行列式計算方法小結(jié)ppt課件

1、主要內(nèi)容主要內(nèi)容1.定義定義nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 nnnnjjjjjjjjjNaaa 21212121)()1(2.性質(zhì)性質(zhì) 5條條3.展開定理展開定理)(, 0)(, 2211sisiDAaAaAasninsisi4.幾個重要結(jié)果幾個重要結(jié)果|BABCOAllkllkkk 范德蒙行列式范德蒙行列式P.17例例2三角形行列式的值等于對角元之乘積三角形行列式的值等于對角元之乘積 行列式的計算方法小結(jié)可從計算方法和行列式特征兩個角度總結(jié)?？蓮挠嬎惴椒ê托辛惺教卣鲀蓚€角度總結(jié)。1. 直接用定義非零元素很少時可用直接用定義非零元素很少時可用2. 化三角形行列式法化三

2、角形行列式法此法特點：此法特點：(2) 靈敏性差，死板。靈敏性差，死板。程序化明顯，對階數(shù)較低的數(shù)字行列式和一些較特殊的程序化明顯，對階數(shù)較低的數(shù)字行列式和一些較特殊的 字母行列式適用。字母行列式適用。3.降階法降階法利用性質(zhì)，將某行利用性質(zhì)，將某行(列列)的元盡能夠化為的元盡能夠化為0，然后按行，然后按行(列列)展開展開.階階n階階1 n 階階2此法靈敏多變，易于操作，是最常用的手法。此法靈敏多變，易于操作，是最常用的手法。一一.方法方法*4. 遞推公式法遞推公式法 (見附錄見附錄1)*5、數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)學(xué)歸納法 (見附錄見附錄2)*6. 加邊法升階加邊法升階(見附錄見附錄3)二、特征二、特

3、征1. 奇數(shù)階反對稱行列式奇數(shù)階反對稱行列式 的值為零。的值為零。 . 階數(shù)不算高的數(shù)字行列式，可化為三角形行階數(shù)不算高的數(shù)字行列式，可化為三角形行列式或結(jié)合展開定理計算列式或結(jié)合展開定理計算. 非零元素很少的行列式，可直接用定義或降階法。非零元素很少的行列式，可直接用定義或降階法。一些特殊行列式的計算包括一些重要結(jié)果一些特殊行列式的計算包括一些重要結(jié)果|ijaD 為對稱行列式j(luò)iijaa 例例是對稱行列式是對稱行列式432320201 |ijaD 為反對稱行列式j(luò)iijaa )0( iia必有必有例例032301210 是反對稱行列式是反對稱行列式032301210 不是反對稱行列式不是反對

4、稱行列式兩種重要行列式兩種重要行列式加到加到P.17例例 P.17證明奇數(shù)階反對稱行列式的值為零。證明奇數(shù)階反對稱行列式的值為零。證證0000321323132231211312nnnnnnaaaaaaaaaaaaD 轉(zhuǎn)置0000321323132231211312nnnnnnaaaaaaaaaaaa 0000)1(321323132231211312nnnnnnnaaaaaaaaaaaa 1各行提Dn)1( 當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時有為奇數(shù)時有 DD 0 D例例), 2 , 1, 0(000000000221112101niaacacacbbbbaDinnnnn 11llaciii nnnniiiia

5、aabbbbbaca0000000000002112110 nniiiiaabaca110)( 2. “箭形行列式箭形行列式 化成三角形行列式化成三角形行列式如如:練習(xí)冊練習(xí)冊P.2 6(2)題題axxxxxaxxxxxaxxxxxx 4321432143214321例例)1( NoImageaaaxxxx 0000000004321另外：見另外：見P.21例例6, P.4118題題3. 除對角線以外各行元素對應(yīng)一樣除對角線以外各行元素對應(yīng)一樣,可化成三角形行可化成三角形行列式或箭形行列式列式或箭形行列式13xa axxxxaxxxxaxxxxxD 43243243243211111另另aaa

6、x 001001001000114 , 3 , 21 illxiib 可化箭形行列式可化箭形行列式例例 P.43 25題是題是x,yabbababaD000000000000 n階按按第第一一列列展展開開abababaa0000000000000n-1階bababbn0000000)1(1 n-1階nnnba1)1( 某行列至多有兩個非零元素的行列式，可某行列至多有兩個非零元素的行列式，可用降用降 階法或定義或遞推公式法或歸納法階法或定義或遞推公式法或歸納法5. 各行各行(列列)總和相等的行列式總和相等的行列式 (趕鴨子法趕鴨子法)例例 計算行列式計算行列式(P.20 a 換為換為y)xyyy

7、yyxyyyyxDn xyyynxyyxynxyyyynx)1()1()1( ), 3 , 2(1nilli ),.,3 ,2(1nirri xyyyyxyyyynx111)1( yxyxyyyynx 0000001)1(1)(1)1( nyxynx1)()1( nyxynx*或或 y 乘第乘第1列加到后面各列：列加到后面各列： yxyxynx 0010010001)1(*例如例如 (P.39 12(6) 、(7)，P.40 15(3),P.44 27 如：如：P.41 18, P.42 19, 20(2)、(3) 1列列(行行)“1的巧妙利用的巧妙利用6 范德蒙范德蒙(Vandermonde

8、)行列式重要結(jié)果行列式重要結(jié)果).2( n113121122322213211111 nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxV nijjixx1)()()()(111141312xxxxxxxxxxnn )()(2212423xxxxxxxxnn )()(33134xxxxxxnn )(221 nnnnxxxx)(1 nnxx121323312222112111111 nnnnnnnTnxxxxxxxxxxxxV8421641641279311111 V例例 計算行列式計算行列式12 )()()()(342423141312xxxxxxxxxxxx )42()32)(34()12)(14)(

9、13( 解解 V是是 的范德蒙行列式，的范德蒙行列式，2, 4, 3, 14321 xxxx故故8421641641279311111 V注：注： 顯然，范德蒙行列式顯然，范德蒙行列式 0nV.21互互不不相相同同，nxxx_01641641279318421)(32 xxxxxf的的根根練習(xí)冊練習(xí)冊P.6：12張. 0 njiVxx若某若某xxxxx 43214324 , 3 , 23142281232 D將一不含將一不含的非零元素化成零，某行能夠的非零元素化成零，某行能夠會出現(xiàn)公因子，提公因子，可降次。會出現(xiàn)公因子，提公因子，可降次。322rr 1220281232 7. 部分對角線上含參

10、數(shù)的行列式部分對角線上含參數(shù)的行列式例例 為何值時為何值時,D=0? 120281232)1( 2)3)(1( . 031 D時時或或即即得得 附錄附錄1. 遞推公式法遞推公式法特征：某行列至多有兩個非零元素。特征：某行列至多有兩個非零元素。方法：按此行列展開，能夠會導(dǎo)出遞推公式。方法：按此行列展開，能夠會導(dǎo)出遞推公式。qpDDnn 11 ）：）：形式（形式（212 nnnqDpDD）：形形式式（例例1(另見另見A26)12210100000100001 nnnaxaaaaxxxD按第一行展開好，還按第一行展開好，還是按第一列展開好？是按第一列展開好？按第一列展開按第一列展開122110000

11、0001 nnaxaaaxxxx1000010001)1(10 xxann-1階1101)1()1( nnnaxD01axDn 01axDDnn 由此得遞推公式：由此得遞推公式：因此有：因此有：12211100000001 nnnaxaaaxxxD01201)(aaxDxaxDDnnn 0122axaDxn 01232axaaxDxn 012233axaaxDxn 013322axaaxDxnnn 2121221 nnnnaxaxaxaxD而而D2=?012211axaaxaxxDnnnnnn 于于是是得得：解法解法2：從最后一列開場每列乘以：從最后一列開場每列乘以x加到前一列，再按第一列展開

12、。加到前一列，再按第一列展開。例例2 210000121000012000000210000121000012 nD按第一行展開按第一行展開12 nD212 nnDD按第一列展開按第一列展開210000121000012000000210000120000011 由此可得遞推公式：由此可得遞推公式：212 nnnDDD211 nnnnDDDD因此有因此有 12DD 又由于又由于321122 D221 D故故11 nnDD那那么么.1 nDn遞推公式法的遞推公式法的 步驟：步驟：1. 降階，得到遞推公式；降階，得到遞推公式；2. 利用高中有關(guān)數(shù)列的知識，求出行列式利用高中有關(guān)數(shù)列的知識，求出行列

13、式 。nD技巧！附錄附錄2、數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)學(xué)歸納法例例 證明范德蒙證明范德蒙(Vandermonde)行列式行列式).2( n113121122322213211111 nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxV nijjixx1)()()()(111141312xxxxxxxxxxnn )()(2212423xxxxxxxxnn )()(33134xxxxxxnn )(221 nnnnxxxx)(1 nnxx證明證明(數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法)時時，有有當(dāng)當(dāng)2 .1 n2111xx12xx ，結(jié)論成立。，結(jié)論成立。立立。階階范范德德蒙蒙行行列列式式結(jié)結(jié)論論成成假假設(shè)設(shè)對對于于1 . 2 n成成立

14、立。階階范范德德蒙蒙行行列列式式結(jié)結(jié)論論也也下下證證對對 n倍倍，則則行行的的行行開開始始，逐逐行行減減去去上上一一中中從從第第在在1xnVn)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxVnnnnnnnnn 按第按第1列展開列展開)()()()()()(1213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn )()(11312xxxxxxn 223222232232111 nnnnnnxxxxxxxxx根據(jù)歸納假設(shè)有：根據(jù)歸納假設(shè)有：)()(11312xx

15、xxxxVnn nijjixx2)( nijjixx1)(綜上所述，結(jié)論成立綜上所述，結(jié)論成立 。)2( n階階1 n附錄附錄3. 加邊法升階加邊法升階要點：將行列式加一行一列，利用所加的一行要點：將行列式加一行一列，利用所加的一行列元素列元素 ，將行列式化成三角形行列式。，將行列式化成三角形行列式。mxxxxmxxxxmxDnnnn 212121例例9 用加邊法計算用加邊法計算mxxxxmxxxxmxxxxnnnn 212121210001n+1階還可用趕鴨子法！還可用趕鴨子法！將第將第1行的行的(-1)倍分別加到第倍分別加到第2行，第行，第3行，行，.，第，第n+1行得：行得：mmmxxx

16、Dnn 001001001121(1) 假設(shè)假設(shè)m=0，那，那么么 1011nnxDn，若若0 )2( m列列：后后加加到到第第列列都都乘乘以以、列列、列列、中中第第將將11132mnDn n+1階“箭形行列式箭形行列式從加邊前的從加邊前的Dn 得出得出mmmxxxmxDnniin 0000000001211)1()(1 niinmxm)()1(11 niinnxmm 綜合練習(xí)題2. 用多種方法計算以下行列式用多種方法計算以下行列式155164102098474050 D(2).1112222bbaababaD (3). (1).111132322332xxxxxxxxxxxxD _,. 11

17、121的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為則則的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為已知排列已知排列iiiaii innn 3. 計算行列式計算行列式nnnnmmmmbbbbaaaaC11111111 設(shè)設(shè)m階行列式階行列式|A|=a, n階行列式階行列式|B|=b, CBA則,00*4. 計算行列式計算行列式,347534453542333322212223212)( xxxxxxxxxxxxxxxxxf設(shè)設(shè)的的根根的的個個數(shù)數(shù)。求求方方程程0)( xf 綜合練習(xí)題解答_,. 11121的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為則則的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為已知排列已知排列iiiaii innn ann 2)1(因此因此,2)1()()(1121 nn

18、iiiNii iNnnn)(2)1()(2111nnnii iNnniiiN 由于由于: 對于任何兩個數(shù)碼對于任何兩個數(shù)碼 ,在一陳列中要么構(gòu)在一陳列中要么構(gòu)成逆序成逆序,要么不構(gòu)成逆序要么不構(gòu)成逆序.kjii ,如如:2)13(321)231()132( NN2. (1)解法一：解法一：化成三角形行列式化成三角形行列式155164102098474050 D15516410204050984721 rr15516410204050932361214 rr解法二：把解法二：把 化成化成0, 再按第三行展開再按第三行展開32a45161500217849005441 ll解法三：解法三：9457

19、8215445161578490021005432 rr155164102098474050 D(2).計算行列式計算行列式1112222bbaababaD 解法一：解法一：解法二：解法二：112)(2bbaba 3)(ba )(ab 按第一列展開，各行提按第一列展開，各行提3)(ba 留意：假設(shè)按圖示法計算不易化簡。留意：假設(shè)按圖示法計算不易化簡。11020)(,2221312bbababballll D111)(20)()(0,213223abababababarrarra D111132322332xxxxxxxxxxxxD (3). 解法一解法一)(3x )(2x )( x 4546254321000100101xxxxxxxxxxxx 34)1(x 111132322332xxxxxxxxxxxx解法二解法二:用趕鴨子法用趕鴨子法,提公因子提公因子11111