初中數(shù)學(xué)證明題常見輔助線作法及幾何規(guī)律

1、線、角、相交線，平行線規(guī)律L如果平面上有M應(yīng)2)個點，其中任何三點都不在同一直線上，那么每兩 點畫一條直線，一共可以畫出3日(1-1)條.規(guī)律工平面上的”條直線最多可把平面分成n(n十1)+1個部分口2裁律3.如果一條直線上有n個點，那么在這個圖形中共有線段的條數(shù)為'n(n-l)條立規(guī)律4.線段(或延長線)上任一點分線段為兩段， 這兩條線段的中點的距離等于線段長的一半，例；如圖，B在線段AC上，M是AB的中點，N是BC的中點。求證工MN - J AC；J證明:TM是的中點，N是LJC的中點二AM = BM= 1AB, BN = CN- |bC二MN = MB+BM= -AB+ - BC

2、 = -(AB + BC) 222二 MN =1 AC2規(guī)律S.有公其端點的n條射線所構(gòu)成的交點的個數(shù)一共有1Mn - 1)個，規(guī)律6.如果平面內(nèi)有n條直線都經(jīng)過同一點，則可構(gòu)成小于平角的角共有2n (n-1)個,規(guī)律工如果平面內(nèi)有n條直線都經(jīng)過同一點，則可構(gòu)成n (n-I)對對頂角. 規(guī)律&,平面上若有n(n>3)個點，任意三個點不在同一直線上,過任意三點作 三用形一共可作出,小 1)012)個口6規(guī)律9 ,互為鄰補角的兩個角平分線所成的角的度數(shù)為90%規(guī)律10.平面上有n條直線相交，最多交點的個數(shù)為:n(nIfN一規(guī)律11,互為補角中較小角的余角等于這兩個互為補角的角的差的一

3、半中內(nèi)錯角的規(guī)律12.當(dāng)兩直線平行時，同位角的角平分線互相平行, 角平分線互相平行，同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直.例；如圖，以下三種情況請同學(xué)們自己證明。規(guī)律13.已知ABDE,如圖1，規(guī)律如下;ZCDE - /BCD + /ABC規(guī)律14.成飛”字形的兩個三角形的一對內(nèi)角平分線相交所成的角等于另兩個內(nèi) 角和的一半.例：已知，BE、DE分別平分NABC和/ADC,若/a = 45) ZC= 55。，求/E的度數(shù).解；ZA+ ZABE =ZE+ ZADE Z C+ ZCDE =ZE+ZCBE 十得za+zabe+zc+zcde =/e+/ade+/e+/cbeYHE 平分 NARC t DE 平分

4、NADC,AZABE-ZCBE, ZCDE-ZADEA2ZE=ZA+ZCA ZE = 1(.ZA+ZC)'NA-45% NC=550/E=5(rI三角形部分規(guī)律1，在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如果直接證不出來，可連結(jié)兩點或延長某邊構(gòu)造三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再利用三邊關(guān)系定理及不等式性質(zhì)證題。例：如圖，已知D、E為ABC內(nèi)兩點，求證：AB+ACABD+DE + CE.A證法()：將DE向兩邊延長，分別交AB、AC于m* N在aAMN 中 T AM+ AN>MD-FDF + NF 在BDM 中，MB + MD>BD在ACEN 中，CN +

5、NEACE十十得AM + AN + MB + MD + CN + NOMD+DE+NE + BD + CE，AB十AC ABD十DE十CE證法（二）延長BD交AC于F,延長CE交HF于 G在AABF和和口口£中有. AB + AF>BD + DG + GF C1F + FTAGE + CT頌）G+GEADE二+有AB + AL +（力 +HC+D3 +GEAED+ D3 + 3卜+ 3E +卜 +。行/, AB + AOBD-hDF+CE注意！利用三鬲形三邊關(guān)系定理及推論證噩時，常通過引輔助線，把求證的量（或與求證有關(guān)的量）移到同一個或幾個三角形中去然后再證題.規(guī)律16.三角形

6、的一個內(nèi)角平分線與一個外角平分線相交所成的銳角,等于第三個內(nèi)角的一半。例：如圖.已知BD為AABC的角平分線，CI)為ABC的外角/ACE的平分線，它與BD的延長線交于D.求證：ZA=2ZD證明；CD分別是/ABC、/ACE的平分線； ZACE =2/1, /ABC =2Z2V ZA = Z ACE: /ABU二 NA-2/12/2又二上D=N -N21/A2/D 規(guī)律17 .三角形的兩個內(nèi)角平分線相交所成的鈍角等于9(T加上第三個內(nèi)龜?shù)囊话搿＠喝鐖D，BD、C口分別平分/ABC ZACR, 求證，NBDC=9(r+； NA證明：VBDv CD分別平分/ABC、ZACB/.ZA + 2Z1+2

7、Z2= 18011A2(Z1 + Z2>- 180”一 NA/ ZBDC= 1RO0-(ZH-Z2)A(Z1 + Z2)= 18A-/BDC 把3式代入式得 2(180°ZBEXr)= 18C°ZA即: 360- -2 BDCA2ZBDC - I8O'+ZAAZBDC = 90O+- ZA2規(guī)律18,三角形的兩個外角平分線相交所成的銳角等干9a減去第三個內(nèi)角的一半。例：如圖.UD、CD分別平分NEUC. N1KU, 求證:ZBDC=9tT證明：YRD、CD分別平分/EBC ZFCR，/EBC = 2/L ZFCB = 2Z2A2Z1 -ZA+ZACB 2Z2=

8、ZA+ZABC +得2 <ZI + Z2) =/A+/ARC+/ACR + /A 2 CN1 +/2) = 18(T'+ZA:.(Z1+Z2) -9(h'+- ZA2: ZBDC 18(T(Z1+Z2)，NBDC = 18<r-(900+ ； ZA)/BDC = 90"： ZA規(guī)律19,從三角形的一個頂點作高線和角平分線，它們所夾的角等于三角形另外 兩個角差(的絕對值)的一半。例工已知.如在AARC 中.A口_LHC 于 D,AE9平分NBACo求證；NEAD =證明二: AE平分/BAC二 ZBAE-ZCAE - ZBAC 2: / BAC = IX(F

9、-(/H + NOAZEAC= : ( 1804-(ZB + ZC)JVADJ_BCA ZDAC = 90° XCT NEAD = ZEAC-ZDAC，/FAD= - fl SO 一 (zfE+ ZC) -(90- ZC)7一=90。- - ( ZB+ /。- 9T+ ZC2士1(ZC-ZB)如果把AD平移可以得到如下兩國，F(xiàn)D-BC其它條件不變，結(jié)論為*EFD l(C-ZBk注意：同學(xué)們在學(xué)習(xí)幾何時I可以把自己證完的期進行適當(dāng)孌換,從而使自己通過解一道題掌喔一類題，提高自己舉一反三、靈活應(yīng)變的能力6規(guī)律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)向證明角的不等關(guān)系時，如果直接證不

10、出來.可連結(jié)兩點或延長某邊.構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形外角的位置上，小角處在內(nèi)角的位置上.再利用外隹定 理證題。例：已知D為ABC內(nèi)任一點.求證：ZBDOBAC證法（一）；延長RD交AC于E,VZBDC MAEDC 的外角,.二 ZBDC>ZDf-C同理：NDENBAC上 ZBDC>ZBAC證法（二）二連結(jié)AD,并延長交BC于F* N BDF是ARD的外角*J BDF>ZBAD同理/CDFA/CAD二 NBDF+'CLM A READ +/CAD即: BDOZBAC規(guī)律21.有角平分線時常在角兩邊裁取相等的線段，構(gòu)造全等三角形。例;已知，如圖，A力為AAHC

11、的中線且LI = /2, /3 = Z4,求證工be+cf>ef證明：在DA上截取DN二DB,連結(jié)NE, NF,則 DN = DC在aHDE和ANDE中，DN = DBZ1 = Z2ED 二 EDZ.ABDEANDEA BE = NE同理可證：CF = NF在EFN 中,EN + FNAEF.'.BE+CFAEF規(guī)律22.有以線段中點為端點的線段時，常加倍延長此線段構(gòu)造全等三角形。 例：已知，如圖，AD為aABC的中線，且N1=/2, /3=/4,求證：BE + CFAEF證明：延長ED到切，使DM = DE,連結(jié)CM、FM BDE 和ACDM 中,BD = CDZL= Z5ED

12、 = MDAABDEACDMACM = BE又；= Z3 = Z4/I +N2+N3 十 /4 = 18(TA Z3 +22n即 ZEDF = 90%: ZFDM = ZEDF = 90(hAFDF 和MDF 中ED = MDZI'DM = ZEDFDF = DFZ-AEDFAMDFAEF = MF在ZXCMF 中，CF+CM >MFBL + CF >Li+(此題也可加倍FD,證法同上)規(guī)律23在三角形中有中線時，常加倍延長中線構(gòu)造全等三角形。例：己知，如圖，AD為zSABC的中線，求證：AB + AO2AD證明；延長AD至E,使DE AD.連結(jié)HEVAD為ABC的中線，B

13、D-CD在AACD和ERD中B(3 = CDN1 = Z2AD = ED .ACDWAEBDVAABE 中有 AB + BE>AE/.AB + AO2AD規(guī)律24截長補短作輔助線的方法截長法：在較長的線段上栽取一條線段等于較短線段；補短法：延長較短線段和較長線段相等Q這兩種方法統(tǒng)稱截長補短法0當(dāng)已知或求證中涉及到線段H、b、c、d有下列情況之一時用此種方法;a >b h±b = ca±b - c±d例；已知，如圖，在AABC中.AHAAC. /】=/2, p為人011上任一點，求證：AB-ACapr-p證明：（I）截長法；在AB上截取AN-AC,連結(jié)P

14、N在AAPN 和/XAPC 中,AN - AC八AAAPNSAAPCd; PC = PNV ABPN 中有 PB-PCVBN/-PB-PC<AB-AC補短法：延長AC至M,使AM = AB,連結(jié)PM 在AABP和AAMP中規(guī)律”,證明兩條線段相等的步驟：觀察要證線段在哪兩個可能全等的三角形中，然后證這兩個三角形全等.若圖中沒有全等三角形，可以把求證線段用和它相等的線段代 換，再證它們所在的三角形全等.如果沒有相等的線段代換，可設(shè)法作輔助線構(gòu)造全等三角形.例；如圖，已知.BE、CD相交于F, ZB = ZC, Zl = Z2,求證：DF = EF 證明：:NADF =NR+/3 NAEF=

15、/C+N4 又丁心二 ZB = ZC */ADF= /AEFB 在4ADF和AAEF中 ZADF= ZAEF Zl = Z2 AF = AF ADFWAAEF 二 DF = EF規(guī)律20在一個圖盤中，有多個垂直關(guān)系時，常用同角（等角）的余角相等來證 明兩個角相等。例;已知，如圖RtAABC中，AH=AC, ZBAC = 9（F,過A作任一條直線AN, 作 BDJ_AN 于 D, CE，AN 于 E,求證：DE - BD-CE規(guī)律27.三角形一邊的兩端點到這邊的中線所在的直線的距離相等“J例;AD為AARC的中線,且CF，AD于0 BPLAD的延長線規(guī)律條件不足時延長已知邊構(gòu)造三角形.例士 已知

16、 AC = BD, AD_LAC 于 A. T3CBD T B求證:AD = BC證明：分別延長DA、C'B交于點EV AD± AC BCXBDE: /CAE/DRE =、在 ADBE 和 ACAE 中 ZDBF-ZCAEHD = ACZE =/EJ. ZXDHE色CAIi*.RD = EC, FB = EAJ. ED EA= EC EB二 AD = BC17規(guī)律工明連接四邊形的對角殘，把四邊彩問題轉(zhuǎn)化成三角形來解決問題例;已知，如圖，ABZ/C D, AD/7BC求證，AB = CD證明：連結(jié)AC （或RD）VABZ/CDi ADVBCAZI = Z2 在ABC 和CF&g

17、t;A 中,XI =Z2AC = CAZ3 - Z4AABCACDAA AB = CD 規(guī)律對.有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長,可歸 結(jié)為“角分垂等腰歸北例：已知，如圖，在 RlAABC 中，AB - AC,/BAC 9伊，zTl - Z2 , CE_LRD 的延長線于E求證：BD = 2CE 證明；分別延長BA、CE交于FVBEJ.CF二/BFF =/BEC = 90。在REF和八口£中Z1 =/2BEBEZBE1 =ZBEC'.BEF 經(jīng)BECACE = FE=-C F 2VZBAC = 90" , BE±CF二 / BAC = ZCAF

18、 = 93/1 + ZRDA = 90”Zl + ZBFC = 90u/HDA= ZBPC在AARD和ACT中ZB AC 二 ZCAF/BDA= ZDFCAB - ACJ. AABD AACF二 BD CF，BD = 2CE規(guī)律31 .當(dāng)證題有國難時,可結(jié)合已知條件,把圖形中的某兩點連接起來構(gòu)造全等三角形，例；己知，如圖，AC、BD相交于O,且AB = DC, AC = BD,求正/a,d證明：（連結(jié)BC,過程略）It<規(guī)律32.當(dāng)證題缺少線段相等的條件時.可取某條線段中點，為證題提供條件.例工已知，如圖, AB = DC ZA= ZD求證：ZABC= ZDCB證明；分別取AD、BC中點

19、N、M,/連老吉NB、NMhNC （過程略）B'規(guī)律33.有角平分線時，常過角平分線上的點向角兩邊做垂線，利用角平分線上的點到角兩邊距離相等證題.例：已知，如圖Zt = Z2 , P為BN上一點.且PD_LBC于D, AB+BC = 2BD,求證+ yilAP+ XRCP = 1X0"'證明：過P作PELBA于EVPD±BCt Nl =/2APE = PD 在 RtZXBPE 本口 KtZXBPD 中BR=BPPE PDJ RtxBPE 3 RtABPDTAB + EC-2BD. BC - CD + BU, AB - BH-Ak ，AE=CDZPEB =ZP

20、DC = W在和PDC中PE - PDZPEB =ZPDCAE =CDAPDCAZPCB= ZEAPV BAP + ZEAP- ISO1*，ZBAP + /BCP= 180°規(guī)律34.有等腰三角形時常用的輔助線(1)作頂角的平分線，底邊中線,底邊高線例：已知，如圖I AH-AC, RD LACiD,求證l /BRC 三 2/DBC證明：(方法一)作/BAC的平分線AE,交爾”于國則/ I二72 -ZBAC2又TAB=ACAAE±PC'Z2+ZACB =BD1 AC'AZDBC + ZACB =/. Z2 = ZDBC: ZRAC （方法二）過A作AE_LBC

21、于匕（過程略）（方法三）取BC中點E,連結(jié)AE （過程略）（2）有底邊中點時，常作底邊中線仲心已知，如圖，ABC中，AB = AC, D為BC中點，DE1.AB于E, DF LAC于F,求證：DE DF證明：連結(jié)AD.A'；D為BC中點，ABD-CD B D C又；AB =ACAAD平分"ACV DEI AB, DF1AC:.DE = DP（3）將腰延長一倍，構(gòu)造直角三龜形解題例:已知，如圖，AABC中，AB = AC,在BA延長線和AC上各取一點 E、F,使 AE = AF,求證：EFLBC證明：延長HE到N,使AN=AB,連結(jié)CN,則AB = AN = AC，ZB = Z

22、ACB, /ACN = ZANCVZB+ZACB+ZACN + ZANC= 1801A2ZBCA+2ZAN= 18<r二/mCA +/ACN = 90”即 NBCN = 90°ANCXBCVAE = AF二/AEF = NAFE又T/BAC=NAEF +ZAFEZBAC = ZACN +ZANCAZBAC =2ZAEF = 2ZANC1/AEF = NANCACF/NCFF 1 RC(4)常過一腰上的某一已知點做另一腰的平行線例:已知，如,在ABC 中,AB= AC, D 在 AH 上,歸在AC延長線上，且RD = CE,連結(jié)DE交B(于尸求證+ DF=EF證明:證法一)過 D

23、 作 DN/7AE,交 RC 于 N, RljZDNB- ZACB, ZNDE -ZE.; AH = AC./. ZB - ZACE1, ZB=ZDNBABD = DN 又 YRD = CE DN - EC在DNF和ECF中Z1 = Z2ZNDF=ZEDN = EC/. ADNFAECrJ DF - EF（證法二）過E作EM#AB交BC延長線于V,則（過程略）（5）常過一腰上的某一已知點做底的平行線例：已知，如圖t ARC中 AB=AC，e在AC上，D在RA延長線上，目AD=AE,連結(jié)DE求證：DEXBC證明：（證法一）過點E作EF / BC交AB于F .則ZAFE =/BZAEF=ZC; A

24、B = AC.NB*C，/AFE =ZAEFHZc；AD = AE二NAED=/ADE又'.'/AFE+/AEF+/AED+NADE =180。A2ZAEF + 2ZAED = W即/FED = 9（T二 DE1FE又 Y EF#BC, DE_LBC【證法二）過點D作DNBC交CA的延長線于N,（過程略）（證法三）過點A作AM"BC交DE于M,（過程略）（常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三甬形一等邊三角形例：已知，如圖，AAHC中，AB = AC, ZBAC-801 , P為形內(nèi)一點，若/PBC=】0"，NPCB=3%求NPAB 的度數(shù).解法一：以AB為一邊作

25、等邊三角形，連結(jié)CE則/BAE=/ABE=60。23AE-AB； BE AB - ACAAE=AC ZABC=ZACBAZAEC=ZACEVZEAC=ZBAC-ZBAE=8/ 一60=20"，ZACE - -(18041- ZEAC)- 80” ZACB- |(l80>-ZBAC)= 50小匕，/BCE =NACE - NACB=8¥5g 30°7 ZPCB =抑AZPCB = ZBCEY /ABC 三/ACB = 50% /ABE = 6，I / E BC = / A B E / A BC = 6下- 5 口 = 10:ZPBC= Iff"AZP

26、BC=ZEBC在PEC和中ZPBC = ZKBCBC = BCZPCB = ZBCEAAPBCAEBC二 BP= RE/ AB = BEA AB = BPAZBAP = ZBPA: ZABP=ZABC-ZPnC = 5&一10" = 40*ZPAB = -(ISO-ZABP 70°解法二；以AC為一邊作等邊三角形，證法同一,解法三:以BC為一邊作等邊三角形ABCE,連結(jié)AE,則EB = EC-BC, ZBEC=ZEBC = 6011V EB = EC E在BC的中垂線上同理A在BC的中垂線上LA EA所在的直線是BC的中垂線/二 EAXBC/ZAEB= -ZBEC

27、= 30"=ZPCB2由解法一知上 ZABC - 5O3/ABE = ZEDC-ZABC = 10" 一/PBCV ZABE=ZPB< BE=BC, ZAHB=ZPCB /.ABEAPBC:.AB = BP/. ZBAP =ZBPAV NABP二/AHC/PRC = 5011 IO13 = 4011J./PAB= -(180"-ZABP)- -(1800-40'')- 704' 規(guī)律35,有二倍角時常用的輔助線(1)構(gòu)造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角 例：已知.如圖，在AEC中，Z1 Z2, ZABC 2ZC, 求證: A

28、B+B【)= AC證明：延長AB到E, 1吏BE = BD,連結(jié)DESJIJZBED- ZBDE丁 ZABD =NE + NBLH，AJ. ZABC 2/E</ABC = 2/CJ /E= ZC在AED和中ZE= NCZ1 - Z2AD = AD二 AC - AEJ AE=AB+BE AC = AB + BEBP AB-FBP=AC(2)平分二倍角例：已知，如圖，在ABC中，/RA(，= 2NDBC求證：NABC-/ACB證明：作WBAC的平分線AE交BC于E,則上BAE = NCAE - NDBC: BD _L ACA ZCBD H- ZC = W)二 ZCAE+ZC- 90"

29、;.,AECI 觸 yCAE ZC 協(xié) A./AL( 二XIH/I AL-/二9川/ ,.ABC，二 /ABC+ ZBAE 963E c丁 NCAE 十 NC= 90”ZBAE = /CAE :.ZABC = ZACB27(3)加倍小角例二已知,如圖，在 ABC中，口。14。于0, /BAC = 2/DBC求證：ZABC= ZACB證明：作NFUD=/DBC. BF交AC于F (過程略)規(guī)律36.有垂直平分線時常把垂直平分級上的點與線段兩端點連結(jié)起來d 例,已知，如圖, ABC 中.AB-ACZBAC- 12（T, EF 為 AU的垂直平分線，EF交BC于F,交AB于E求證；BF = FC 2

30、證明:連結(jié)AF,貝IJAF = RFAZB=ZFAB二" AB = ACa3 4 =4T/BAC= 12/二"U =ZC ZBAC =！ 1 &CT- /BAC） = 30,J/FAB = 3卅A Z I-AC = ZB AC ZI-AB 1加一？。|=9伊AF= F 21BF=-FC 2規(guī)律37.有垂直時常構(gòu)造垂直平分線cf?IJ:已知，如圖，在AABC 中，ZB-2ZC, AD1E3C 于 D求證: Cn = AB+BD證明：（一）在CD上截取DE DB,連結(jié)AE.則AB-AE A二 /B =N AEBT/B = 2/C、，上 AEB 二 2ZC又：ZAEB =

31、 ZC+ ZEAC ZC =/EACAAE = CEA又,<? = DE + CE；* CD = BD + AB,obf（二）延長CE$到* 14 DI = DC（連結(jié)Ak則/*=A。（過程略）規(guī)律38.有中點時常構(gòu)造垂直平分線。例：已知，如圖，在AAH中，BC = 2AH, /AEC = 2/，BD = CD求證:/XABC為直角三角形29nt如圖，在ABC中，ZA = 90°t DE為BC的垂直平AAR-+AC- BE3ABE2 AE2-AC2 規(guī)律40條件中出現(xiàn)特殊角時常作高把特殊角放在直角三角形中“例;已知，如圖，在AABC中，ZB =45% NC = 30% AB=J

32、5,求AC的長_解二過A作AD_LBC于D&J NB + /BAD = Q,/VZB-451, /B=/BAD = 451DAAD=BDVAll2 = AD2+BD AB=V2AAD= 1= NC = 3(T, AR±RCAAC = 2AD = 2 四邊形部分規(guī)律4L平行四邊形的兩鄰邊之和等于平行四邊形周長的一半電例：已知，nABCD的周長為GOcm,對角線AC、BD相交于點O,AOB的周長比BCC的周長多Hem,求這個四邊形各邊長. 解士 丫四邊形ABCD為平行四邊形AAB = CD, AD = CB, AO = 8: AB + CD + DA + CB = 60AO+AB

33、 + OB(OB + BC+OC) = 8AAB + BC = 30, AB-BC-8A AB = CD = 19, L3C = AD = Il答；這個四邊形各邊長分別為I 9ui】i、I 1cm 19cm* 11 cm. 規(guī)律42.平行四邊形被對角線分成四個小三角形，相鄰兩個三角形周長之差等于郛邊之差”（例題如上）規(guī)律43有平行線時常作平行線構(gòu)造平行四邊形例：已鈍，如圖, RtAABC, .ACB = 9O CD 1 AB 于 D,人E 平分/CAB 交CD于F.過F作FH AB交BC于H求證：CE = BH證明：過F作I P .V BC交A3于P,則四邊形（TBH為平行四邊形二，R=/FP

34、4, RH-FPVACB = W CBXABJ./5 + -CAB =45*, ZB + ZCAB = WAZ5-ZB，/5=/FPA又1N】=N2, AF=AF:,AX AF 空 aPAFACF=1 PV Z4=Z1 + Z5, Z3=Z2+ZB:./3 =/4；,CF = CE：,CE = BH規(guī)律44.有以平行四邊形一邊中點為端點的線段時常延長此線段。例：已知，如圖，在liABCD中，AB = 2BC, M為AB中點求證:CM1DM證明：延長DM、CR交于N:四邊形AB<'I>為平行四邊形AAD = BC, ADZ/BC；.ZA = /NBA ZADN = ZN又&#

35、39;：AM = BM，AAMDABMN二 AD = BN:.BN = BCVAB = 2BC, AM = BMABM-BC = BNZ3=ZN+/2+/3 + /N= 180*',A Z I + Z3 = 904*A CM ± DM33規(guī)律4仇平行四邊形一邊（或這邊所在的直線：上的任意一點與對邊的兩個端點的連線所構(gòu)成的三角形的面積等于平行四邊形面積的一半31如圖：AO- + OC2= BO2 +D02規(guī)律49 .平行四邊形四個內(nèi)角平分線所圍成的四邊形為矩形.如圖：四邊形GHMN是矩形（規(guī)律45規(guī)律49清同學(xué)們自己證明）規(guī)律50.有垂直時可作垂線構(gòu)造矩形或平行線.例I已知，如

36、圖.E為矩形ABCD的邊AD上一點，且BE = ED,#P為對角線BD上一點，PF1BETF, PGJ_AD于印求證：PF + PG =AB證明工證法一,過P作PHLAB于H,則四邊形AHPG為矩形；,AH = GP PII/7ADAZADB=ZHPB八 ,f1)1* BE = DE!/x，NEBD = NADBA ZHPB=ZEBDX 7 ZPFB =ZBHP = 90°二PFBZABHP'HB=FPAAH + HB = PG + PF即 AB = PG + PF證法二：延長GP交FC于N.則四邊形ABNG為矩形，(證明略規(guī)律“.直角三角形常用輔助線方法:U)作斜邊上的高例

37、工已知，如圖，若從矩形AHCD的頂點燈作對角線目口的垂線與二BA0的平分線交于點心求證；AC -CT證明：道A作AFL6D,垂足為凡貝ljAF"EG' ZFAE = ZAECi4氏£天,【四邊形ABCR為矩WhJ.NBAD-OA- OD、,* ZBDA = ZCADVAF_LBDEJ./ABD+/ADH = ZABD + ZBAF = 9011J. ZBAF -ZADR /CADfAE為HAD的平分線二 /B八E -NDAE； /RAE- ZBAF =ZDAE-ZDAC艮 D/fae =zcae: NCAE -/AEG二 AC = EC(2)作斜邊中線，當(dāng)有下列情況

38、時常作斜邊中線：有斜邊中點時例：已知,如圖 AD, BE是AABC的高，F(xiàn)是DE的中點，G是AB的中點求證：GF I DE訐期：連結(jié)GF.TAD、1正是ABC的高，G是AE的中點AGE = - AB. GD= - AB 22.GE = GD*F是DE的中點- GF J_ DE有和斜邊倍分關(guān)系的線段時例：已知，如圖，在AABC中，D是日延長線上一點1旦DAJ.BA于A, AC=BD2求證，ZACB = 2ZB證明：取BD中點E,連結(jié)AE,則AE=RE= -BD 2AZI =ZBVAC' - -BD 24規(guī)律5,正方形一條對角線上一點到另一條對角線上的兩端距離相等.例；已知，如圖，過正方形

39、ABCD對角線BD上一點P 作PELHC于E,作PF_LCD于F,求證；AP EF證明：連結(jié)AC . PC丫四邊形A BCD為正方影'13D 垂直平分 AC, NBCD = 9tTJAP cpAVPE±HC, PF±CD, ZBCD = 90"肅四邊形PECF為矩形RJ. PC - EF z.ap tr規(guī)律5&a正方形一邊中點時常取另一邊中點口例；已知，如圖，正方形ARCD中，M為AH的中點,M J MD, BN平分/RE并交MN于N求證：MD= MN證明；取AD的中點P,連結(jié)PM,貝"DPTAAD ,:四邊形ABCD為正方形AAD =

40、A& ZA = ZABC = 90。.'/l + NAMD = 90。又 DM_LMN/,Z2+ZAMD = 90"二 N 1 =N2VM為AB中點A AM = MB = ABA DP= MB AP = AM丁NA PM = /AVP = 45”二 ZDPM T3513BN 平分 NCBE1 ZCBN = 45mA ZMBN /MBC+/CBN 9(yi + 45" 】35.、即/DPM -MBNAADPMAMBN:.DM - MN注意二把M改為AB上任一點，其它條件不變，結(jié)論仍然成立.規(guī)律54利用正方形進行旋轉(zhuǎn)交換 旋轉(zhuǎn)交換就是當(dāng)圖形具有鄰邊相等這一特征時

41、，可以把圖形的某部分繞相等鄰 邊的公共端點旋轉(zhuǎn)到另一位置的引輔助線方法" 旋轉(zhuǎn)變換主要用途是把分散元素通過旋轉(zhuǎn)集中起來，從而為證題創(chuàng)造必要的條 件。旋轉(zhuǎn)變換經(jīng)常用于等腰三號形.等邊三角形及正方形中.證明：把口繞點八逆時針旋轉(zhuǎn)90。得AACEJ HD - CEZB - ZACE例;已知，如圖，在AAH中，AB =/RA= 9(H 門為邊上仟一點 求證：2AU上= HL>+【U41T ZBAC = 9二/DAE 9 出,1 DE2 = AD2+AE2 = 2AD2/B十 ZACB = 9。”AZDCE=9O*ACD=+CE2 = DE2/4 2 AD2 = BD?+CD?注意:把A

42、DC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)9（卜也可，方法同上, 規(guī)律有以正方形一邊中點為端點的線段時，落把這條線段延長， 構(gòu)造全等三角形。例；如圖,在正方形ABCD中，E. F分別是CD，DA的中點，BE與C F交于P點求證：AP - AB證明：延長CF交BA的延長線于K丫四邊形ABCD為正方形，BC-AB - CD - DA -HCD -/口 /BAD - 00'VE. F分別是CD* DA的中點I1f rr1 心二 CE= -CD DF=AF= - AD 2二 CE = DF/. ABCEACDF:, ZCBE ZDCF'：BCF+ZDCF- 900.,/BCF+NCBE = 5T二 BE&#

43、177;C1;又丁/D=/DAK = 9CT DF = AF /I =/2A ACDFSAKAFACD = KA，BA = KA又二七£_1_(:1；A AP = AB規(guī)律Sd.從梯形的一個頂點作一腰的平行線，把梯形分成一個平行 四邊形和一個三角形。例：已知，如圖.等腰梯形ABCD中，AD"BC, AD -3, AB% BC - 7,求二B的度數(shù)解；過八作AED交BC于E,則四邊形AECD為平行四邊形:.AD = EC, CD = AEa dVAB = CD = 4t/ti *' CAD-3, BC-7h久 BE = AE = AB = 4A AABF為等邊三角形；

44、 ZB = 61規(guī)律5工從梯形同一底的兩端作另一底所在直線的垂線，把梯形轉(zhuǎn)化成一個矩形 和兩個三角形.例：已知 如圖，在梯JKABCD 中，AD/BC, AB=AC, ZBAC = 90% B0 = BC, BD 交 AC 于 O求證；CO = CD證明；過A, D分別作AE_LHC, DFLBC,垂足分別為E. F則規(guī)律s也從梯形的一個項點作一條對角線的平行線,把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形.例;已知,如囹，等腰梯形ABCD中,ACXBDt AD + BC - 10,DE_LBC于E,求DE的長，解二過作DFAC,交BC的延長線于F,則四邊形ACFD為平行四邊用A AC = DF, AD =

45、 CFxu'四邊形ABCD為等腰梯形VAC/7DF, BD I ACABD±DF */BL = i E/. DE = BE = FFBF = 52答，DE的長為工規(guī)律59延長梯形兩腰使它們交于一點，把梯形轉(zhuǎn)化成三角形，例；已知，如圖.在四邊形ARCD中，有AB -DC, ZB-ZC, AD<E1C求證t四邊形AHCD等腰梯形證明：延長BA、CD,它們交千點E45AEB = EC又 TAB = DCAAE =DE二/EAD=/EDAvzl+zead+zeda= i8（rZB + ZC+ZE- 180-AZEAD=ZBAAD/7BCVADBC, ZB=ZC四邊形ABCD等腰

46、梯形（此題還可以過一頂點作AB或CD的平行線：也可以過A、D作B（'的垂線） 規(guī)律60.有梯形一腰中點時，常過此中點作另一腰的平行線，把梯 形轉(zhuǎn)化成平行四邊形。例；已知，如圖，梯形ABCD中，AD/7BC, E為CD中點，£卜！八日于十求證:S悌形ABCD二EF AB證明二過E作MN"AB,交4D的延長線于M,交BC于N,則四邊彩ABNM 為平行四邊形VEF1ABASdABNVI =AB*EFAD 7 BC又；DE = CE Z1 =Z2AACFNADEMASACEN =SADEMJS 梯形 ABCD = S 五邊形 ABNED+SACEN = 5 五邊形 ABNE

47、D + SADEM= S 梯彩 ARC'D n LI AB 規(guī)律61.有梯形一艘中點時，也常把一底的端點與中點連結(jié)并延長 與另一底的延長線相交，把桶形轉(zhuǎn)換成三角形。例士 已知.如圖，直角梯形 A BCD 中 r AD/RC, AB I AD A, BE = FC = RC求證: z AEC = 3ZDAE證明工連鰭B6并延長交AD的延長線于、7 AU "HL二N3 - NN又*.*Nl=/2 ED 二 ECADENACHB二 BE - EN D、 BCVAB±ADAAE - EN - BE 二/N=/DAEJ. /AER =，N+ /D4E = "DAE/

48、DE - BC BC - DNA1)E = DN工 NN -Z1V Z =Z2 /N=/DAE工 Z2=ZDAE二 NAEB+/2 = 2/DAE+/DAE即“AEC = 3/DAE規(guī)律62,梯形有底的中點時，常過中點做兩腰的平行線，例：已知，如圖梯形ABCD中,AD/RC, AD<BCf E, F分別是AD、BC面中點,且EF1BC求證：ZB=ZC證明：過 E 作 EM/AB, ENVCD,交 BC于 M】N,則得口ABME, nNCDEAAE = BM, AB"=EM, DE = CN, CD = NEAE = DE，BM = CNXVBF-CF=)P又:EF_LBC-3

49、= ENBL-Ml p XC，/1 =Z2TAB A EM, CDENAZI -ZB Z2=ZC，NB=NC規(guī)律63.任意四邊形的對角線互相垂直時，它們的面積都等于對角線乘積的一半。例：已知，如圖1梯形ABCD中，AD4BC, AC與BD交于0,且AC_LBD,A_ 1JAC = 4, BD = 3.4,K /求梯形ABCD的面積.解：TAC_LBDBCASAAUD-AO BL) 2SA BCD- -CO BD 2A Sl iff ABCD = SAABD 4* SA BCD-AO BD+-CO BD 22= -(AO + CO) BD2即 5 梯形 ABC=-AC' BI>=

50、x4x3.4 226 8利用平行線等分線段答上梯彩ABCD面積為68觀律64.有線段中點時，常過中點作平行線定理的推詵證題.例：己如；0<?中,D為中點，E為DC的三等分點，(BE>CE) AE、CD交于點F求證LF為CD的中點證明；過口作口、 AE交EU于、ATD為AB中點二 BN = EN又丫F.為BC的三等分點abn-en-ceVDN/AE二F為CD的中點規(guī)律65.有下列情況時常作三角形中位線。(I)有一邊中點3(2)有線段倍分關(guān)系；有兩邊(或兩邊以上)中點.例；如圖，AE為正方形ABCD中NBAC的平分線，AE分別交HD, BC于F. E,AC、BD相交千0求證：OF=-C

51、E 2證明：取AE的中點N,連結(jié)ON,則QN為(：的中位線，ONCE, ON =-CE 2AAZ6=ZONE丁四邊形ABCD為正方形AZ3-Z4-450 B*, /5 =/3+4 Z6 =N4+ Z2; Z 1 =Z2AZ5=Z67/6=/ONEAZONE =Z5，ON = OF,.OFCE 2規(guī)律66.有下列情況時常構(gòu)造樹形中位線(1)有一腰中點(2有兩腰中點(3)涉及梯形上、下底和例】：已知，如圖，梯形ABCD中，ADBC, ZDAB - W , E為CD的中點,連結(jié)AE、BE求證。AE = BE證明：取AB的中點卜，連結(jié)EF,則EF/AD1；|AZDAB=ZEFB =90011匚AEF_

52、L AB1EF為AB的中垂線AE = BE例2: JAnABCD的頂點A BCD向形外的任意直線MN引垂線AA BB CCDD'，垂足分別為Al B C D求證: AA'+CC = BET+DD'證明：連結(jié)AC、BD,它們交于點。，過O作OE，MN于E,貝lj AA'/ZOE/ZCC,四邊形ABCD為平行四邊形'A0-C0AA'E = C'E/r，AA'+CV = 20E、1-LH LT * E C n N同理可證：BB'+DD* = 2OE.,AA'+CC' = BB'+DDT規(guī)律67,連結(jié)任意四

53、邊形各邊中點所得的四邊形為平行四邊形.規(guī)律$8.連結(jié)對角線相等的四邊形中點所得的四邊形為菱形。規(guī)律2.連結(jié)對角線互相垂直的四邊形各邊中點所得的四邊形為矩形。規(guī)律7優(yōu)連結(jié)對角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點所得的四邊形為正方形。規(guī)律71.連結(jié)平行四邊形.矩形、菱形.正方形 等整梯形各邊中點所得的四邊 形分別為平行四邊形、菱形、矩形、正方形、菱形,地律7,等腰梯形的對角線互相垂直時，悌形的高等于兩底和的一半（或中位線的長工以上各規(guī)律請同學(xué)們自己證明由（利用中位線證明）規(guī)律/3.等腰梯形的對角線與底構(gòu)成的兩個三角形為等腰三角形.例士已知，如圖，等腰梯形ABCD中，AB/CD, AH>CDT AD = DC,對角線AC. RD 相交于 O, ZAOB-6O1 , _B_E, F, M 分別為 OD、OA、的中點 求證:AMEF是等邊三角形證明；連結(jié)BF、CE二四邊形ABCD為等腰梯形AAD-BC. AC= BDXV AB為公共邊AAABDABAC/C AH=/DHAAOA=OB/ /AOR = 60''.AHO為等邊三角形又,F為AO中點，BFJL ACM為BC中點 MFBC2同理可證：ME =- BC2；E、F分別為OD、O