測(cè)量學(xué)第六章測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本

1、第6章 測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識(shí) 第6章 測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識(shí) 61 概述 611 測(cè)量與觀測(cè)值 通過(guò)一定的儀器和方法在一定的環(huán)境下游操作人員對(duì)某量進(jìn)行量測(cè)，稱為觀測(cè)觀測(cè)，獲得的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值觀測(cè)值。 612 觀測(cè)與觀測(cè)值的分類 1同精度觀測(cè)和不同精度觀測(cè) 構(gòu)成測(cè)量工作的要素包括觀測(cè)者、測(cè)量?jī)x器和外界條件，通常將這些測(cè)量工作的要素統(tǒng)稱為觀測(cè)條件觀測(cè)條件。 在相同的觀測(cè)條件下，即用同一精度等級(jí)的儀器、設(shè)備，用相同的方法和在相同的外界條件下，由具有大致相同技術(shù)水平的人所進(jìn)行的觀測(cè)稱為同精度觀測(cè)同精度觀測(cè)，其觀測(cè)值稱為同精度觀測(cè)值同精度觀測(cè)值或等精度觀測(cè)值等精度觀測(cè)值。反之，則稱為不同精

2、度觀測(cè)不同精度觀測(cè)，其觀測(cè)值稱為不同不同(不等不等)精精度觀測(cè)值度觀測(cè)值。 2直接觀測(cè)和間接觀測(cè)直接觀測(cè)和間接觀測(cè)為確定某未知量而直接進(jìn)行的觀測(cè)，即被觀測(cè)量就是所求未知量本身稱為直接觀測(cè)直接觀測(cè)，觀測(cè)值稱為直接觀測(cè)值直接觀測(cè)值。通過(guò)被觀測(cè)量與未知量的函數(shù)關(guān)系來(lái)確定未知量的觀測(cè)稱為間接觀測(cè)間接觀測(cè)，觀測(cè)值稱為間接觀測(cè)值間接觀測(cè)值。 3獨(dú)立觀測(cè)和非獨(dú)立觀測(cè)獨(dú)立觀測(cè)和非獨(dú)立觀測(cè)各觀測(cè)量之間無(wú)任何依存關(guān)系，是相互獨(dú)立的觀測(cè)，稱為獨(dú)立觀測(cè)獨(dú)立觀測(cè)，觀測(cè)值稱為獨(dú)立觀測(cè)值。獨(dú)立觀測(cè)值。若各觀測(cè)量之間存在一定的幾何或物理?xiàng)l件的約束，則稱為非獨(dú)立觀測(cè)非獨(dú)立觀測(cè)，觀測(cè)值稱為非獨(dú)立觀測(cè)值非獨(dú)立觀測(cè)值。613 測(cè)量誤

3、差及其來(lái)源測(cè)量誤差及其來(lái)源 1測(cè)量誤差的定義 測(cè)量中的被觀測(cè)量，客觀上都存在著一個(gè)真實(shí)值簡(jiǎn)稱真值真值。 對(duì)該量進(jìn)行觀測(cè)得到觀測(cè)值。觀測(cè)值與真值之差，稱為真誤差真誤差即 真誤差觀測(cè)值-真值 2測(cè)量誤差的反映“必要觀測(cè)必要觀測(cè)”：為確定某一個(gè)被觀測(cè)量或幾何形體所需要的最少的觀測(cè)。 “多余觀測(cè)多余觀測(cè)”：在確定某一個(gè)被觀測(cè)量或幾何形體所進(jìn)行的觀測(cè)過(guò)程中超過(guò)必要觀測(cè)的觀測(cè)。SabcAPBhAPhPB“多余觀測(cè)”導(dǎo)致的差異事實(shí)上就是測(cè)量誤差。測(cè)量誤差正是通過(guò)“多余觀測(cè)”產(chǎn)生的差異反映出來(lái)的。3測(cè)量誤差的來(lái)源測(cè)量?jī)x器觀測(cè)者外界環(huán)境62 測(cè)量誤差的種類系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差、偶然誤差偶然誤差和粗差粗差。系統(tǒng)誤差：

4、系統(tǒng)誤差：在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行的一系列觀測(cè)中數(shù)值大小和正負(fù)符號(hào)固定不變或按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。觀測(cè)條件觀測(cè)條件：測(cè)量?jī)x器、觀測(cè)者和外界環(huán)境統(tǒng)稱為觀測(cè)條件。一個(gè)觀測(cè)工作的觀測(cè)條件是決定觀測(cè)精度的決定因素。 系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)：具有累積性。準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度：是指觀測(cè)值對(duì)真值的偏離程度或接近程度。系統(tǒng)誤差的存在必將給觀測(cè)成果帶來(lái)系統(tǒng)的偏差，觀測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確度受到不良影響。消除或減弱系統(tǒng)誤差的方法：(1)測(cè)定系統(tǒng)誤差的大小，對(duì)觀測(cè)值加以改正(2)采用對(duì)稱觀測(cè)的方法(3)檢校儀器偶然誤差 在相同的觀測(cè)條件下對(duì)某量進(jìn)行一系列觀測(cè)，單個(gè)誤差的出現(xiàn)沒(méi)有一定的規(guī)律性，其數(shù)值的大小和符號(hào)都不固定，表

5、現(xiàn)出偶然性這種誤差稱為偶然誤差又稱為隨機(jī)誤差。 偶然誤差反映了觀測(cè)結(jié)果的精密度。精密度是指在同一觀測(cè)條件下，用同一觀測(cè)方法對(duì)某量多次觀測(cè)時(shí)，各觀測(cè)值之間相互的密集或離散程度密集或離散程度。粗差 粗差也稱錯(cuò)誤，是由于觀測(cè)者使用儀器不正確或疏忽大意，如測(cè)錯(cuò)、讀錯(cuò)、聽(tīng)錯(cuò)、算錯(cuò)等造成的錯(cuò)誤，或因外界條件發(fā)生意外的顯著變動(dòng)引起的差錯(cuò)。 在觀測(cè)過(guò)程中，系統(tǒng)誤差和偶然誤差往往是同時(shí)存在的。當(dāng)觀測(cè)值中有顯著的系統(tǒng)誤差時(shí)，偶然誤差就居于次要地位，觀測(cè)誤差呈現(xiàn)出系統(tǒng)的性質(zhì)系統(tǒng)的性質(zhì)；反之，呈現(xiàn)出偶然的性質(zhì)偶然的性質(zhì)。處理測(cè)量誤差的基本方法：1、尋找、判斷和排除系統(tǒng)誤差，或?qū)⑵淇刂圃谠试S的范圍內(nèi)2、根據(jù)偶然誤差的特

6、性對(duì)該組觀測(cè)值進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，求出最接近未知量真值的估值，稱為最或是值最或是值或平差值平差值3、評(píng)定觀測(cè)結(jié)果質(zhì)量的優(yōu)劣，即評(píng)定精度評(píng)定精度。第2、3項(xiàng)工作在測(cè)量上稱為測(cè)量平差測(cè)量平差，簡(jiǎn)稱平差平差。63 偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù) 偶然誤差單個(gè)出現(xiàn)時(shí)不具有規(guī)律性，但在相同條件下重復(fù)觀測(cè)某一量時(shí)，所出現(xiàn)的大量的偶然誤差卻具一定的規(guī)律性。 例如，在相同條件下對(duì)某一個(gè)平面三角形的三個(gè)內(nèi)角重復(fù)觀測(cè)了358次按下式算得三角形各次觀測(cè)的誤差(稱三角形閉合差)： i=a i +b i +c i -180 式中： a i 、b i 、c i 為三角形三個(gè)內(nèi)角的各次觀測(cè)值取誤差區(qū)間 d(間隔)為0.2 ，將誤

7、差按數(shù)值大小及符號(hào)進(jìn)行排列相對(duì)個(gè)數(shù)=k/n統(tǒng)計(jì)特性：在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限度，即偶然誤差是有界的；絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)大；絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等，在相同條件下，對(duì)同一量進(jìn)行重復(fù)觀測(cè)，偶然誤差的算術(shù)平均值隨著觀測(cè)次數(shù)的無(wú)限增加而趨于零，即圖中所有矩形面積的總和等于圖中所有矩形面積的總和等于1 1，而每個(gè)長(zhǎng)方條的面積等于而每個(gè)長(zhǎng)方條的面積等于 k/0.2nk/0.2n0 02 2k/nk/n，即為偶然誤差出現(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)的頻即為偶然誤差出現(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)的頻率。率。若使觀測(cè)次數(shù)若使觀測(cè)次數(shù)n，并將，并將區(qū)間區(qū)間d分得無(wú)限小，此分得無(wú)限小，此

8、時(shí)各組內(nèi)的頻率趨于穩(wěn)定時(shí)各組內(nèi)的頻率趨于穩(wěn)定而成為概率直方圖頂端而成為概率直方圖頂端連續(xù)格變成一個(gè)光滑的對(duì)連續(xù)格變成一個(gè)光滑的對(duì)稱曲線稱曲線該曲線稱為高斯偶然誤差分布曲線。在概率論中，稱為正態(tài)分布曲線正態(tài)分布曲線。在一定的觀測(cè)條件下，對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的誤差分布。曲線的縱坐標(biāo)y=概率/間距，它是偶然誤差的函數(shù)，記為f()。f( i)d是偶然誤差出現(xiàn)在微小區(qū)間( i + d/2, i +-d/2)內(nèi)的概率，記為 p( i)= f( i)d稱為概率元素。f( i)越大，表示偶然誤差出現(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)的概率也越大，受之則越小。稱f(i)為偶然誤差的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱密度函數(shù)，其公式為:h=ec c為積分常數(shù)

9、 h f()= e-h22偶然誤差不能用計(jì)算來(lái)改正或用一定的觀測(cè)方法簡(jiǎn)單地加以消除，只能根據(jù)其特性來(lái)合理地處理觀測(cè)數(shù)據(jù)以提高觀測(cè)成果的質(zhì)量。6.4 衡量觀測(cè)值精度的指標(biāo)在測(cè)量中，用精確度精確度來(lái)評(píng)價(jià)觀測(cè)成果的優(yōu)劣。精確度是準(zhǔn)確度與精密度的總稱。準(zhǔn)確度主要取決于系統(tǒng)誤差的大小精密度主要取決于偶然誤差的分布。對(duì)基本排除系統(tǒng)誤差，而以偶然誤差為主的一組觀測(cè)值用精密度來(lái)評(píng)價(jià)該組觀測(cè)值質(zhì)量的優(yōu)劣。精密度簡(jiǎn)稱精度。衡量精度的指標(biāo)：能反映出誤差分布的密集或離散的 程度的指標(biāo)。641 精度指數(shù)偶然誤差概率密度函數(shù): h f()= e-h22當(dāng) o時(shí),函數(shù)取得最大值 h/ 。h值的大小不同，函數(shù)的最大值(曲線峰

10、頂在縱坐標(biāo)軸上的位置)也不同。分布曲線的陡緩程度也就不同。h值越大，曲線兩側(cè)坡度越陡，表示偶然誤差分布較為密集，說(shuō)明小誤差出現(xiàn)的概率較大，觀測(cè)結(jié)果的精度較高；反之，h值越小，曲線兩側(cè)越緩表示偶然誤差的分布較為離散，說(shuō)明小誤差出現(xiàn)的概率較小，觀測(cè)結(jié)果的精度較低。因此稱h稱為觀測(cè)值的精度指數(shù)。根據(jù)這樣的基本原理，還要設(shè)法通過(guò)h尋找出另一種計(jì)算方便的指標(biāo)來(lái)衡量觀測(cè)值的精度，這就是中誤差中誤差。642 中誤差 根據(jù)概率定理，各偶然誤差在一組觀測(cè)值中同時(shí)出現(xiàn)的概率等于各偶然誤差概率的乘積，即我們認(rèn)為，在一次觀測(cè)中出現(xiàn)的某一組偶然誤差應(yīng)具有最大的出現(xiàn)概率，即其概率P最大。令：dP/dh=0 得-2h22+

11、n=0m= m稱為中誤差，表示各偶然誤差的平方和。 nm= 它表明了中誤差m與精度指數(shù)h成反比，即中誤差m愈大，精度指數(shù)愈小，表示該組觀測(cè)值的精度愈低；反之，則精度愈高。 測(cè)量中用中誤差代替精度指數(shù)作為衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn)。 nm= 中誤差m的幾何意義即為偶然誤差分布曲線兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)。這也說(shuō)明了用精度指數(shù)和中誤差來(lái)衡量觀測(cè)結(jié)果質(zhì)量?jī)?yōu)劣的一致性。643 極限誤差絕對(duì)值大于三倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的概率僅為03，是小概率事件，故通常以三倍中誤差作為偶然誤差的極限誤差的估值，即極 =3 m 在實(shí)際測(cè)量工作中，以三倍中誤差作為偶然誤差的容許值，稱為容許誤差。容許誤差。 644 相對(duì)誤差相對(duì)誤差是中

12、誤差與觀測(cè)值之比是個(gè)無(wú)量綱數(shù)，在測(cè)量上通常將其分子化為1，即用K1/N的形式來(lái)表示。如：1/1000，1/5000等。顯然相對(duì)中誤差愈小(分母越大)說(shuō)明觀測(cè)結(jié)果的精度愈高，反之愈低。相對(duì)中誤差的分子也可以是閉合差或容許誤差，這時(shí)分別稱為相對(duì)閉合差及相對(duì)容許誤差。中誤差、極限(容許)誤差等稱為絕對(duì)誤差。65 誤差傳播定律表述觀測(cè)值函數(shù)的中誤差與觀測(cè)值中誤差之間關(guān)系的定律稱為誤差傳播定律誤差傳播定律。設(shè)f為獨(dú)立變量x1,x2，xn的函數(shù)即 Z=f(x1,x2，xn )其中Z為不可直接觀測(cè)的未知量真誤差為Z，中誤差為m Z,各獨(dú)立變量xi(i1,2，n)為可直接觀測(cè)的未知量，相應(yīng)的觀測(cè)值為li，相應(yīng)

13、的真誤差為i，相應(yīng)的中誤差為mi 即有 xi=li-i 當(dāng)各觀測(cè)值帶有真誤差i時(shí)函數(shù)隨之帶有真誤差Z 。Z =f(x1 + 1,x2 + 2，xn + n )該式為觀測(cè)值中誤差與其函數(shù)中誤差的一般關(guān)系式，稱中中誤差傳播公式。誤差傳播公式。 例1：在1:500地形圖上量得某兩點(diǎn)間的距離d234.5mm，其中誤差md0.2mm，求該兩點(diǎn)間的地面水平距離D的值及其中誤差mD 解： D500d5000.234=117.25m mD =500 md = 500 0.0002m=0.1m 例2：設(shè)對(duì)某一個(gè)三角形觀測(cè)了其中、兩個(gè)角測(cè)角中誤差分別為m 3.5”，m 6.2”，現(xiàn)按公式 180- -求得角，試求

14、角的中誤差m 。 解：m = m + m 2 2=3.52+6.22=7.1” 例3：己知當(dāng)水準(zhǔn)儀距標(biāo)尺75m時(shí)一次讀數(shù)中誤差 m讀 2mm (包括照準(zhǔn)誤差，氣泡置中誤差及水準(zhǔn)標(biāo)尺刻劃中誤差)，若以三倍中誤差為容許誤差，試求普通水準(zhǔn)測(cè)量觀測(cè)n站所得高差閉合差的容許誤差。解：m = m 讀 + m 讀 2 2水準(zhǔn)測(cè)量每一站高差，hai-bi (il，2，n)則每站高差中誤差= m 讀 2=2.8mm觀測(cè)n站所得總高差 h=h1+h2+ +hnmh = m站n = 2.8 n = 現(xiàn)以三倍中誤差為容許誤差，則高差閉合差容許誤差為容=3 2.8 n =8 n 例4：函數(shù)式y(tǒng)Dsin ，測(cè)得D=225

15、.850.06m， 1570030” 20”，求y的中誤差m y 。 解：2 2 2 2md=(K cos ) ml =K cos ml 式中：ml標(biāo)尺視距間隔 l 的讀數(shù)中誤差。因 l下絲讀數(shù)-上絲讀數(shù) ml m 讀 2m 讀 12.1D10-6ml m 讀 2 17.11D10-6mD=(K cos ) ml =K cos mlmD17.11D 10-4相對(duì)中誤差 mD /D=0.001711/584再考慮到其他因素的影響，可以認(rèn)為視距精度約1/300。(2)測(cè)量高差的精度分析h= K l sin 212Mh=K l cos2 m / ”Mh= D m / ”當(dāng) D=100m Mh= 3c

16、mMh極限= 9cm6.6 同精度直接觀測(cè)平差6.6.1 求最或是值設(shè)對(duì)某量進(jìn)行了n次同精度觀測(cè)，其真值為X，觀測(cè)值為ll，l2，ln，相應(yīng)的真誤差為， l， 2， n則 l= ll X 2= l2 -X n= ln -X取和得： = l-nX除以n得： l n n= -X =L-X l n n= -X =L-X式中L= (ll+l2+ln )/n=l/n，為算術(shù)平均值。根據(jù)偶然誤差第四個(gè)特性當(dāng)n時(shí)，/n 0,于是LX。即當(dāng)觀測(cè)次數(shù)n無(wú)限多時(shí)，算術(shù)平均值就趨向于未知量的真值。當(dāng)觀測(cè)次數(shù)有限時(shí)可以認(rèn)為算術(shù)平均值是根據(jù)已有的觀測(cè)數(shù)據(jù)所能求得的最接近真值的近似值稱為最或是值或最或然值，用最或是值作為

17、該未知量真值的估值。每一個(gè)觀測(cè)值與最或是值之差，稱為最或是誤差，用符號(hào)vi (il，2，n)來(lái)表示: vi li-L最或是值與每一個(gè)觀測(cè)值的差值稱為該觀測(cè)值的改正數(shù)，與最或是誤差絕對(duì)值相同，符號(hào)相反。vi li-L (il，2，n)v = l-nL=0即改正數(shù)總和為零。可用作計(jì)算中的檢核。 662 評(píng)定精度1觀測(cè)值中誤差同精度觀測(cè)值中誤差的定義為 nm= 其中i= li Xi= li X (il，2，n)最或是誤差 vi li-L兩式相減得： i -vi L-X= i = v i + 取平方和得：=uu+n 2 +2 v因 v=0故 =vv+n 2 vv n-1m= 該式為同精度觀測(cè)中用觀測(cè)值

18、的改正數(shù)計(jì)算觀測(cè)值中誤差的公式，稱為貝塞爾公式。 nm= 2 最或是值的中誤差設(shè)對(duì)某量進(jìn)行了n次同精度觀測(cè)，觀測(cè)值為ll，l2，ln，觀測(cè)值中誤差為m,最或是值為L(zhǎng)，67 不同精度直接觀測(cè)平差671 權(quán)的概念 1權(quán)的定義能夠比較不同精度觀測(cè)值可靠程度的指標(biāo)稱為權(quán)。 設(shè)一組不同精度觀測(cè)值為li相應(yīng)的中誤差為mi(i1，2，n)，選定任一大于零的常數(shù)，定義權(quán)Pi為 Pi / mi2稱Pi為觀測(cè)值li的權(quán)。對(duì)一組已知中誤差的觀測(cè)值而言，選定一個(gè)值，就有一組對(duì)應(yīng)的權(quán)。P1 : P2 : . : Pn / m12 : / m22 : : / mn2 1/ m12 : 1/ m22 : :1/ mn22權(quán)

19、的性質(zhì)權(quán)和中誤差都是用來(lái)衡量觀測(cè)值精度的指標(biāo)，但中誤差是絕對(duì)性數(shù)值，表示觀測(cè)值的絕對(duì)精度；權(quán)是相對(duì)性數(shù)值，表示觀測(cè)值的相對(duì)精度。權(quán)與中誤差平方成反比，中誤差越小、權(quán)越大，表示觀測(cè)值越可靠，精度越高。 權(quán)始終取正號(hào)。由于權(quán)是一個(gè)相對(duì)性數(shù)值，對(duì)于單一觀測(cè)值而言，權(quán)無(wú)意義。 權(quán)的大小隨的不同而不同，但權(quán)之間的比例關(guān)系不變。在同一個(gè)問(wèn)題中只能選定一個(gè)值，不能同時(shí)選用幾個(gè)不同的值，否則就破壞了權(quán)之間的比例關(guān)系。 67 測(cè)量中常用的確權(quán)方法 1同精度觀測(cè)值的算術(shù)平均值的權(quán) 設(shè)一次觀測(cè)的中誤差為m，n次同精度觀測(cè)值的算術(shù)平均值的中誤差: M=m/n由權(quán)的定義設(shè) m2，則一次觀測(cè)值的權(quán)為 : p= m2 /

20、m2 =1算術(shù)平均值的權(quán)為: PL = m2 / M2 = m2 /(m2/n)=n 由此可知，取一次觀測(cè)值之權(quán)為1，則n次觀測(cè)的算術(shù)平均值的權(quán)為n。故權(quán)與觀測(cè)次數(shù)成正比。設(shè)一次觀測(cè)值的中誤差為m，其權(quán)為po，并設(shè) m，則 Po m2 / m2 =1 等于1的權(quán)稱為單位權(quán)、而權(quán)等于1的中誤差稱為單位權(quán)中誤差，一般用表示。則相應(yīng)的中誤差的另一表達(dá)式可寫為 mi 對(duì)于中誤差為mi的觀測(cè)值(或觀測(cè)值的函數(shù))，其權(quán)Pi為 Pi 2/ mi21Pi 2權(quán)在水準(zhǔn)測(cè)量中的應(yīng)用 設(shè)每一測(cè)站觀測(cè)高差的精度相同，其中誤差為m站，則不同測(cè)站數(shù)的水準(zhǔn)路線觀測(cè)高差的中誤差為 m站Ni (i1，2，n)Ni為各水準(zhǔn)路線的

21、測(cè)站數(shù)。取c個(gè)測(cè)站的高差中誤差為單位權(quán)中誤差，即 c m站，則各水準(zhǔn)路線的權(quán)為Pi 2/ mi2 c/ Ni同理，可得 Pi c/ Li 式中：Li各水準(zhǔn)路線的長(zhǎng)度。當(dāng)各測(cè)站觀測(cè)高差為同精度時(shí)，各水準(zhǔn)路線的權(quán)與測(cè)站數(shù)或路線長(zhǎng)度成反比。3權(quán)在距離丈量工作中的應(yīng)用設(shè)單位長(zhǎng)度(一公里)的丈量中誤差為m，則長(zhǎng)度為s公里的丈量中誤差為msms取長(zhǎng)度為c公里的丈量中誤差為單位權(quán)中誤差，即 mc,則得距離丈量的權(quán)為 Pi 2/ mi2 c/s說(shuō)明距離丈量的權(quán)與長(zhǎng)度成反比。 在定權(quán)時(shí)，并不需要預(yù)先知道各觀測(cè)值中誤差的具體數(shù)值。在確定了觀測(cè)方法后權(quán)就可以預(yù)先確定。這一點(diǎn)說(shuō)明可以事先對(duì)最后觀測(cè)結(jié)果的精度進(jìn)行估算，

22、在實(shí)際工作中具有很重要的意義。673求不同精度觀測(cè)值的最或是值加權(quán)算術(shù)平均值設(shè)對(duì)某量進(jìn)行n次不同精度觀測(cè)，觀測(cè)值為觀測(cè)值為ll，l2，ln，其相應(yīng)的權(quán)為Pl，P2，Pn，測(cè)量上取加權(quán)平均值為該量的最或是值，即x= = Plll+P2l2+Pnln Pl Pl+P2+Pn P 最或是誤差： vi li-LPivi Pili-PiLPv P l-PL=0Pv 0上式可以用作計(jì)算中的檢核。674 不同精度觀測(cè)的精度評(píng)定L= = Plll+P2l2+Pnln Pl Pl+P2+Pn P = Pl P2 PnP P P ll + l2 + + ln按中誤差傳播公式，最或是值L的中誤差M2= (P12m1

23、2+ P22m22 + + Pn2mn2 ) 1P 2 式中m1 , m2 ,., mn為相應(yīng)觀測(cè)值的中誤差。若令單位權(quán)中誤差等于第一個(gè)觀測(cè)值l1的中誤差，即 ml，則各觀測(cè)值的權(quán)為Pi 2/ mi2 mi2 2/ Pi 1最或是值的中誤差 Pl P2 PnP P P M2= 2 + 2 + + 2 M= P 此式為不同精度觀測(cè)值的最或是值中誤差計(jì)算公式。 2單位權(quán)觀測(cè)值中誤差P n = Pvv n-1 = Pvv( n-1)PM= 例：在水準(zhǔn)測(cè)量中，已知從三個(gè)已知高程點(diǎn)A、B、C出發(fā)，測(cè)量E點(diǎn)的三個(gè)高程觀測(cè)值，Li為各水準(zhǔn)路線的長(zhǎng)度，求E點(diǎn)高程的最或是值及其中誤差。 解：EACBL1=4kmL2=2kmL3=2.5km取各水準(zhǔn)路線長(zhǎng)度Li的倒數(shù)乘以C為權(quán)，并令C1，0.2542.347+0.50 42.320+0.40 42.332 0.025+0.50+0.40 HE= =42.330m = =7.8mmPvv n-1M= P = 7.3mmPi c/ Li68 最小二乘法原理及其應(yīng)用681 最小二乘法原理 設(shè)對(duì)某量進(jìn)行n次不同精度的觀測(cè)，其觀測(cè)值為li，算術(shù)平均值為L(zhǎng)；各觀測(cè)值的中誤差為mi；最或是誤差vi li -L (i1,2，,n)，則最或是誤差的概率p為v根據(jù)概率乘法定理，各最或是誤差在同一觀測(cè)列中同時(shí)出現(xiàn)的概率： 根據(jù)概率論中的最大似然原理最