方程組成組成且與平面且與平面求過(guò)直線求過(guò)直線 zyxzxzyx過(guò)已知直線的平面束方程為過(guò)已知直線的平面束方程為, 0)4(5 zxzyx , 04)1(5)1( zyx即即.1 ,

8、 5 ,1 n其法向量其法向量.8, 4, 1 n又又已已知知平平面面的的法法向向量量由題設(shè)知由題設(shè)知114cosnnnn 222222)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1( ,2723222 即即由此解得由此解得.43 代回平面束方程為代回平面束方程為. 012720 zyx空間直線的一般方程空間直線的一般方程.空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程.兩直線的夾角兩直線的夾角.直線與平面的夾角直線與平面的夾角.（注意兩直線的位置關(guān)系）（注意兩直線的位置關(guān)系）（注意直線與平面的位置關(guān)系）（注意直線與平面的位置關(guān)系）五、小結(jié)五、小結(jié)思考題思考題 在在直直線

9、線方方程程pznymx 6224中中，m、n、p各各怎怎樣樣取取值值時(shí)時(shí)，直直線線與與坐坐標(biāo)標(biāo)面面xoy、yoz都都平平行行.思考題解答思考題解答,6,2pnms 且有且有. 0 s, 0 ks, 0 is 0206mp, 0, 6 mp, 0 s, 0 n故當(dāng)故當(dāng) 時(shí)結(jié)論成立時(shí)結(jié)論成立, 0 m6 p, 0 n一、一、 填空題：填空題：1 1、 通過(guò)點(diǎn)通過(guò)點(diǎn))3,1,4( 且平行于直線且平行于直線5123 zyx的直線方程為的直線方程為_(kāi)；2 2、 直線直線 012309335zyxzyx與直線與直線 0188302322zyxzyx的夾角的余弦為的夾角的余弦為_(kāi)；3 3、 直線直線 003

10、zyxzyx和平面和平面01 zyx在平在平面面012 zyx上的夾角為上的夾角為_(kāi)；4 4、點(diǎn)點(diǎn))0,2,1( 在在平平面面012 zyx上上的的投投影影為為 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；練練 習(xí)習(xí) 題題5 5、 直線直線723zyx 和平面和平面8723 zyx的關(guān)系是的關(guān)系是_；6 6、 直線直線431232 zyx和平面和平面3 zyx的關(guān)的關(guān)系是系是_ . .二二、 用用 對(duì)對(duì) 稱稱 式式 方方 程程 及及 參參 數(shù)數(shù) 方方 程程 表表 示示 直直 線線L： 421zyxzyx . .三三、 求求過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn))2,1,3( 且且通通過(guò)過(guò)直直線線12354z

11、yx 的的平平面面方方程程 . .四、四、 求直線求直線 0923042zyxzyx在平面在平面14 zyx上上的投影直線的方程的投影直線的方程 . .五、五、 求與已知直線求與已知直線1L：13523zyx 及及2L： 147510zyx 都相交且和都相交且和3L： 137182 zyx平行的直線平行的直線L . .六、設(shè)一平面垂直于平面六、設(shè)一平面垂直于平面0 z, ,并通過(guò)從點(diǎn)并通過(guò)從點(diǎn))1,1,1( A 到直線到直線L： 001xzy的垂線， 求此平面的方程的垂線， 求此平面的方程 . .七、七、 求兩直線求兩直線1L：1101zyx 和和2L：0212 zyx的公垂線的公垂線L的方程，及公垂線段的長(zhǎng)的方程，及公垂線段的長(zhǎng) . .八、求過(guò)點(diǎn)八、求過(guò)點(diǎn))4,0,1( 且平行于平面且平行于平面01043 zyx又與直線又與直線31311zyx 相交相交的直線方程的直線方程 . .九、九、 求點(diǎn)求點(diǎn))2,1,3( P到直線到直線 04201zyxzyx的距的距離離 . .一、一、1 1、531124 zyx； 2 2、0 0； 3 3、0 0； 4 4、)32,32,35( ； 5 5、垂直；、垂直； 6 6、直線在平面上、直線在平面上. .二、二、311121 zyx, , t