控制工程基礎(chǔ)第2章答案

1、控制工程基礎(chǔ)第2章答案第2章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(習(xí)題答案)2.1什么是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？常用的數(shù)學(xué)模型有哪些？解：數(shù)學(xué)模型就是根據(jù)系統(tǒng)運動過程的物理、化學(xué)等規(guī)律，所寫出的描述系統(tǒng)運動規(guī)律、 特性、輸出與輸入關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式。常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間 模型等。2.2什么是線性系統(tǒng)？其最重要的特性是什么？解：凡是能用線性微分方程描述的系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的一個最重要的特性就是 它滿足疊加原理。2.3圖(題2.3)中三圖分別表示了三個機械系統(tǒng)。求出它們各自的微分方程,圖中xi表示輸入位移,Xo表示輸出位移，假設(shè)輸出端無負載效應(yīng)。/!<F>n.題圖2.3解：圖(a):由

2、牛頓第二運動定律，在不計重力時，可得整理得占+ Q +廚竺=卿空f曠dt dt將上式進行拉氏變換，并注意到運動由靜止開始，即初始條件全部為零，可得亦七品丄I：u C、于是傳遞函數(shù)為Xo(s)Cl一 mfS + <7 十田圖(b):其上半部彈簧與阻尼器之間，取輔助點 A，并設(shè)A點位移為x，方向朝下； 而在其下半部工。引出點處取為輔助點B。則由彈簧力與阻尼力平衡的原則，從A和B兩點可以分別列出如下原始方程：消去中間變量x，可得系統(tǒng)微分方程c<Ki + 4 KiK2xo = K/c-didi對上式取拉氏變換，并記其初始條件為零，得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為圖(c):以 的引出點作為輔助點，根據(jù)力的平

3、衡原則，可列出如下原始方程:XVKl（Xi - A+）卜 cG兒 M）= K-XO移項整理得系統(tǒng)微分方程dxo .、 dxic +(K1 + R/xq = c卜 Kixi(ltdt對上式進行拉氏變換，并注意到運動由靜止開始，即b(0)= xo(0) = 0則系統(tǒng)傳遞函數(shù)為+ A7人7 何懾 + (A7 4- K：)2.4試建立下圖(題圖2.4)所示各系統(tǒng)的微分方程并說明這些微分方程之間有什么特點， 其中電壓U,t)和位移X,t)為輸入量；電壓(t)和位移Xc(t)為輸出量；k,kj和k?為彈簧彈性系數(shù)；f為阻尼系數(shù)。CRi0-Xr(t)Ur(t)R2(c)Uc(t)Xc(t)(b)題圖2.4解

4、 : (a)方法一：設(shè)回路電流為i，根據(jù)克?；舴蚨?，可寫出下列方程組:Ur消去中間變量，整理得:方法二:Uc(s)U,S)RR CsUcCRidtUcRC叫dtRCsRCs 1UcRCdUdtRC叫dtRC叫dt(b)由于無質(zhì)量，各受力點任何時刻均滿足則有:f dXc k dTXcf dxr7 dt1(c)Uc(s)'、2 CSCsR2R2Cs 1Ri R2 Cs 1dUc(R1 R2)%UcR2Cdurdt Ur(d)設(shè)阻尼器輸入位移為Xa，根據(jù)牛頓運動定律，可寫出該系統(tǒng)運動方程ki(Xr Xc)k2(Xc Xa)k2(Xr Xa)f些dt&k2 f dXck1k2dtXc

5、f dXr k2 dtXr結(jié)論：(a)、(b)互為相似系統(tǒng)，(c)、(d)互為相似系統(tǒng)。四個系統(tǒng)均為一階系統(tǒng)2.5試求下圖(題圖2.5)所示各電路的傳遞函數(shù)(a)RiUr(t)RiCiR2Uc(t)iTcnHT3BrRlX17-tzfvc u(b)Uc(t)(d)-OO -(c)題圖2.5【解】:可利用復(fù)阻抗的概念及其分壓定理直接求傳遞函數(shù)(a)Uc(s)Ur(s)(ROLs CsR1 (氏)Ls2LCR2S22(R R>)LCs (RRC L)s R1(b)Uc(s)R1C1s2R1R2C1C2s(RGR2C2)s 1(c)Ur(s)1%)R21C2s2R R2C1 C2s(RGR2C

6、2R1C2 )sUc(s)Ur(s)1/(R>Ls)Cs ' 1R(F2Ls)csR2 Ls2RLCs (R1R2C L)s R R2(d3Ur(S)(R )/RC2SCisR11(R )/ R(R )/RR C1SC2SC1SC2SC1S2 2R C1C2S 2RC1S 122R C1C2S (2RC1 RC2)s 12.6求圖（題圖2.6）所示兩系統(tǒng)的微分方程。> 咼 代 At)/WV/Vmh題圖2.6解（1）對圖（a）所示系統(tǒng)，由牛頓定律有心-kv(t) - mi(i)（2）對圖（b）所示系統(tǒng)，由牛頓定律有M-fi v（r） = nrif其中kiktIfmES2.7求

7、圖（題圖2.7）所示機械系統(tǒng)的微分方程。圖中M為輸入轉(zhuǎn)矩，Cm為圓周阻尼，J 轉(zhuǎn)動慣量。圓周半徑為R，設(shè)系統(tǒng)輸入為M （即M（t），輸出為勺（即9（°）,題圖2.7解：分別對圓盤和質(zhì)塊進行動力學(xué)分析，列寫動力學(xué)方程如下:IM =./ 7/ + a叩 + Rli(R9 - X) I= mx+ gy消除中間變量x，即可得到系統(tǒng)動力學(xué)方程mj輕)+ 伽£用 + (R'km 十 Cm + */)#+"%? +承 + cM 丨劃(2.8求圖(題圖2.8)所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(f(t)為輸入，y2(t)為輸出) 解分別對】，進行受力分析，列寫其動力學(xué)方程有I 5&

8、;2一力)-上旳=皿1丹對上兩式分別進行拉氏變換有F-czsY2(s) s必0) - 丫1(刀=mzs2Yz(s)(:再“2-珀-弘二肌詳?shù)南?：得F2(s)mts2 A-cxs + kG (賢)=F(巧 rrijms4 + 皿±5 4- m (c； + “)2 + (陽* 十 GsW + (ci + c2)s2.9若系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖如圖(題圖2.9)所示,求：(1) 以R(s)為輸入，當(dāng)N(s) = 0時，分別以C(s)，丫(s)， B(s), E(s)為輸出的閉環(huán)傳遞 函數(shù)。 以N(s)為輸入，當(dāng)R(s) = 0時，分別以C(s)，Y(s)，B(s)，E(s)為輸出的閉環(huán)傳遞

9、函比較以上各傳遞函數(shù)的分母，從中可以得出什么結(jié)論題圖2.8題圖2.9解（1）以、為輸入，當(dāng)N“）=0時：若以C（，J為輸出,（S）-磯* = I + 6佔）血（&泗若以丫為輸出，有r（s）G（s）若以B（、）為輸出,有若以 E（Q為輸出，有 :?:嚇.麗.可丁豐尺（2）以、為輸入，當(dāng)R（、）=0時:若以C（'J為輸出，有Gc (v)C(r二麗=皿）若以丫（"為輸出,y(s) - Gi(s)G2Cj)W(s)二- I + g欣M若以BG）為輸出,?。?j（s）G2（j）n（o若以EC）為輸出,E（s）- Gi（s）/r（s）G+W 二盹丁二I +心心）島磯町（3）從上可

10、知：對于同一個閉環(huán)系統(tǒng)，當(dāng)輸入的取法不同時，前向通道的傳遞函數(shù)不同，反饋回路的傳遞函數(shù)不同，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)也不同，但系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分母保持不 變，這是因為這一分母反映了系統(tǒng)的固有特性，而與外界無關(guān)2.10求出圖(題圖2 .10)所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)X°(S)/Xj(S)題圖2.10H4G4Xo(s)解方法一：利用公式（231）,可得GIC2G3G4gu(s)=xi)-l - G1G2GG*旳 + GG2GH2 G2G"iH 1 + G3G4H4方法二：利用方框圖簡化規(guī)則，有圖（題）廠3)Gu(s)=陰:1 - GiG2G3GH3 + G1G2G3H2 - G2G3H1 + &

11、amp;3G4/Y42.11求出圖（題圖2 .11）所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)X°（S）/Xj（S）解根據(jù)方框圖簡化的規(guī)則，有圖（題 ）A0(s)麗題圖2.11Xi(s)2.12圖（題圖2 .12）所示為一個單輪汽車支撐系統(tǒng)的簡化模型。g代表汽車質(zhì)量，B代表振動阻尼器，心為彈簧，m2為輪子的質(zhì)量，K2為輪胎的彈性，試建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。題圖2.12問題2質(zhì)點振動系統(tǒng)。這是一個單輪汽車支撐的簡化模型。代表汽車質(zhì)量，B代表振動阻尼器,系統(tǒng)為彈移系簧,m2為輪子的質(zhì)量,為輪胎的彈性，建立質(zhì)點平統(tǒng)數(shù)學(xué)模型解答：d2x1 fdxr dxAmidF = 耳股K1E 尤 2)dX2dx2 dxy陽麗三旳)

12、.“Gr W丿 Kl (竝-翻沖拉氏變換:missis') =- BsXi(s) -Xa(s)J - KiXi(s) - X2(s)mzs2X2(s) = F(s) - BsX2(s) - Xa(s) - KiXz(s) -Xi(s) - K2Xj(s)(mis2 + Bs + Ki) Xi(5)- (Bs 十 /<i)Xa(5)= 0 -(Fs + Ki)Xi(s) + mzs2 + Fs+(Ki + Kz)X2(s) = F嚴(yán)_+ KiF miniz4 /?(mi + m2) + (/Cimi + Km2 K2mi)v2 + K2K5 + K1K2阻mis2 + Ss + K

13、i/nim曲 * R(mi 匸皿耳戸 + (Kum + Kim? + K効i)H + K沾占 + K1K22.13液壓阻尼器原理如圖（題圖2.13）所示。其中，彈簧與活塞剛性聯(lián)接，忽略運動件的慣性力，且設(shè)Xi為輸入位移，X。為輸出位移，k彈簧剛度，c為粘性阻尼系數(shù)，求輸出與輸入之間的傳遞函數(shù)。題圖2.13解:經(jīng)拉氏變換后有解得傳遞函數(shù)為kx。(t)dcXi(t)dtXo(t)kXo(s)csXi(s)Xo(s)G(s)Xo(s)TsXi(s)Ts 1式中，T RC為時間常數(shù)2.14由運算放大器組成的控制系統(tǒng)模擬電路圖如圖（題圖2.14）所示，試求閉環(huán)傳遞函數(shù)Uc（S）/U,S）C1題圖2.14

14、解：="=-一=U.（s） + U/s） 肘 襯 仏 V j式（1）（2）（ 3）左右兩邊分別相乘得叫|師=_冊碼即切+ SG） 對S3對= 1 + = 久Z聲廚2仏Z互旳所以：w=石碩；一1R 1Ts + 1C2sRz1R(i + =77；R07+ lC2s L2.15某位置隨動系統(tǒng)原理方塊圖如圖(題圖2.15)所示。已知電位 器最大 工作角 度max 330°，功率放大級放大系數(shù)為K3，要求：(1) 分別求出電位器傳遞系數(shù)K°、第一級和第二級放大器的比例系數(shù)心和K2 ；(2) 畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖；(3) 簡化結(jié)構(gòu)圖，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)o(s)/ i(s)；題圖2.15

15、位置隨動系統(tǒng)原理圖解：(1) 心=篇心= =3 «2 =窘=2(2) 2 “ 亠=:：；幾 r匸=y/= RJQ + Lnsfa(s) + Eb(s)Mm = CmZo(s)用叫+ 他二Mm (s) M 心矗)=航系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下:(3) 系統(tǒng)傳遞函數(shù)弘佝弘)=KqK、K?K、1 + s(Lj+RJ(/s + nsLas + Ra)(Js + /) + CniKbd丄K聲心心|月(辭 + n)Us + D1 * s(Las + Ra)(Js + f) + CkJ1 +佔心兀+RQs+門Cmb=siL.s + Rj(js m + CmKb VHKxK2Kn2.16設(shè)直流電動機雙閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)的原理圖如圖(題圖2.16)所示，要求：(1)分別求速度調(diào)節(jié)器和電流調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)；畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖(設(shè)可控電路傳遞函數(shù)為心/( 3S 1)；電流互感器和測速發(fā)電機的傳遞函數(shù)分別為K4和K5)；題圖2.16直流電動機調(diào)速系統(tǒng)原理圖解：(1)速調(diào)1Di uL Urr(s) ZiCi? RCis 1 Tis + 17?cTs= R = Tt 匚/?Cis流調(diào)U/.r(s)Z21肥+血R2C2S +1T2S + 1Usr(s