武漢理工大學材料力學課件

1、材料力學材料力學3-1 3-1 靜矩和形心靜矩和形心3-2 3-2 慣性矩、慣性矩、慣性積慣性積和慣性半徑和慣性半徑3-3 3-3 慣性矩、慣性積的慣性矩、慣性積的平行移軸公式平行移軸公式3-4 3-4 慣性矩、慣性積的慣性矩、慣性積的轉軸公式轉軸公式 本章習題本章習題第三章第三章 截面圖形的幾何性質截面圖形的幾何性質(geometrical properties of an area)yzO一、靜矩一、靜矩(static moment)對對 y 軸的靜矩：軸的靜矩： AydAzS AzdAyS 對對 z 軸的靜矩：軸的靜矩：yzAd大?。赫?，負，大?。赫?，負，0。量綱：量綱： 長度長度 33

2、-1 3-1 靜矩和形心靜矩和形心二、截面圖形的形心二、截面圖形的形心(form center)幾何形心幾何形心= =等厚均質薄片重心等厚均質薄片重心ASAAyyzAc d ASAAzzyAc d czyAS cyzAS yzOczcyC 即即截面截面圖形對形心軸的靜矩為圖形對形心軸的靜矩為0 0。結論：若結論：若Sy=0zc=0 y軸通過形心，反之亦成立。軸通過形心，反之亦成立。 若若Sz=0yc=0 z軸通過形心，反之亦成立。軸通過形心，反之亦成立。yz三、組合截面圖形的靜矩和形心三、組合截面圖形的靜矩和形心 niiiyzAS1 niiizyAS1 niiniiizcAyAASy11 ni

3、iniiiycAzAASz11 例例3-13-1 試確定左圖的形心。試確定左圖的形心。C2C1 cczyC , 212211AAzAzAzc mm 74.39110108010651101058010 212211AAyAyAyc mm 74.19110108010511010408010 一、慣性矩一、慣性矩（second axial moment of area） 和慣性半徑和慣性半徑(radius of inertia) ：yzOyzAd對對 y 軸的慣性矩軸的慣性矩 AyAzId 2對對 z 軸的慣性矩軸的慣性矩 AzAyId 2大?。赫４笮。赫?。量綱：量綱： 長度長度 4 42yy

4、iAI 2zziAI AIiyy 對對 y 軸的慣性半徑軸的慣性半徑AIizz 對對 z 軸的慣性半徑軸的慣性半徑3-2 3-2 慣性矩、慣性積和慣性半徑慣性矩、慣性積和慣性半徑hbyzC123hbIz zzd12d d 32222bhzbzAzIhhAy 12123hbhbhAIiyy 12123bbhhbAIizz DOyz32d2d42022DAIDAp 實心圓截面：實心圓截面：d二、極慣性矩二、極慣性矩(second polar moment of area) ： ApAId 2 zyAAAApIIAyAzAyzAI d d d d 22222 yzOAd yz644DIIzy 446

5、424DDDiizy 空心圓截面：空心圓截面：)(Dd 組合圖形的慣性矩：組合圖形的慣性矩： niyiyII1 nizizII1 444416464 DdDIIzy 444413232 DdDIpdDOyzAdAdy yzzyzOz 軸為對稱軸：軸為對稱軸：0d AyzAyzI圖形對任一包含圖形對任一包含對稱軸對稱軸在內的一在內的一對正交坐標軸的慣性矩為對正交坐標軸的慣性矩為0 0。三、慣性積三、慣性積(product of inertia) ： AyzAyzId 大小：正，負，大小：正，負，0 0。量綱：量綱： 長度長度 4 4組合圖形的慣性積組合圖形的慣性積 niyziyzII1y慣性矩是

6、對慣性矩是對一根軸一根軸而言的，慣性積是對而言的，慣性積是對一對軸一對軸而言的，而言的，極慣性矩是對極慣性矩是對一點一點而言的。而言的。zypIII 四、主軸四、主軸(principle axis)：使截面的使截面的慣性積為零慣性積為零的一對正交坐標軸的一對正交坐標軸稱為稱為主慣性軸主慣性軸，簡稱簡稱主軸主軸；截面對主軸的慣性矩；截面對主軸的慣性矩稱為稱為主慣性矩。主慣性矩。如果主軸的交點與截面形心重合，則稱其為如果主軸的交點與截面形心重合，則稱其為形心主慣性形心主慣性軸，軸，簡稱簡稱形心主軸形心主軸；截面對形心截面對形心主軸的慣性矩主軸的慣性矩稱為稱為形心主慣性矩形心主慣性矩。zy y z

7、C形心軸形心軸 y、z 不是形心主不是形心主軸軸形心軸形心軸 y、z 是形心主軸是形心主軸主軸不唯一主軸不唯一形心主軸唯一形心主軸唯一一、平行移軸公式一、平行移軸公式(formula of parallel axis)AbbSIAbbyyAybAyIzczcAAAz221212122 d)2( d)(d 0 czccAySz 為形心軸，為形心軸，yzOC cyczab1zAdz1yy AycAzId 21 AzcAyId 21 AyczcAzyId 11AbIzc2 3-3 3-3 慣性矩、慣性積的平行移軸公式慣性矩、慣性積的平行移軸公式已知：已知：Iyc，Izc，Iyczc；求：；求： Iy

8、，Iz，Iyz。yzOC cycz1zAdazb1yyAbIIzcz2 abAIIAaIIyzcyzycy 2同理：同理：在所有在所有互相平行互相平行的軸中，截面圖形對的軸中，截面圖形對形心軸的慣性矩形心軸的慣性矩最小最小。zy解：解：644DIIzy 外外外外644dIIzcy 內內6452464 242242dddddAIIzcz 內內內內dD 例例3-23-2 求圖示帶圓孔的圓形截面對求圖示帶圓孔的圓形截面對y軸和軸和z軸的慣性矩。軸的慣性矩。64 64 44dDIIIyyy 內內外外64 564 44dDIIIzzz 內內外外cz 例例3-33-3 求圖示圓對其切線求圖示圓對其切線AB

9、AB的慣性矩。的慣性矩。B解：建立形心坐標如圖解：建立形心坐標如圖, ,求圖求圖形對形心軸的慣性矩。形對形心軸的慣性矩。d64 516 64 24442dddAdIIyAB yzOAyzypIIIdI2324 644dIIzy 例例3-43-4 計算圖示箱式截面對水平形心軸計算圖示箱式截面對水平形心軸z的慣性矩的慣性矩Iz。1501008005050Cz(mm)5002C425 內Cy1501008005050400 外Cy1CCzCyyz解：選參考系解：選參考系 確定形心位置：確定形心位置： zy mm44.369 550400800500425550400400800500 Cy 2380

10、050012800500CCzyyI 外外外外500 2355040012550400CCzyyI 內內內內410mm1054. 1 內內外外zzzIII一、轉軸公式一、轉軸公式(formula of rotational axis)yzOyzAd AyAzId 2 AzAyId 2 AyzAyzId AyAzId 211 AzAyId 211 AzyAzyId 11111y1z 1y1z逆時針轉為正。逆時針轉為正。 cossinsincos11zyzzyy sincos sinsincoscoscos1zyy 3-4 3-4 慣性矩、慣性積的轉軸公式慣性矩、慣性積的轉軸公式 2sinsinc

11、os d sincosd 222211yzzyAAyIIIAyzAzI cossinsincos11zyzzyyyzOyzAd1y1z 1y1z 2sincos2221yzzyzyzIIIIII 2sincos2221yzzyzyyIIIIII cos22sin211yzzyzyIIII 轉軸公式轉軸公式zyzyIIII 11二、形心主軸和形心主慣性矩二、形心主軸和形心主慣性矩1 1、主軸和主慣性矩：坐標旋轉到、主軸和主慣性矩：坐標旋轉到 = = 0 0 時，時，02cos2sin20000 yzzyzyIIII則與則與 0 0 對應的旋轉軸對應的旋轉軸y0 0 z0 0 稱為稱為主軸。主軸。

12、zyyzIII 22tan0 220022 yzzyzyzyIIIIIII ：主主慣慣性性矩矩 2sincos2221yzzyzyzIIIIII 2sincos2221yzzyzyyIIIIII cos22sin211yzzyzyIIII 轉軸公式轉軸公式截面對通過截面對通過同一點同一點的所有軸中，最大或最小慣的所有軸中，最大或最小慣性矩即為對通過該點的主軸的主慣性矩。性矩即為對通過該點的主軸的主慣性矩。 2sincos2221yzzyzyyIIIIII 0dddd 00110 時時，當當zyII 2sincos2221yzzyzyzIIIIII 02cos2sin20000 yzzyzyII

13、IIzyyzIII 22tan0 2cos22sindd1 yzzyyIIII 2cos22sindd1 yzzyzIIII2 2、形心主軸和形心主慣性矩、形心主軸和形心主慣性矩zcycyczcIII 22tan0 220022yczczcyczcyczcycIIIIIII 形心主慣性矩形心主慣性矩形心主軸形心主軸形心主慣性矩小者為截面對形心主慣性矩小者為截面對所有軸所有軸的慣性矩中的慣性矩中的的最小值最小值。3 3、求截面形心主慣性矩的方法、求截面形心主慣性矩的方法、建立坐標系。、建立坐標系。、計算面積和靜矩、計算面積和靜矩、求形心位置、求形心位置 AAzASzAAyASyiiyiiz、求形

14、心主慣性矩求形心主慣性矩zcycyczcIII 22tan0 、求形心主軸方向、求形心主軸方向 0 0 、建立形心坐標系，求、建立形心坐標系，求yczczcycIII、220022yczczcyczcyczcycIIIIIII 例例3-53-5 在矩形內挖去一與上邊內切的圓，求圖形的在矩形內挖去一與上邊內切的圓，求圖形的形心主軸。形心主軸。( (b=1.5d) )解解 ： 建立坐標系：建立坐標系： 求形心位置：求形心位置： dddddAAzzAAAyyiiii177.0434200222 db2dyzOyCzCy1 建立形心坐標系，求建立形心坐標系，求yczczcycIII、便便是是形形心心主

15、主慣慣性性矩矩。、軸軸便便是是形形心心主主軸軸；、zcycccyczcIIzyI 0 c 例例3-63-6 電線鐵塔基座采用四個等邊角鋼組成電線鐵塔基座采用四個等邊角鋼組成L160L16010mm10mm，a=3ma=3m，試計算基座的形心主慣性矩。，試計算基座的形心主慣性矩。z0z1zyaa解： AzaIIzz20124 42cm52.2677710)1 .66864853.779(4502.3131. 415053.7794 組合截面可以大大提高截面慣性矩。組合截面可以大大提高截面慣性矩。8 .85753.7791 .668648 單個形心慣性矩單個形心慣性矩平衡項慣性矩平衡項慣性矩一、選

16、擇題一、選擇題1 1、在下列關于平面圖形的結論中，、在下列關于平面圖形的結論中， 是錯誤的。是錯誤的。（A）圖形的對稱軸必定通過形心。）圖形的對稱軸必定通過形心。 （B）圖形兩個對稱軸的交點必為形心。）圖形兩個對稱軸的交點必為形心。（C）圖形對對稱軸的靜矩為零。）圖形對對稱軸的靜矩為零。 （D）使）使靜矩為零的軸必為對稱軸。靜矩為零的軸必為對稱軸。2、在平面圖形的幾何性質中，、在平面圖形的幾何性質中， 的值可正，可負，的值可正，可負，也可為零。也可為零。（A）靜矩和慣性矩。）靜矩和慣性矩。 （B）極慣性矩和慣性矩。）極慣性矩和慣性矩。（C）慣性矩和慣性積。）慣性矩和慣性積。 （D）靜矩和慣性積

17、。）靜矩和慣性積。DD本本 章章 習習 題題3、設矩形對其一對稱軸、設矩形對其一對稱軸z的慣性矩為的慣性矩為I, 則當其高寬比則當其高寬比保持不變，而面積增加保持不變，而面積增加1倍時，該矩形對倍時，該矩形對z軸的慣性矩軸的慣性矩將變?yōu)閷⒆優(yōu)?。（A）2I （B）4I （C）8I （D）16I4、若截面圖形有對稱軸，則該圖形對其對稱軸的、若截面圖形有對稱軸，則該圖形對其對稱軸的 說法正確的是說法正確的是 。（A）靜矩為零，慣性矩不為零。）靜矩為零，慣性矩不為零。（B）靜矩不為零，慣性矩為零。）靜矩不為零，慣性矩為零。（C）靜矩和慣性矩均為零。）靜矩和慣性矩均為零。 （D）靜矩和慣性矩均不為零。

18、）靜矩和慣性矩均不為零。 BA5、直徑為、直徑為D的圓對其形心軸的慣性半徑的圓對其形心軸的慣性半徑i= 。（A）D/2 （B）D/4 （C）D/6 （D）D/8 6、若截面有一個對稱軸，則下列說法中，、若截面有一個對稱軸，則下列說法中， 是錯是錯誤的。誤的。（A）截面對對稱軸的靜矩為零。）截面對對稱軸的靜矩為零。（B）對稱軸兩側的兩部分截面，對對稱軸的慣性矩）對稱軸兩側的兩部分截面，對對稱軸的慣性矩相等。相等。（C）截面對包含對稱軸的正交坐標系的慣性積一定）截面對包含對稱軸的正交坐標系的慣性積一定為零。為零。（D）截面對包含對稱軸的正交坐標系的慣性積不一）截面對包含對稱軸的正交坐標系的慣性積不一定為零（這要取決坐標原點是否位于截面形心）。定為零（這要取決坐標原點是否位于截面形心）。 BD7、任意圖形，若對某一對正交坐標軸的慣性積為零、任意圖形，若對某一對正交坐標軸的慣性積為零，則這一對坐標軸一定是該圖形的，則這一對