第一講圓的定義和基礎(chǔ)性質(zhì)xs

1、第一講知識點一、圓的定義及有關(guān)概念的定義和基礎(chǔ)性質(zhì)1、圓的定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。2、有關(guān)概念：弦、直徑；弧、等弧、優(yōu)弧、劣弧、半圓；弦心距；等圓、同圓、同心圓。 圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。連接圓上任意兩點間的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的 弦叫做直徑，直徑是最的弦。在同圓或等圓屮，能夠重合的兩條弧叫做等弧。例1、已知矩形abcd的邊ab=6, ad=8.如果以點a為圓心作oa,使b, c, d三點巾在圓內(nèi) 和在圓外都至少有一個點，那么oa的半徑r的取值范圍是()例2、如圖，00的半徑oa、0b分別交弦cd與點e、f,且ce=df。求證：a0ef是等腰三

2、角形。例3、如圖，圓柱形水管內(nèi)原有積水的水平面寬cd=20cm，水深gf=2cm.若水面上升2cm (eg=2cm),則此時水面寬ab為多少?知識點二、點、直線、圓與圓的位置關(guān)系判斷1、點在圓內(nèi)=>d<r=>點c在圓內(nèi)2、點在圓上=>d = r=>點b在圓上3、點在圓外=>d>r=>點a在圓外點與圓的位置關(guān)系c直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離$2、直線與圓相切=>3、直線與圓相交=>d> r 無交點; d-r 有一個交點; d<r =>有兩個交點;圓與圓的位置關(guān)系外離（圖1） 外切（圖2） 相交（圖3） 內(nèi)切（圖4

3、） 內(nèi)含（圖5）=> 無交點 =>有一個交點有兩個交點 =>有一個交點 => 無交點=>=>=>=>/>/? + r ；d = r + r ，r-r<d <r + r；d = r-r ；d < r-r ；例4、中，直角邊afl = 3 , bc = 4，點e，f分別是sc，ac的中點，以點a為圓心，的長為半徑畫圓，則點£在圓a的,點f在圓a的.解題思路：利用點與圓的位置關(guān)系，答案：外部，內(nèi)部知識點三：圓的基本性質(zhì)1、圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。2、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦

4、所對的弧。垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦對的弧。3、圓具有旋轉(zhuǎn)對稱性，特別的圓是屮心對稱圖形，對稱屮心是圓心。圓心角定理：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那 么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。4、圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。圓周角定理推論1:在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等。圓周角定理推論2:直徑所對的圓周角是直角；9 0°的圓周角所對的弦是直徑。例5、如圖，ab是©0的直徑，點c、d在o0上，zb0d=110° , ac/0d,則za0c的度數(shù)a. 70°

5、;b. 60°c. 50°d. 40°例6:弦心距是弦的一半時，弦與直徑的比是，弦所對的圓心角是例7:如圖，己知以點0為公共圓心的兩個同心圓，大圓的弦ab交小圓于c、d.(1) 求證:ac=db；(2) 如果ab=6 cm，cd=4 cm,求圓環(huán)的ifif積.例8:如圖所示，ab是00的弦（非直徑），c、d是ab上的兩點，并且ac=bd.求證：0c=0d.例9:如圖，©0的直徑ab和弦cd相交于點e,己知ae=6 cm, eb=2 cm, zcea=30a ,求 cd的長.例10:如圖，ab是©0的直徑，cd是弦，ae丄cd,垂足為e, bf丄

6、cd,養(yǎng)足為f,我們知道ec和df相等.若直線ef平移到與直徑ab相交于p(p不與a、b重合)，在其他條件不變的 情況下，結(jié)論是否依然成立？為什么？當(dāng)ef/ab時，情況又怎樣？思路分析：考查垂徑定理及三角形、梯形相關(guān)知識.可適當(dāng)添加輔助線.知識點四：垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論1: (1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?2) 弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；(3) 平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧，以上共4個 定理，簡稱2推3定理：此定理屮共5個結(jié)論屮，只要知道其屮2個即可推出某它3個結(jié)論

7、, 即：如是直徑仙丄cdce=de弧fic二弧fid弧ac二弧ad中任意2個條件推出其他3個結(jié)論。推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在中，v ab / cd：.ac bd例11、00的直徑為50 cm,弦ab/cd,且ab=40 cm, cd=48 cm,求弦ab和cd之間的距尚.例12:已知：在00屮，弦ab=12cm, 0點到ab的距離等于ab的一半，求：zaob的度數(shù)和圓的半徑。例13:如閣所示，在兩個同心圓屮，大圓的弦ab，交小圓于c、d兩點，設(shè)大圓和小圓的半 徑分別為a，b。求證：ad bd = a2 b2例14:如圖所示，以0為圓心，za0b=120° ,弓形髙nd

8、=4cm,矩形efgh的兩頂點e、f n在弦ab上，h、g在a打上，且ef=4he,求he的長。d知識點五：圓的內(nèi)接多邊形正多邊形和圓中心正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長之間的關(guān)系.正多邊形的巾心：所有對稱軸的交點；正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑。正多邊形的邊心距：正多邊形內(nèi)切圓的半徑。正多邊形的屮心角：正多邊形每一條邊所對的圓心角。正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個全等的等腰三角形，每個等腰三角形又被相應(yīng)的邊 心距分成兩個全等的直角三角形。圓內(nèi)正多邊形的計©(1)正三角形在qo中a/ibc是正三角形，有關(guān)計算在中進(jìn)行：od.bd.ob = 'y5.2;同理，四邊形

9、的有關(guān)計算在沁似£中進(jìn)行，=(3)正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計算在巾進(jìn)行，：ob:oa = 1：v3:2例15:如圖，oo是正六邊形abcdef的外接圓，oo的半徑是2,則正六邊形abcdef的而積為例16、如圖，在直徑為ab的半圓內(nèi)，畫出一個三角形區(qū)域，使三角形的一邊為ab，頂點 c在半圓周上，其它兩邊分別為6和8,現(xiàn)要建造一個內(nèi)接于aabc的矩形建筑物defn, 其巾de在ab上，設(shè)計方案是使ac=8, bc=6.(1) 求aabc中ab邊上的高h(yuǎn);(2) 設(shè)dn=x，當(dāng)x取何值時，建筑物defn所占區(qū)域的而積最大？(3) 實際施工時，發(fā)現(xiàn)在ab邊上距b點1.85的k處有一處文物

10、，問：這處文物是否位 于最大建筑物的邊上？如果在，為保護文物，請設(shè)計出你的方案，使?jié)M足條件的內(nèi)接三角形 中欲建的最大矩形建筑物能避開文物.例1 7、如閣0a、0巳、0c都是圓0的半徑，za0b=2zb0c.若zbac=30°,則zac巳的度數(shù)是（)例1 8、如圖，mn是oo的直徑，mn=2,點a在oo上，zamn=30°, b為弧an的 中點，p是直徑mn上一動點，則pa+pb的最小值為（）第二講的性質(zhì)的拓展一、知識要點：1. 切線概念切線是在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的度，“切線長”是 切線上一條線段的長，具有數(shù)量的特征，而“切線”是一條直線，它不可以

11、度量長度。2. 切線長定理對于切線長定理，應(yīng)明確（1）若已知圓的兩條切線相交，則切線長相等；（2）若已知 兩條切線平行，則圓上兩個切點的連線力直徑；（3）經(jīng)過圓外一點引圓的兩條切線，連結(jié)兩 個切點可得到一個等腰三角形：（4）經(jīng)過圓外一點引圓的兩條切線，切線的夾角與過切點的 兩個半徑的夾角互補；（5）圓外一點與圓心的連線，平分過這點向圓引的兩條切線所夾的角。a3. 弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角。4. 弦切角定理：弦切角等于其所夾的弧所對的圓周角。5. 弄清和圓有關(guān)的角：圓周角，圓心角，弦切角，圓內(nèi)角，圓外角。6. 遇到圓的切線，可聯(lián)想“角”弦切角，“線”切線的性質(zhì)定理及切

12、線長定理。7. 與圓有關(guān)的比例線段定理圖形已知結(jié)論證法相交弦定理a&oo 中，ab、cd 為弦，交于p.pa pb = pc pd連結(jié)ac、bd，證:aapcadpb.相交弦定理的推論czi©0中,ab為直徑，cd丄ab于p.pc2=pa pb.用相交弦定理.d切割線定理00 屮，pt 切00于t,割線pb交g)0于apt2 = pa pb連結(jié)ta、tb，證:aptbapat切割線定理推論多pb、pd為©0的兩條割線，交00于八、cpa pb=pc pd過p作pt切oo于t，用兩次切割線定理©0巾，割線pb交00于a，cd為pc pd=r2-op2延長po

13、交o0于m,延長0p交o0于n，用圓冪定理t弦pa - pb=op2-r2r為oo的半徑相交弦定理證；過p作切線用切割線定理勾股定理證8. 圓冪定理：過一定點p向©0作任一直線，交o0于兩點，則自定點p到兩交點的兩條線段之積為常數(shù)(r為圓半徑)，因為op®-叫做點對于0()的冪，所以將上 述定理統(tǒng)稱為圓冪定理。二、典型例題例1.如圖1,正方形abcd的邊長為1，以bc為直徑。在正方形內(nèi)作半圓0,過a作半圓切線, 切點為f,交cd于e,求de: ae的值。cm例2. 00屮的兩條弦ab與cd相交于e,若ae = 6cm，be = 2cm，cd = 7cmj|、ce=a例3.己

14、知pa是圓的切線，pcb是圓的割線，則%例4.如圖3, p是00外一點，pc切©0于點c, pab是00的割線，交00于a、b兩點，如 果pa: pb=1： 4, pc=12cm, 00的半徑為locin，則圓心0到ab的距離是cmo例5.如圖4, ab為©0的直徑，過b點作00的切線bc, 0c交o0于點e, ae的延長線交bc；(2)若ab=bc=2厘米，求ce、cd的長。于點d, (1)求證:as2 = cd cfla點撥：有切線，并需尋找角的關(guān)系時常添輔助線，為利用弦切角定理創(chuàng)造條件。例6.如圖5, ab為00的直徑，弦cd/ab, ae切00于a,交cd的延長線于e。例7.如圖6, pa、pc 切00 于 a、c，pd