2021版高中數(shù)學(xué)第2章圓錐曲線與方程2.3.2雙曲線的幾何性質(zhì)學(xué)案蘇教版選修2-1

1、2. 3.2雙曲線的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 了解雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，如范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、漸近線和離心率等.2.能用雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題3能區(qū)別橢圓與雙曲線的性質(zhì).，知識(shí)櫬理自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程22x y 1a7- b7-1(a>0, b>0)22y x 1 m-1(a>0, b>0)圖形y0性質(zhì)范圍x> a 或 x< ay?a或y w a對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)A( a,0),A(a,O)Ai(O , a),A(0 , a)實(shí)軸和虛軸線段AA叫做雙曲線的實(shí)軸；線段 BB2叫做雙曲線的虛軸漸近線by-&#

2、177; axay-± bx離心率ce-;, e (1 ,+s)a知識(shí)點(diǎn)二等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線，它的漸近線是y=±x.思考(1)橢圓與雙曲線的離心率都是e,其范圍一樣嗎？(2)假設(shè)雙曲線確定，那么漸近線確定嗎？反過(guò)來(lái)呢？答案不一樣橢圓的離心率0<e<1，而雙曲線的離心率 e>1.(2)當(dāng)雙曲線的方程確定后，其漸近線方程也就確定了；反過(guò)來(lái)，確定的漸近線卻對(duì)應(yīng)著無(wú)數(shù)b22條雙曲線，如具有相同的漸近線 y =± -x的雙曲線可設(shè)為X2-書(shū)=入(入工0,入 R)，當(dāng)入>0aa b時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，當(dāng) 入<0時(shí)，焦點(diǎn)在

3、y軸上.訂題型探究畫(huà)點(diǎn)突破題型一雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求其幾何性質(zhì)例1求雙曲線9y2 -4x2=- 36的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率、漸近線 方程.2 2解 將9/ 4x =- 36化為標(biāo)準(zhǔn)方程X 魯=1， a= 3, b= 2, c = .；13.因此頂點(diǎn)為 Ai( 3,0) , A(3,0),焦點(diǎn)為 Fi( 13, 0) , F2( 13, 0),實(shí)軸長(zhǎng)2a = 6，虛軸長(zhǎng)2b= 4,離心率e= |=¥，a 3漸近線方程為 y=± -x=± -x.7 a 3反思與感悟討論雙曲線的幾何性質(zhì)，先要將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)雙曲線兩種形式的特點(diǎn)得到

4、幾何性質(zhì).跟蹤訓(xùn)練1求雙曲線x2 3y2+ 12= 0的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程、離心率.2 2解 將方程x2 3y2 + 12= 0化為標(biāo)準(zhǔn)方程占12= 1, a2= 4, b2 = 12,. a= 2, b= 2 3, c = a2+ b2=16= 4.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng) 2a = 4,虛軸長(zhǎng)2b= 4 3.£焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(0， 4) , F-(0,4)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0 , 2) , A>(0,2)，漸近線方程為y=±乙x,離心率e= 2.題型二根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程例2求適合以下條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:13(1) 一個(gè)焦點(diǎn)為(0,1

5、3)，且離心率為 三；5 漸近線方程為y =± qx，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2 , - 3).解(1)依題意可知，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且c= 13,又|=睪a= 5,a 5b= c2- a2= 12,2故其標(biāo)準(zhǔn)方程為2_1442x1.方法一 雙曲線的漸近線方程為1y=± 歹，假設(shè)焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2b 1|2 £= 1(l>0, b>0)，那么 |=. A(2 , - 3)在雙曲線上，壬一善=1.聯(lián)立，無(wú)解.假設(shè)焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 x2a 1|2左=1(a>0, b>0)，那么 b= 2 A(2 , -

6、 3)在雙曲線上， |一害=12 2聯(lián)立，解得a = 8, b = 32.2 2所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為春32= 1.1x2方法二由雙曲線的漸近線方程為y=± x，可設(shè)雙曲線方程為22y =入(入工0), A(2 , - 3)在雙曲線上，著一(-3)2=入，即入一 8.所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2 2V 32 = 1.反思與感悟由雙曲線的幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，當(dāng)焦點(diǎn)位置明確時(shí)直接設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可，當(dāng)焦點(diǎn)位置不明確時(shí)，應(yīng)注意分類(lèi)討論，也可以不分類(lèi)討 論直接把雙曲線方程設(shè)成mx- ny2= 1(mr>0)，從而直接求出來(lái).當(dāng)雙曲線的漸近線方程為y2 2bx y

7、=± |x時(shí)，可以將方程設(shè)為|2-y=入(入豐0).跟蹤訓(xùn)練2根據(jù)條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.2 2(1) 與雙曲線9-y6 = 1有共同漸近線，且過(guò)點(diǎn)(一3, 2 3)；2 2(2) 與雙曲線x6- y = 1有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(3 .2, 2).2 2解設(shè)所求雙曲線方程為x9£=入入工0,由題意可知239=入，解得ix= 4.2 2所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為xy = 1.9442 2 設(shè)所求雙曲線方程為16一 k 4 k = 116 k>0, 4+ k>0,雙曲線過(guò)點(diǎn)3邁,2,3 .''2216 k44k解得k= 4或k= 14舍去.2 2所求雙曲

8、線的標(biāo)準(zhǔn)方程為嘉y = 1.12 8題型三直線與雙曲線的位置關(guān)系2 2例3直線I在雙曲線3 2 = 1上截得的弦長(zhǎng)為4，其斜率為2，求直線l的方程.解設(shè)直線I的方程為y= 2x + my= 2x + m由 x2 y2得 10x2 + 12m灶 3(吊+ 2) = 0.(*)§ 一 7 1，設(shè)直線I與雙曲線交于A(X1, y1), B(X2, y2)兩點(diǎn),由根與系數(shù)的關(guān)系,得 X1 + X2= 65m32X'X2 = 10( m+ 2).又 y1 = 2x1+ m y2 = 2x2+ m y1 y2 = 2(x1 X2), aB =(X1 X2) + (y1 y2) = 5(X

9、1 X2)2=5( X1 + X2) 4x1X2=5節(jié)4X韶 m+ 2)./ AB4, 36ni 6( m + 2) = 16.523 m= 70,m=±3寧代入上式,2由(*)式得 A = 24m 240,把 m=±得A >0,. m的值為± 3°所求直線I的方程為y= 2x ±弓°反思與感悟直線與雙曲線相交的題目，一般先聯(lián)立方程組，消去一個(gè)變量，轉(zhuǎn)化成關(guān)于或y的一元二次方程要注意根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式的應(yīng)用假設(shè)與向量有關(guān)，那么將向量用坐標(biāo)表示，并尋找其坐標(biāo)間的關(guān)系，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解.2X 2跟蹤訓(xùn)練3 設(shè)雙曲線C：

10、 2 y = 1(a>0)與直線l : x+ y = 1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn) A B.a求實(shí)數(shù)a的取值范圍;設(shè)直線I與y軸的交點(diǎn)為P,假設(shè)色匕求a的值.2x 2(1)將y = x + 1代入雙曲線方程a2 y = 1(a>0),得(1 a2)x2 + 2a2x 2a2 = 0.1 a2z 0,依題意有 a = 4a4+ 8a21 a2 >0,-0<a<、；2且 az 1.(2)設(shè) A(xi, yi) , B(x2, y2),依題意得R0,1),因?yàn)?PA=尋甩 所以(X1, y1 1) = 152(x2, y2 1).5由此得X1 = 12X2.由于 為，X2是方程

11、(1 a2) x2 + 2a2x 2a2= 0的兩根，且1 a2z0,2 2172a5 22a所以x2=2,X2=-121 a 121 a2,22消去 x2 得一12 = 289.由 a>0,解得 a= 17.尸當(dāng)堂檢測(cè)自查自糾1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為答案 2 .32x解析雙曲線：一42£= 1的一個(gè)焦點(diǎn)為F(4,0),其中一條漸近線方程為y= 一 3x,點(diǎn)F到3x y = 0 的距離為 42= 2 3.2 22 .雙曲線mx + y = 1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的 2倍，那么m的值為.答案142解析 由雙曲線方程 mX+ y2= 1,知m<0,那么雙曲線方程可化為 y2七=1

12、,那么a2= 1, a= 1,m1 2又虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍， b= 2,眉b= 4，2 23 .雙曲線盒魯=1的漸近線方程為答案3x ±4y = 02 2x y22解析 由 16 § =1 得 a = 16, b = 9,3漸近線方程為y = 土 4X, 即卩3x±4y = 0.2 24雙曲線 C: x2£=1的焦距為10,點(diǎn)R2,1在C的漸近線上，那么雙曲線C的方程為a b22答案20 5=12x 解析雙曲線C的漸近線方程為-a2£= 0，點(diǎn)P2,1在漸近線上,b412 2 = 0, 即即 a2= 4b2,a b又 a + b = c = 25,解得 b = 5, a = 20.5以雙曲線 C的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中，有一個(gè)內(nèi)角為60°,那么雙曲線C的離心率為答案-2解析設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為F1 c, 0, F2c, 0,虛軸兩個(gè)端點(diǎn)為 B(0 , b) , B(0 , b),因?yàn)閏>b,所以只有/ BF1B= 60°,b廠- tan 30 ° = _, c= 3b,c口22.22又 a = c b = 2b , e=c /5b 心 a= '2b=帀課堂小結(jié)12 21. 漸近線是雙曲線特有的性