2021版高中數(shù)學(xué)第二章函數(shù)3函數(shù)的單調(diào)性(二)學(xué)案北師大版必修1

1、§3函數(shù)的單調(diào)性(二)學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解函數(shù)的最大(小)值的概念及其幾何意義 (重點(diǎn))；2.理解函數(shù)的最大(小)值是在整個定義域上研究函數(shù)，體會求函數(shù)最值是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用之一(重、難點(diǎn))皿前預(yù)習(xí)I口主驢耳.規(guī)注總殆預(yù)習(xí)教材P38 39完成以下問題：知識點(diǎn)一函數(shù)最大值與最小值最大值最小值條件一般地，設(shè)函數(shù)y= f(x)的定義域?yàn)?，如果存在實(shí)數(shù) M滿足：對于任意的x I , 都有f (x)三Mf(x)仝 M存在Xo I，使得f(xo) = M結(jié)論稱M是函數(shù)y= f (x)的最大值稱M是函數(shù)y= f (x)的最小值幾何意義f(x)圖像上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)f (x)圖像上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)【預(yù)習(xí)

2、評價】1 .任何函數(shù)都有最大值或最小值嗎？提示 不一定，如函數(shù) y= x, x R時就無最大值和最小值.2假設(shè)函數(shù)f(x) = x2> 1恒成立，那么此函數(shù)的最小值就是1嗎？提示 不對.雖然x2> 1恒成立，但在函數(shù)定義域內(nèi)找不到一個xo的值使f(xo) = 1,根據(jù)最小值定義可知此結(jié)論不成立.3.函數(shù)f(x)最大值、最小值的幾何意義是什么？提示 函數(shù)最大值的幾何意義是對應(yīng)圖像最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)，函數(shù)最小值的幾何意義是函數(shù)圖像的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).知識點(diǎn)二函數(shù)最值與單調(diào)性的聯(lián)系(1) 假設(shè)函數(shù)y =f(x)在區(qū)間a, b上單調(diào)遞增，那么 f(x)的最大值為f(b)，最小值為 f(a).(2

3、) 假設(shè)函數(shù)y = f (x)在區(qū)間a, b上單調(diào)遞減，那么 f (x)的最大值為f (a)，最小值為 f(b).【預(yù)習(xí)評價】1. 結(jié)合教材P38例4,你認(rèn)為應(yīng)怎樣求函數(shù)的最大值、最小值？提示 第一步：利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在所給定義域內(nèi)的單調(diào)性.第二步：根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)的最大值、最小值.2. 函數(shù)f(x) = | x|的最小值是 .x, x>0, 解析 因?yàn)閒 (x) = | x| =所以f (x)的最小值是0.x, x<0,答案 0皿堂互動1匙型訓(xùn)聽.互動探題型一圖像法求函數(shù)的最值【例1】(1)如圖為函數(shù)y= f(x) , x 4,7的圖像，那么它的最大值、最小值分別是

4、2 x， K x < 1, 函數(shù)f(x) = 1求f(x)的最大值、最小值.,x>1.x(1) 解析由圖像知當(dāng)x= 3時，f(x)取最大值3,當(dāng)x = 1.5時，f (x)取最小值一2.答案 3 2解 作出函數(shù)f (x)的圖像(如圖)，由圖像可知，當(dāng)x=±l時，f(x)取最大值為f ( ± 1)=1.當(dāng)x = 0時f (x)取最小值f(0)1，最小值為0.規(guī)律方法利用圖像法求函數(shù)最值的依據(jù)及步驟(1) 依據(jù)：以函數(shù)最值的幾何意義為依據(jù)，常用于圖像易作出的函數(shù)求最值.步驟 作：作出函數(shù)圖像； 找：在圖像上找到最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)； 定：確定函數(shù)的最大(小)值.2

5、一,x8, 0,【訓(xùn)練1】畫出函數(shù)f(x) =X的圖像，并寫出函數(shù)的2x + 2x 1, x 0 ,+8單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的最小值.解f (x)的圖像如下圖，f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一8, 0)和0 , +8)，函數(shù)的最小值為 f(0) = 1 .題型二函數(shù)最值的應(yīng)用【例2】 某公司在甲乙兩地同時銷售一種品牌車，銷售t輛該品牌車的利潤(單位:萬元)分別為Li = t2+ 21t和L?= 2t.假設(shè)該公司在兩地共銷售15輛車，那么能獲得的最大利潤是萬元.(2) 某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x(百臺)，其總本錢為G(x)萬元，其中固定本錢為2.8萬元，

6、并且每生產(chǎn)1百臺的生產(chǎn)成 本為1萬元(總本錢=固定本錢+生產(chǎn)本錢)銷售收入 Rx)(萬元)滿足：20.4x + 4.2 x, Ow xW 5,F(x)=假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡(即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉)，11, x>5,根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律，請完成以下問題： 寫出利潤函數(shù)y= f(x)的解析式(利潤=銷售收入一總本錢) 工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時，可使盈利最多？(1) 解析 設(shè)在甲地銷售x輛，在乙地銷售(15 x)輛，設(shè)銷售利潤為 L,貝yL= x2 + 21x+ 2(15 x)2=x + 19x + 3019 2192=x+ 30+ 4 所以，當(dāng)x = 9或x = 10時，L取最大值為120 答案 12

7、0(2) 解 由題意得 Gx) = 2.8 + x,所以 f (x) = Rx) G(x)20.4 x + 3.2x 2.8 , 0w xw5,8.2 x, x>5.當(dāng)x>5時，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)<f(5) = 3.2(萬元)，當(dāng) 0W xW5 時，函數(shù) f (x) = 0.4( x 4) + 3.6 ,當(dāng)x = 4時，f (x)有最大值為3.6(萬元)，所以當(dāng)工廠生產(chǎn)4百臺產(chǎn)品時，可使贏利最大為3.6萬元.規(guī)律方法解答實(shí)際問題的步驟(1) 審題：審讀實(shí)際問題，找出條件，未知條件，確定自變量和因變量的條件關(guān)系.(2) 建模：建立數(shù)學(xué)模型，列出函數(shù)關(guān)系式.(

8、3) 求解：分析函數(shù)性質(zhì)，利用數(shù)學(xué)知識探究問題解法(一定注意自變量的取值范圍)回歸：數(shù)學(xué)問題回歸實(shí)際問題，寫出答案.【訓(xùn)練2】某特產(chǎn)經(jīng)營店銷售某種品牌蜜餞，蜜餞每盒進(jìn)價為8元，預(yù)計(jì)這種蜜餞以每盒20元的價格銷售時該店一天可銷售20盒，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)每盒蜜餞的銷售價格在每盒20元的根底上每減少一元那么增加銷售4盒，每增加一元那么減少銷售1盒，現(xiàn)設(shè)每盒蜜餞的銷售價格為x元.(1) 寫出該特產(chǎn)店一天內(nèi)銷售這種蜜餞所獲得的利潤y(元)與每盒蜜餞的銷售價格 x的函數(shù)關(guān)系式.(2) 當(dāng)每盒蜜餞銷售價格 x為多少時，該特產(chǎn)店一天內(nèi)利潤y(元)最大，并求出這個最大值.2解 當(dāng) O<xw20 時，y=

9、20 + 4(20 x)(x 8) =-4x + 132x 800,2當(dāng) 20<x<40 時，y= 20 (x 20)( x 8) = x + 48x 320,24x + 132x 800, 0<xw 20,所以y=2x2+ 48x 320, 20<x<40.當(dāng)0<XW 20時,33y = 4 x 2 + 289，所以當(dāng)x= 16.5時，y取得最大值289 元;當(dāng)20<x<40時，y= (x 24) 2+ 256，所以當(dāng)x= 24時，y取得最大值 256元.綜上所述，當(dāng)蜜餞價格是 16.5元時，該特產(chǎn)店一天的利潤最大，最大值為289元.互動探究題

10、型三利用單調(diào)性求函數(shù)最值4【探究1】利用單調(diào)性定義證明函數(shù)f(x) = x+ x在1,2上的單調(diào)性并求其最值.44解設(shè) 1< x1<X2W 2,那么 f(x) - f(X2)= x1 + x；-x2 x；X2 X1X1X2X1 X2X1X2 4X1X2'/ 1 w X1<X2< 2, X1 X2<0,1< X1X2<4,/ X1X2 4<0, X1X2>0, f (X1) f(X2)>0，即 f(X1)>f(X2).4 f (x) = x + -在1,2上是減函數(shù).從而函數(shù)的最大值是 f(1) = 1 + 4 = 5，最

11、小值是f (2) = 2 + 2= 4.【探究2】 定義在R上的函數(shù)f(x)對任意兩個不等的實(shí)數(shù)xi, X2，總有xi fX2Xi X2>0成立，且f ( 3) = a, f( 1) = b,那么 f(x)在3, 1上的最大值是f Xi f X2解析 由 ->0,得f (X)在R上是增函數(shù)，那么f (X)在3, 1上的最大值是 f( 1) = b.答案 b【探究3】 函數(shù)f (x)，當(dāng)x, y R時，恒有f(x + y) = f (x) + f(y).(1) 求證：f (x) + f ( x) = 0.(2) 假設(shè) f( 3) = a,試用 a表示 f (24).1(3) 如果x&

12、gt;0時，f(x)<0，且f (1) = 2，試求f (x)在區(qū)間2,6上的最大值和最小值.(1) 證明令 x= y= 0 得 f(0) = 0,再令 y= x 得 f ( x) = f (x),所以 f(x) + f( x) = 0.(2) 解 因?yàn)?f ( 3) = a那么 f (3) = a,所以 f(24) = 8f(3) = 8a.(3) 解設(shè) X ( m,+m )，且 X1<X2 ,那么 f (X2) = fX1+ ( X2 X1) = f(X1)+ f (X2 X1),又因?yàn)?X2 X1>0,所以 f (X2xj<0 ,f (X1) + f (X2 X1

13、)< f (X1),所以f(X2)<f(X1)，所以f (x)在R上是減少的，所以 f ( X) max= f( 2) = f (2) = 2f (1) = 1,1f(x) min = f(6) = 6f (1)規(guī)律方法1.利用函數(shù)單調(diào)性求最值的一般步驟(1) 判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性.(2) 借助最值與單調(diào)性的關(guān)系寫出函數(shù)最值.2利用單調(diào)性求最值的兩個關(guān)注點(diǎn)(1) 求最值勿忘求定義域.(2) 閉區(qū)間上的最值，不判斷單調(diào)性而直接將兩端點(diǎn)值代入是最容易出現(xiàn)的錯誤，求解 時一定注意.課堂達(dá)標(biāo)1 函數(shù)f(X)的圖像如圖，那么其最大值、最小值分別為()A. f3C. f - 2 , f(0

14、)D f(0) , f(3)解析 由圖知，當(dāng)x = 0時，f(x)取最大值f(0)，當(dāng)x = |時，f(x)取最小值f 3 .答案 B2.函數(shù)y= 亠在2,3上的最小值為()x 1A. 2B.C.D.解析函數(shù)在2,3上單調(diào)遞減，所以最小值為1 13 = 2 .答案 B2x+ 6, x 1 , 2,3. 假設(shè)函數(shù) f(x) = x + 7, x 1 , 1那么f (x)的最大值為 ，最小值為解析當(dāng)K XW2時，y= 2x + 6為增函數(shù)，所以 f ( x) max= f(2) = 10, f (x)min= f(1) = 8；當(dāng)一1< x<1 時，6W f (x)<8 ,故f

15、(x)的最大值為10，最小值為6 .答案 1064. 函數(shù) f (x) = x 4x + 5, x 1,4，那么 f (x)的最大值為 .解析 f (x) = x 4x + 5的對稱軸為x= 2，所以最大值為f (4) = 4 一4X 4+ 5= 5 . 答案 55. f (x) = x x + 1,求f (x)在區(qū)間1,1上的最大值和最小值.21 2 311解 因?yàn)閒 (x) = x x + 1= x 2 + 4，又因?yàn)? 1,1,所以當(dāng)x=2時，f (x)有最13小值.當(dāng) x= 1 時，f (x)有最大值，即 f (x) min= f 2 = 4 , f(x)max= f ( 1) = 3

16、.課堂小結(jié)1對函數(shù)最值的三點(diǎn)說明(1) 最大(小)值必須是一個函數(shù)值， 是值域中的一個元素， 如函數(shù)y = x2(x R)的最小值 是 0,有 f(0) = 0.(2) 最大(小)值定義中的“任意是說對于定義域內(nèi)的每一個值都必須滿足不等式，即對于定義域內(nèi)的全部元素，都有f(x) < Mf(x) > M)成立，也就是說，函數(shù)y= f(x)的圖像不能位于直線y = M的上(下)方.(3) 最大(小)值定義中的“存在是說定義域中至少有一個實(shí)數(shù)滿足等號成立,也就是 說y = f (x)的圖像與直線y = M至少有一個交點(diǎn).2函數(shù)最值與函數(shù)值域的關(guān)系 函數(shù)的值域是一個集合, 最值假設(shè)存在那么屬于這個集合, 即最值首先是一個函數(shù)值,