小波分析方法

1、15 小波分析方法小波分析方法 小波分析簡介小波分析簡介 兩個(gè)應(yīng)用研究實(shí)例兩個(gè)應(yīng)用研究實(shí)例 小波分析(wavelet analysis)，是在Fourier分析基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種新的時(shí)頻局部化分析方法，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”。小波分析，是應(yīng)用面極為廣泛的一種數(shù)學(xué)方法，是純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)完美結(jié)合的一個(gè)典范。小波分析為現(xiàn)代地理學(xué)研究提供了一種新的方法手段，它對于一些多尺度、多層次、多分辨率問題，如氣候變化、植物群落的空間分布、遙感圖像處理等問題，運(yùn)用小波分析方法進(jìn)行研究，往往能夠得到令人滿意的結(jié)果。15.1 小波分析簡介小波分析簡介小波與小波函數(shù)小波與小波函數(shù)小波變換及其性質(zhì)小波變換及其性質(zhì)離散

2、小波變換離散小波變換時(shí)頻分析時(shí)頻分析小波與小波函數(shù)小波與小波函數(shù)基本約定：基本約定：一般用小寫字母，比如f(x)表示時(shí)間信號或函數(shù)，x表示時(shí)間域自變量，對應(yīng)的大寫字母，F(xiàn)()表示相應(yīng)函數(shù)或信號的Fourier變換，表示頻域自變量；尺度函數(shù)總是寫成(x)(時(shí)間域)和()(頻率域)；小波函數(shù)總是寫成(x)(時(shí)間域)和()(頻率域)。小波小波(函數(shù)函數(shù))定義：定義：記L2（R）是定義在整個(gè)實(shí)數(shù)軸R上滿足條件 的全體可測函數(shù)f(x)及其相應(yīng)的函數(shù)運(yùn)算和內(nèi)積所組成的集合。那么，小波就是函數(shù)空間L2(R)中滿足下述條件的一個(gè)函數(shù)或者信號(x):上兩式稱為容許性條件，R*代表非零實(shí)數(shù)全體。(x)被稱為母小波

3、或小波母函數(shù)，有時(shí)也稱為小波函數(shù) 。 dxxf2)(dCR*2)(0)(dR或?qū)τ谌我獾膶?shí)數(shù)對(a，b)，其中，參數(shù)a必須為非零實(shí)數(shù)，稱如下形式的函數(shù)為由小波母函數(shù)(x)生成的依賴于參數(shù)(a,b)的連續(xù)小波函數(shù)，簡稱為小波。其中，a稱為伸縮尺度參數(shù)，b稱為平移尺度參數(shù)。)(1)(,abxaXba幾個(gè)比較典型的小波：幾個(gè)比較典型的小波： Shannon小波 Gaussan小波 Morlet小波：Mexican帽子小波：以它為小波母函數(shù)，隨a和b的不同取值而出現(xiàn)波形的變化和相應(yīng)的平移情況見圖15.1.1。tttt)sin()2sin()(22)(texg22)(ticxeex222)1 ()(te

4、txh圖圖15.1.1以以Mexican Mexican 帽型小波做為母小波的小波在選擇不同帽型小波做為母小波的小波在選擇不同的的a a與與b b的值的波形變化的值的波形變化小波變換及其性質(zhì)小波變換及其性質(zhì)對于任意函數(shù)或者信號f（x），其小波變換為： dxabxxfadxxxfbaWRRbaf)()(1)()(),(),(任意的函數(shù)f(x)小波變換是一個(gè)二元函數(shù)。對于任意參數(shù)對(a,b)，小波函數(shù)(a,b)(x)在x=b的附近存在明顯的波動(dòng)，遠(yuǎn)離x=b的地方將迅速地衰減到0，Wf(a,b)的本質(zhì)就是原來的函數(shù)或者信號f(x)在x=b點(diǎn)附近按(a,b)(x)進(jìn)行加權(quán)的平均，體現(xiàn)的是以(a,b)(

5、x)為標(biāo)準(zhǔn)快慢尺度的f(x)的變化情況，一般稱參數(shù)a為尺度參數(shù)，而參數(shù)b為時(shí)間中心參數(shù)。小波變換的幾個(gè)基本性質(zhì)：小波變換的幾個(gè)基本性質(zhì)： Parseval 恒等式對空間L2(R)中的任意的函數(shù)f(x)和g(x)都成立。 小波變換在變換域保持信號的內(nèi)積不變，小波反演公式 函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=x0連續(xù)，則有如下定點(diǎn)反演公式小波變換作為信號變換和信號分析的工具在變換過程中是沒有信息損失的。 2),(),()()(2adadbbaWbaWdxxgxfCgRRf2),()(),(1)(*adadbxbaWCxfbaRRf20),(0)(),(1)(adadbxbaWCxfbaRRf 吸收公式與吸收逆變換

6、公式當(dāng)吸收條件成立時(shí)，可得到吸收Parseval恒等式和相應(yīng)的吸收逆變換公式dd0202)()(20),(),()()(21adadbbaWbaWdxxgxfCgf20),()(),(2)(adadbxbaWCxfbaf離散小波變換離散小波變換 二進(jìn)小波和二進(jìn)小波變換二進(jìn)小波和二進(jìn)小波變換 如果小波函數(shù)(x)滿足穩(wěn)定性條件則(x)為二進(jìn)小波，對于任意的整數(shù)k，記 為尺度參數(shù)a取二進(jìn)離散數(shù)值ak=2-k時(shí)的特例 BAjj2)2()(2(2)(2),2(bxxkkbk對于函數(shù)f(x)，其二進(jìn)離散小波變換記為Wkf（b），定義如下： 其小波變換的反演公式是其中，函數(shù)t(x)滿足稱為二進(jìn)小波(x)的重

7、構(gòu)小波。 dxxxfbWbWbRkfkfk)()(),2()(),2(dbxtbWxfbkRkfkk)()(2)(),2( 1)2()2(kkkT正交小波和小波級數(shù)正交小波和小波級數(shù) 如果下面一個(gè)函數(shù)族構(gòu)成空間L2(R)的標(biāo)準(zhǔn)正交基即滿足下述條件的基，則稱(x)是正交小波 對任何函數(shù)或信號f(x)，有如下的小波級數(shù)展開ZZjkjxxkkjk),( : )2(2)(2,)()()()(),(,njlkdxxxnlRjknljk0001)(mmmkjjkjkxAxf)()(,dxxxffAjkRjkjk)()(),(,稱為小波系數(shù)。小波系數(shù)Ak,j正好是信號f(x)的連續(xù)小波變換Wf（a，b）在尺

8、度系數(shù)a的二進(jìn)離散點(diǎn)ak=2-k和時(shí)間中心參數(shù)b的二進(jìn)整倍數(shù)的離散點(diǎn)bj=2-kj所構(gòu)成的點(diǎn)（2-k，2-kj）上的取值，因此，小波系數(shù)Ak,j實(shí)際上是信號f（x）的離散小波變換。也就是說，在對小波添加一定的限制之下，連續(xù)小波變換和離散小波變換在形式上簡單明了地統(tǒng)一起來了，而且連續(xù)小波變換和離散小波變換都適合空間L2（R）上的全體信號。一個(gè)最簡單的正交小波，即Haar小波，其定義為這時(shí)，函數(shù)族 構(gòu)成函數(shù)空間L2(R)的標(biāo)準(zhǔn)正交基。 ) 1 , 00121201)(11xxxxhZZkjkxhxhjjkj),( : )2(2)(2,時(shí)頻分析時(shí)頻分析 設(shè)g(t)L2(R)，而且 ，當(dāng) 時(shí)，則稱g(

9、t)是一個(gè)窗函數(shù)，它的中心E(g)和半徑(g)分別定義為而數(shù)值2(g)稱為窗函數(shù)g(t)的寬度。一般地定義窗口Fourier變換為02gdtttg2)(dtttgggE222)(1)(_2222)()(1 (1)(dttgtEggdtbtgetfbCtif)()(),(則Cf(b,)給出時(shí)窗E(g)+b-(g)，E(g)+b+(g)和頻窗E(G)+-(G)，E(G)+ +(G)中信號的局部信息，即信號在時(shí)頻窗E(g)+b-(g)，E(g)+b+(g)E(G)+ -(G)，E(G)+(G)中的局部化信息。選定窗口函數(shù)g(t)之后，這個(gè)時(shí)頻窗是一個(gè)邊與坐標(biāo)軸平行的形狀與(b,)無關(guān)的矩形，具有固定

10、的面積4(g)(G)，這個(gè)矩形的中心坐標(biāo)可用(b,)表示為(E(g)+b，E(G)+)。 小波變換的時(shí)小波變換的時(shí)-頻窗頻窗 連續(xù)小波的時(shí)頻窗是面積為 的可變矩形：其面積只與小波母函數(shù)(t)有關(guān)而與參數(shù)(a,b)毫無關(guān)系，但是，小波變換的時(shí)頻窗形狀卻隨著參數(shù)a而變化。 小波變換的時(shí)小波變換的時(shí)-頻特性頻特性 利用小波變換的時(shí)頻窗形式可知，對于較小較大的a，/ )(/ )(,/ )(/ )()()(),()(aaEaaEaaEbaaEb)()(4時(shí)間域的窗寬a()、時(shí)窗b-a()，b+a()隨著a一起發(fā)生相應(yīng)變化,主頻(中心頻率)E()/a變高，主要檢測信號中的高頻成分，只能利用該點(diǎn)附近很小范圍

11、內(nèi)的時(shí)間數(shù)據(jù)，這必然要求在該點(diǎn)的時(shí)間窗比較?。环粗畽z測到的是信號中的低頻成分，為了完整地檢測出低頻成分(比如至少包含一個(gè)完整的周期)，必須要利用該點(diǎn) 附近較大范圍內(nèi)的觀測數(shù)據(jù)，所以要求時(shí)間窗比較大，小波變換正好具備這樣的自適應(yīng)性；這是小波變換獨(dú)特的時(shí)頻分析特點(diǎn)，它在時(shí)變頻率和瞬時(shí)頻率分析及描述上有重要作用。 小波變換的局部化能力小波變換的局部化能力 從頻率域的角度來看，小波變換已經(jīng)沒有 “頻率點(diǎn)”的概念，卻是本質(zhì)意義上的“頻帶”的概念；從時(shí)間域來看，也不再是某個(gè)準(zhǔn)確的“時(shí)間點(diǎn) ”處的變化，而是在原信號在某個(gè)“時(shí)間段”內(nèi)的變化。所以，從f(t)到Wf(a,b)上是把信號限制在時(shí)間段b -a()，

12、b+a()內(nèi)和頻帶E()/a-()/a，E()/a+()/a內(nèi)的局部化過程。因而在信號故障時(shí)間或者故障位置的診斷、信號奇性檢測、圖像邊緣提取、圖像數(shù)據(jù)壓縮、信號濾波等方面都有應(yīng)用。 15.2 15.2 兩個(gè)應(yīng)用研究實(shí)例兩個(gè)應(yīng)用研究實(shí)例南海地區(qū)降水的時(shí)空特征研究南海地區(qū)降水的時(shí)空特征研究興安落葉松林的林窗分布規(guī)律研究興安落葉松林的林窗分布規(guī)律研究 （具體參見書本）（具體參見書本）南海地區(qū)降水的時(shí)空特征研究南海地區(qū)降水的時(shí)空特征研究 氣候變化具有多時(shí)間尺度和多空間尺度的特性，包含了多層次的突變。小波分析基于平移和伸縮的不變性，具有正則性、局部性和k階消失矩等良好性質(zhì)，它對于時(shí)頻特征的描述，特別適合

13、于對信號進(jìn)行多尺度分析、局部分析和奇異性分析，為研究氣候變化的多層次結(jié)構(gòu)和突變特征提供了新方法 。江靜等（2000）用美國NCEP重分析資料中19791995年17年逐旬的全球降水資料，經(jīng)雙線性插值到22，選澤300E180，0400N的區(qū)域范圍，運(yùn)用小波分析方法研究了南海地區(qū)降水的多時(shí)間層次和多空間層次結(jié)構(gòu)，分析了南海季風(fēng)的爆發(fā)及時(shí)間演變規(guī)律。(1)(1)小波選擇小波選擇 選擇Morlet小波，其母小波為其中c為常數(shù)（這里取c=5.4），函數(shù)f(x)的小波變換系數(shù)為 Morlet小波函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)經(jīng)過Gaussian函數(shù)平滑而得到的，所以它的伸縮尺度與Fourier分析中的周期T有如下對

14、應(yīng)關(guān)系：2/2)(xicxeexdxabxafTab)()(_2/1accT242信號f(x)在尺度a的全域能量密度為而信號f（x）在位置b的總能量密度以及尺度a1a2的能量密度為則可以觀察f(x)的小波能量密度隨頻率的變化，還可以觀察能量密度隨時(shí)間或位置的變化，以及各頻率段能量密度隨時(shí)間或位置的變化。dCadbfTCaEab222| )(|2| )(|1)(adafTCbEab2| )(|1)(adafTCaabEaaab22121| )(|1),(2) 南海季風(fēng)的空間尺度特征南海季風(fēng)的空間尺度特征 為了揭示南海季風(fēng)的空間尺度特征，作緯圈小波變化，取尺度因子其中，與小波變換的尺度a相對應(yīng)的k

15、（相應(yīng)的空間尺度）見表15.2.1。表表15.2.1小波變換的尺度小波變換的尺度k k對應(yīng)的空間尺度和時(shí)間尺度對應(yīng)的空間尺度和時(shí)間尺度224) 1(2 . 0/22ccPjkPakk12345空間尺度（經(jīng)度） 64321684時(shí)間尺度(d) 360180904522.5通過小波變換研究，得出了南海季風(fēng)的空間特征及變化特征（具體結(jié)果參見書本具體結(jié)果參見書本）。(3) (3) 南海季風(fēng)的時(shí)間尺度特征南海季風(fēng)的時(shí)間尺度特征 為了揭示南海季風(fēng)的時(shí)間尺度特征，取a=(9/4)2k/P（其中k，P與前述相同），用Morlet小波作時(shí)間小波變換，則結(jié)果表明：南海中部和北部的降水具有非常強(qiáng)的年變化，是典型的夏

16、雨型。還可分析南海季風(fēng)能量隨頻率的分布，南海中部和北部的年周期振蕩幾乎不隨時(shí)間變化，而其它的周期振蕩則有較大的變化。考察多年平均的降水率與各尺度小波變換系數(shù)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)年變化尺度的小波變換系數(shù)與雨季的變化非常吻合，但小波變換系數(shù)的變化略落后于降水率的變化。 (4) (4) 基本結(jié)論基本結(jié)論綜合前面的分析，可以得出以下幾點(diǎn)基本結(jié)論：南海季風(fēng)爆發(fā)于5月中旬，季風(fēng)爆發(fā)過程實(shí)際上是小范圍（32個(gè)經(jīng)度）降水向大范圍（64個(gè)經(jīng)度）降水調(diào)整的過程，一旦出現(xiàn)較強(qiáng)的大范圍降水，并到達(dá)南海地區(qū)，就爆發(fā)了南海季風(fēng)，調(diào)整完畢則是印度季風(fēng)和東亞季風(fēng)的相繼爆發(fā)。在10N以北的地區(qū)，季風(fēng)最早發(fā)生在南海，然后逐漸西移到印度，到達(dá)印度季風(fēng)最盛期后，迅速東撤。 南海地區(qū)可分為3