導(dǎo)數(shù)中含參數(shù)問(wèn)題與恒成立問(wèn)題的解題技巧

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載函數(shù)、導(dǎo)數(shù)中含參數(shù)問(wèn)題與恒成立問(wèn)題的解題技巧與方法含參數(shù)問(wèn)題及恒成立問(wèn)題方法小結(jié)：1、分類(lèi)討論思想2、判別法3、分離參數(shù)法4、構(gòu)造新函數(shù)法一、分離討論思想：例題 1： 討論下列函數(shù)單調(diào)性：1、 f x = axa, a 0, a 1 ; 2、 f x =bx( 1 x 1, b 0)2x1二、判別法例 2：已知不等式 (a2) x 22( a2) x4 0 對(duì)于 x恒成立，求參數(shù)a 的取值范圍解：要使 (a2) x 22(a2) x40 對(duì)于 x恒成立，則只須滿(mǎn)足：a 20a20（ 2） 2(a2) 0（ 1）2) 216(a2)0或4(a40解（ 1）得a2，解（ 2） a

2、參數(shù) a 的取值范圍是 a2a2練習(xí) 1. 已知函數(shù)ylgx2(a1)xa2 的定義域?yàn)椋髮?shí)數(shù) a 的取值范圍。R三、分離法參數(shù)：分離參數(shù)法是求參數(shù)的取值范圍的一種常用方法，通過(guò)分離參數(shù)，用函數(shù)觀點(diǎn)討論主變量的變化情況，由此我們可以確定參數(shù)的變化范圍 . 這種方法可以避免分類(lèi)討論的麻煩，從而使問(wèn)題得以順利解決 . 分離參數(shù)法在解決有關(guān)不等式恒成立、不等式有解、函數(shù)有零點(diǎn)、函數(shù)單調(diào)性中參數(shù)的取值范圍問(wèn)題時(shí)經(jīng)常用到 . 解題的關(guān)鍵是分離出參數(shù)之后將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或值域問(wèn)題 . 即：（ 1）對(duì)任意 x 都成立 mfx min（ 2）對(duì)任意 x 都成立。例 3已知函數(shù)( )42,(0,4時(shí)

3、恒成立，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍。f xaxxxxf ( x) 0學(xué)習(xí)必備歡迎下載解： 將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 a4xx 2對(duì) x(0,4恒成立，令 g( x)4x x 2，則xxa g( x) min 由 g (x)4xx 241 可知 g( x) 在 (0,4上為減函數(shù)，故xxg( x) min g(4) 0 a 0 即 a 的取值范圍為 ( ,0) 。注：分離參數(shù)后，方向明確，思路清晰能使問(wèn)題順利得到解決。例 4已知函數(shù) f ( x)x 22xa , x1,) ，若對(duì)任意 x1,) ， f ( x)0 恒成立，x求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。（答案 a3）例題 5.已 知 函 數(shù) f xln x ， g x

4、1 ax 2bx， a 0 . 若 b2 ， 且2h xfxg x 存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a 的取值范圍；解：當(dāng) b2時(shí),h x) lnx1 ax 22x. ，則 h ( x)1ax 2 2x1(2xax 2.x因?yàn)楹瘮?shù) hx存在單調(diào)遞減區(qū)間， 所以 h (x)0有解.由題設(shè)可知 , h x的定義域是 0,而 hx0在 0,上有解 , 就等價(jià) hx0 于在區(qū)間 0,能成立 ,即 a12,x0,成立 ,進(jìn)而等價(jià)于 auminx 成立 , 其中 u x12 .x2xx2x1212由 u x11得, u minx1. 于是 , a1,x 2xx由題設(shè) a0 , 所以 a的取值范圍是1,00,例 6 已

5、知 f ( x)2x2ax2a 在 1,) 上是單調(diào)遞增函數(shù)，求 a 的取值范圍 .2 x解 f ( x)xaa ， f ( x) 1a. 又 f ( x) 在 1,) 上是單調(diào)遞增函數(shù)，x2x2 f (x)0. 于是可得不等式 ax2 對(duì)于 x1 恒成立 . a ( x 2 )max . 由 x1，得x21. a1 .學(xué)習(xí)必備歡迎下載四、構(gòu)造法：利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化的思路一般如下：f ( x) g( x) ? F( x) f ( x) g( x) 0? F( x)min 0，f ( x) g( x) ? F( x) f ( x) g( x) 0? F( x)max0.例題 7 設(shè) fx = ln x ， g( x)fx + f ' ( x) 。（1）求 g( x) 的單調(diào)區(qū)間和最小值； （ 2）討論 g( x) 和 g( 1 ) 的大??；（ 3）求 a 的取值范圍，x1使得 g(a)g ( x) <,對(duì)任意的x0 成立。a例題 8：求證：當(dāng)x0 時(shí)， xln(1x)例題7：答案：(1) 減區(qū)間：(0